On résout ensemble · Relations de récurrence · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכומים של המקומות הזוגיים והאי-זוגיים, סדרת עזר שמסתתרת בכלל נסיגה, סדרה בשני כללים, וסדרה שנבנית מסדרה הנדסית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

Activité interactive

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $12$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $9$ . א. מצאו את המנה $q$ . ב. מצאו את $a_1$ . ג. מצאו את סכום האיברים שבמקומות הזוגיים.

\begin{aligned}S &= 12 \\ \qquad a_1+a_3+a_5+\ldots &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המקומות האי-זוגיים הם סדרה הנדסית בפני עצמה. מה המנה שלה?

הסדרה כולה

\frac{a_1}{1-q}=12

יורדת וחיובית: $0<q<1$ , ולכן יש סכום.

המקומות האי-זוגיים

\frac{a_1}{1-q^2}=9

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$ .

מחלקים

\begin{aligned}\frac{1-q^2}{1-q} &= \frac{12}{9} \ \Rightarrow \ 1+q \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

$1-q^2=(1-q)(1+q)$ , ו- $a_1$ מצטמצם.

א.

q=\frac{1}{3}

$0<\frac{1}{3}<1$ ✓

ב.

\begin{aligned}a_1 &= 12\left(1-\tfrac{1}{3}\right) \\ &= 8\end{aligned}

מהמשוואה הראשונה.

ג.

12-9=3

כל איבר נמצא במקום זוגי או אי-זוגי.

בדיקה

\begin{aligned}\frac{a_1q}{1-q^2} &= \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{9}} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

המקומות הזוגיים: איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$ .

החלוקה של שתי המשוואות היא המהלך המרכזי: היא מעלימה את $a_1$ ומשאירה משוואה ב- $q$ בלבד.

Faire l'activité sur elev

אילו הסדרה הייתה מתחלפת, עם $-1<q<0$ , איזה סכום היה גדול יותר: של המקומות האי-זוגיים או של הזוגיים?

Voir la réponse et le corrigé

אם $a_1>0$ ו- $q<0$ , כל האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים וכל האיברים במקומות הזוגיים שליליים. לכן סכום המקומות האי-זוגיים גדול יותר, וסכום המקומות הזוגיים שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

Activité interactive

כלל נסיגה וסדרה הנדסית חבויה

נתונה סדרה: $a_1=4$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+6}{2}$ . א. הוכיחו שהסדרה $b_n=a_n-6$ הנדסית, ומצאו את מנתה. ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ . ג. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6+2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

איך מתחילים את ההוכחה?

כותבים את $b_{n+1}$ ומציבים את כלל הנסיגה

Voir la réponse et le corrigé

כך $b_{n+1}$ מתבטא באמצעות $a_n$ , ואפשר להשוות ל- $b_n$ .

מחשבים $b_1, b_2, b_3$ ובודקים שהמנות שוות

Voir la réponse et le corrigé

שלושה איברים מראים, אבל לא מוכיחים. ההוכחה צריכה להיות לכל $n$ .

\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-6 \\ &= \frac{a_n+6}{2}-6\end{aligned}

מציבים את הכלל

איך מפשטים?

$\frac{a_n+6-12}{2}=\frac{a_n-6}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

מכנה משותף, ו- $a_n-6$ הוא בדיוק $b_n$ .

$\frac{a_n+6}{2}-6=\frac{a_n}{2}-3$ , ולכן המנה $\frac{1}{2}$ ועוד $-3$

Voir la réponse et le corrigé

החשבון נכון, אבל $\frac{a_n}{2}-3=\frac{a_n-6}{2}$ . אין «תוספת».

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n-6}{2} \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מנה קבועה $\frac{1}{2}$ : הסדרה $b_n$ הנדסית

מהו $b_1$ ?

$b_1=a_1-6=-2$

Voir la réponse et le corrigé

מההגדרה של $b_n$ .

$b_1=a_1=4$

Voir la réponse et le corrigé

$b$ היא סדרה אחרת. האיבר הראשון שלה הוא $a_1-6$ .

b_n=-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית

איך מגיעים ל- $a_n$ ?

$a_n=b_n+6$

Voir la réponse et le corrigé

הופכים את ההגדרה $b_n=a_n-6$ .

$a_n=b_n-6$

Voir la réponse et le corrigé

כך מקבלים $a_1=-8$ ולא $4$ .

a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

בדיקה: $a_1=6-2=4$ ✓, $a_2=6-1=5=\frac{4+6}{2}$ ✓

סעיף ג: מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{-2}{1-\frac{1}{2}}=-4$

Voir la réponse et le corrigé

$|q|<1$ , ולכן יש סכום.

$\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Voir la réponse et le corrigé

זה $a_1$ , לא $b_1$ . ול- $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים שלה מתקרבים ל- $6$ .

b_1+b_2+\ldots=-4

סכום של איברים שליליים — שלילי

Voir la réponse et le corrigé

$a_n=6-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ , והסכום של $b_n$ הוא $-4$ . האפשרות עם $4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+6$ בכלל. האפשרות עם $+2$ שוכחת ש- $b_1$ שלילי. האפשרות עם החזקה $n$ נותנת $a_1=5$ .

Faire l'activité sur elev

לאיזה מספר מתקרבים האיברים של $a_n$ כש- $n$ גדל? איך רואים את זה ישר מכלל הנסיגה?

Voir la réponse et le corrigé

ל- $6$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתקרב ל- $0$ . בכלל עצמו: אם $a_n=6$ , אז $a_{n+1}=\frac{6+6}{2}=6$ . $6$ הוא המספר שהכלל לא מזיז, ולכן בוחרים $b_n=a_n-6$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

Activité interactive

נתונה סדרה: $a_1=1$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+3$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=2a_n$ . א. חשבו את ששת האיברים הראשונים. ב. הראו שהסדרה $c_k=a_{2k-1}+6$ הנדסית. ג. חשבו את $a_{15}$ .

a_1=1 ,\qquad a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & n \ \text{אי-זוגי} \\ 2a_n & n \ \text{זוגי} \end{cases}

לחצו «להתחיל». הכלל תלוי בזוגיות של $n$ , כלומר של המקום שממנו יוצאים.

א.

1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\times 2} 8 \xrightarrow{+3} 11 \xrightarrow{\times 2} 22 \xrightarrow{+3} 25

מ- $a_1$ יוצאים עם $+3$ כי $n=1$ אי-זוגי.

שני צעדים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 2\left(a_{2k-1}+3\right) \\ &= 2a_{2k-1}+6\end{aligned}

ממקום אי-זוגי למקום האי-זוגי הבא: קודם $+3$ , אחר כך $\times 2$ .

ב.

\begin{aligned}c_{k+1} &= a_{2k+1}+6 \\ &= 2a_{2k-1}+12 \\ &= 2c_k\end{aligned}

מנה קבועה $2$ : $c_k$ הנדסית.

איבר ראשון

\begin{aligned}c_1 &= a_1+6 \\ &= 7 \ \Rightarrow \ c_k \\ &= 7\cdot 2^{k-1}\end{aligned}

בדיקה: $c_2=a_3+6=14$ ✓, $c_3=a_5+6=28$ ✓

ג.

\begin{aligned}15 &= 2k-1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 8\end{aligned}

$a_{15}$ הוא האיבר השמיני של תת-הסדרה.

ג. סוף

\begin{aligned}a_{15} &= c_8-6 \\ &= 7\cdot 128-6 \\ &= 890\end{aligned}

חוזרים מ- $c$ ל- $a$ .

שני כללים שמתחלפים הם כלל אחד על כל צעד כפול. זה המהלך של כל סדרה בשני כללים: מסתכלים על תת-סדרה.

Faire l'activité sur elev

מהו $a_{16}$ באותה סדרה?

Voir la réponse et le corrigé

$15$ אי-זוגי, ולכן $a_{16}=a_{15}+3=893$ . המקום שממנו יוצאים קובע את הכלל, לא המקום שאליו מגיעים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

Activité interactive

$b_n=a_n+a_{n+1}$ וסכום אינסופי

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=6$ ו- $q=-\frac{1}{2}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית ומצאו את $b_1$ ואת מנתה. ב. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$ ג. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

$2$

$4$

$8$

$6$

מה המנה של $b_n$ ?

$q=-\frac{1}{2}$ , כמו של $a_n$

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q$ .

$q^2=\frac{1}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

$q^2$ היא המנה של מכפלה של שני איברים עוקבים, לא של סכום.

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 6-3 \\ &= 3 \\ \qquad q_b &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

$q \neq -1$ , ולכן החלוקה מותרת

מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{3}{1+\frac{1}{2}}=2$

Voir la réponse et le corrigé

$1-q=1+\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6$

Voir la réponse et le corrigé

הסימן של $q$ נשכח.

b_1+b_2+\ldots=2

סעיף ב

איך בודקים את התשובה בדרך אחרת?

$S_a+(S_a-a_1)$

Voir la réponse et le corrigé

$b_1+b_2+\ldots=(a_1+a_2+\ldots)+(a_2+a_3+\ldots)$ .

$2S_a$

Voir la réponse et le corrigé

הסכום השני מתחיל ב- $a_2$ : חסר בו $a_1$ .

\begin{aligned}S_a &= \frac{6}{\frac{3}{2}} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 4+(4-6) \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

שתי דרכים, אותה תשובה

סעיף ג: איזה אי-שוויון פותרים?

$6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$ , כלומר $2^{n-1}>600$

Voir la réponse et le corrigé

הערך המוחלט מוריד את הסימן.

$6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$

Voir la réponse et le corrigé

כל איבר שלילי מקיים את זה, למשל $a_2=-3$ . לכן צריך ערך מוחלט.

\begin{aligned}2^9 &= 512<600 \\ \qquad 2^{10} &= 1024>600\end{aligned}

ניסוי: $n-1=10$ , כלומר $n=11$

Voir la réponse et le corrigé

סכום $b_n$ הוא $2$ , ו- $n=11$ . האפשרות $4$ היא הסכום של $a_n$ , לא של $b_n$ . $6$ מתקבל כששוכחים את הסימן של $q$ . $8$ מתקבל כשמחברים $2S_a$ .

Faire l'activité sur elev

בדקו: $|a_{10}|$ ו- $|a_{11}|$ . האם $n=11$ נכון?

Voir la réponse et le corrigé

$|a_{10}|=\frac{6}{2^9}=\frac{6}{512} \approx 0.0117>0.01$ , ו- $|a_{11}|=\frac{6}{1024} \approx 0.0059<0.01$ . כן, $n=11$ .

השאלה התאומה: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

(תאומה לשאלה 1) נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $20$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $16$ . השלימו.

$q=$ ____ , $a_1=$ ____ , סכום המקומות הזוגיים: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $q=$ 0.25 , $a_1=$ 15 , סכום המקומות הזוגיים: 4

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 20 \\ \quad \frac{a_1}{1-q^2} &= 16\end{aligned}

שתי משוואות

\begin{aligned}1+q &= \frac{20}{16} \\ &= \frac{5}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

מחלקים

\begin{aligned}a_1 &= 20 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 15\end{aligned}

20-16=4

המקומות הזוגיים

מי שמחלק בכיוון ההפוך מקבל $1+q=\frac{4}{5}$ , כלומר $q<0$ , בסתירה לנתון שכל האיברים חיוביים. הסתירה היא הבדיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

(תאומה לשאלה 2) נתונה סדרה: $a_1=10$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+8}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n-4$ . השלימו.

$a_2=$ ____ , $b_1=$ ____ , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a_2=$ 6 , $b_1=$ 6 , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ 9

Corrigé :

\begin{aligned}a_2 &= \frac{10+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n+8}{3}-4 \\ &= \frac{a_n-4}{3} \\ &= \frac{1}{3}b_n\end{aligned}

$b_n$ הנדסית, $q=\frac{1}{3}$

\begin{aligned}b_1 &= 10-4 \\ &= 6\end{aligned}

\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=9

$|q|<1$

$4$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{4+8}{3}=4$ . מי שמחשב $\frac{a_1}{1-q}$ עם $a_1=10$ סוכם את הסדרה הלא נכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

(תאומה לשאלה 3) נתונה סדרה: $a_1=2$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+2$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=3a_n$ . חשבו את $a_{11}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1212

Corrigé :

2, \ 4, \ 12, \ 14, \ 42

חמשת האיברים הראשונים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 3(a_{2k-1}+2) \\ &= 3a_{2k-1}+6\end{aligned}

שני צעדים

\begin{aligned}c_k &= a_{2k-1}+3 \ \Rightarrow \ c_{k+1} \\ &= 3c_k \\ \ c_1 &= 5\end{aligned}

סדרת עזר הנדסית

\begin{aligned}a_{11} &= c_6-3 \\ &= 5 \cdot 3^5-3 \\ &= 1212\end{aligned}

$11=2 \cdot 6-1$

$a_{11}$ הוא האיבר השישי של תת-הסדרה, לא ה- $11$ . מי שמחשב $5 \cdot 3^{10}$ ספר מקומות של $a$ במקום מקומות של $c$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= 8-\frac{8}{3} \\ &= \frac{16}{3} \\ \quad q_b &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{\frac{16}{3}}{1+\frac{1}{3}} &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S_a &= \frac{8}{\frac{4}{3}} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ 6+(6-8) \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה בדרך השנייה ✓

שתי הדרכים חייבות להסכים. מי שמקבל $12=2S_a$ שכח שהסכום השני מתחיל ב- $a_2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

8\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}<0.01 \ \Rightarrow \ 3^{n-1}>800

ערך מוחלט, ואז הופכים

\begin{aligned}3^6 &= 729 \\ \quad 3^7 &= 2187\end{aligned}

ניסוי

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

החזקה היא $n-1$ , לא $n$ . מי שפותר $3^n>800$ עונה $7$ , ואז $|a_7|=\frac{8}{729} \approx 0.011$ , עדיין גדול מ- $0.01$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

Exercices

La suite se pratique sur elev