Série 3 — vers le bac · Probabilités · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח שאלה 3 בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל אחד מהם: הסתברות שלמה עם פרמטר ואחריה בינומית, בינומית שבה $p$ לא ידוע, ובייס עם מספר ימים קטן ביותר.

בכל סעיף בינומי שאלו מחדש: מה ההצלחה עכשיו? בשאלה אחת ההצלחה משתנה מסעיף לסעיף.

Exercices

Exercice 1

בעיר, חלק $p$ מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, $60\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, $20\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. א. מה ההסתברות שהתושב קורא לפחות ספר אחד בחודש, כביטוי של $p$ ?

$0.6+0.2p$
$0.6p+0.2$
$0.8p$
$0.2+0.4p$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $0.2+0.4p$

Corrigé :

0.6p+0.2(1-p)

שני מסלולים

=0.2+0.4p

מכנסים

הנכונה: $0.2+0.4p$ . $0.6p+0.2$ שוכח שהענף השני הוא $1-p$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בעיר, חלק $p$ מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, $60\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, $20\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ב. ההסתברות שתושב אקראי קורא לפחות ספר אחד בחודש היא $0.32$ . מהו $p$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

0.2+0.4p=0.32

מסעיף א

p=0.3

On résout

בודקים ש- $0 \leq p \leq 1$ : $p$ הוא חלק מהתושבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בעיר, חלק $p$ מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, $60\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, $20\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ג. נבחר תושב שקורא לפחות ספר אחד בחודש. מה ההסתברות שהוא מנוי לספרייה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5625

Corrigé :

\begin{aligned}P(M\cap R) &= 0.3\cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

המסלול «מנוי וקורא»

\begin{aligned}P(M\mid R) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\approx 0.56\end{aligned}

בייס

$0.6$ הוא $P(R\mid M)$ , השאלה ההפוכה. כאן הנתון הוא שהתושב קורא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בעיר, חלק $p$ מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, $60\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, $20\%$ קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ד. בוחרים באקראי $4$ תושבים. מה ההסתברות שבדיוק $2$ מהם קוראים לפחות ספר אחד בחודש? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28409856

Corrigé :

\begin{aligned}n &= 4 \\ \ k &= 2 \\ \ P(R) &= 0.32\end{aligned}

ההצלחה: תושב קורא

\binom{4}{2}\cdot 0.32^2\cdot 0.68^2

בינומית

=6\cdot 0.1024\cdot 0.4624\approx 0.28

On calcule

ההסתברות להצלחה היא $0.32$ , לא $p=0.3$ ולא $0.6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בחידון $6$ שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה $p$ , בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא $0.36$ . א. מהו $p$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

p^2=0.36

שתי תשובות נכונות ברצף

p=0.6

$p>0$

«שתי השאלות הראשונות» הוא מסלול אחד: בלי מקדם בינומי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בחידון $6$ שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה $p$ , בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא $0.36$ . ב. מה ההסתברות שנועה תענה נכון על $5$ שאלות לפחות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.23328

Corrigé :

P(X=5)=6\cdot 0.6^5\cdot 0.4\approx 0.1866

בדיוק $5$

P(X=6)=0.6^6\approx 0.0467

כל השש

0.1866+0.0467\approx 0.23

מחברים

«לפחות $5$ » הוא $5$ או $6$ . מי שעונה $0.19$ שכח את $X=6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בחידון $6$ שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה $p$ , בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא $0.36$ . ג. מה ההסתברות שנועה תענה נכון בדיוק על $4$ שאלות, ושתי השאלות האחרונות יהיו ביניהן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.124416

Corrigé :

\binom{4}{2}\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2

שתי תשובות נכונות בארבע השאלות הראשונות

\cdot 0.6^2

השאלות החמישית והשישית נכונות

6\cdot 0.36\cdot 0.16\cdot 0.36\approx 0.12

התוצאה

$\binom{6}{4}\cdot 0.6^4\cdot 0.4^2\approx 0.31$ לא דורש דבר על השאלות האחרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות $0.8$ ; ביום גשום, בהסתברות $0.5$ . $25\%$ מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. א. מה ההסתברות שביום אקראי האוטובוס מגיע בזמן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.725

Corrigé :

0.75\cdot 0.8+0.25\cdot 0.5

יום יבש ויום גשום

=0.6+0.125=0.725\approx 0.73

מחברים

הממוצע $\frac{0.8+0.5}{2}=0.65$ שוכח ש- $75\%$ מהימים יבשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות $0.8$ ; ביום גשום, בהסתברות $0.5$ . $25\%$ מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. ב. ביום מסוים האוטובוס איחר. מה ההסתברות שהיום היה גשום? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.45454545454545453

Corrigé :

\begin{aligned}P(L) &= 1-0.725 \\ &= 0.275\end{aligned}

$L$ איחור: המשלים

\begin{aligned}P(G\cap L) &= 0.25\cdot 0.5 \\ &= 0.125\end{aligned}

$G$ יום גשום: המסלול

\frac{0.125}{0.275}\approx 0.45

בייס

רק רבע מהימים גשומים, אבל כמעט חצי מהאיחורים קורים בגשם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות $0.8$ ; ביום גשום, בהסתברות $0.5$ . $25\%$ מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. ג. מהו מספר הימים הקטן ביותר שדרוש כדי שההסתברות שהאוטובוס יאחר לפחות פעם אחת תהיה גדולה מ- $0.9$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

1-0.725^n>0.9 \ \Rightarrow \ 0.725^n<0.1

המשלים

0.725^7\approx 0.105

עדיין גדול מ- $0.1$

0.725^8\approx 0.076<0.1

מספיק

ההצלחה כאן היא איחור, אבל מה שמעלים בחזקה הוא $0.725$ , ההסתברות לא לאחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev