Somme partielle et somme infinie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חוצים דף: חצי, ואז חצי ממה שנשאר, ואז שוב חצי... כמה נייר לקחנו? הציור מראה את הסכומים החלקיים של 4+2+1+12+…4+2+1+\frac{1}{2}+\ldots: הסכום של איבר אחד, של שניים, של שלושה. הסתכלו לאן הנקודות הולכות.

הסכומים החלקיים S₁ עד S₈
801234567890123456789nS
S1=4S_1=4, S2=6S_2=6, S3=7S_3=7, S4=7.5S_4=7.5... כל נקודה סוגרת חצי מהמרחק שנשאר עד הקו 88. הנקודות מתקרבות לקו ואף פעם לא מגיעות אליו.

כמה חסר ל-S5S_5 כדי להגיע ל-88?

Voir la réponse et le corrigé

S5=7.75S_5=7.75, ולכן חסר 0.250.25. זה בדיוק a5=4⋅(12)4=0.25a_5=4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4=0.25: מה שחסר תמיד שווה לאיבר האחרון שחיברנו.

סכום חלקי

Sn=a1(qn−1)q−1q≠1S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \qquad q \neq 1

סכום אינסופי

S=a11−q∣q∣<1S=\frac{a_1}{1-q} \qquad |q|<1

כש-∣q∣<1|q|<1 החזקה qnq^n הולכת ומתקרבת ל-00, ובנוסחת הסכום החלקי נשאר a1(0−1)q−1=a11−q\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}. זה הגבול שהסכומים החלקיים מתקרבים אליו. כש-∣q∣≥1|q| \geq 1 אין גבול, ולכן אין סכום.

q=12q=\frac{1}{2}

מתכנס: האיברים קטנים ונשארים חיוביים

q=−12q=-\frac{1}{2}

מתכנס: הסכומים קופצים מעל הגבול ומתחתיו ומתקרבים

q=−1q=-1

לא מתכנס: 1,0,1,0,…1, 0, 1, 0, \ldots

q=32q=\frac{3}{2}

לא מתכנס: האיברים גדלים

מהו הסכום 9−3+1−13+…9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots?

Voir la réponse et le corrigé

a1=9a_1=9, q=−13q=-\frac{1}{3}, ו-∣q∣<1|q|<1. S=91+13=274=6.75S=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}=6.75. מינוס כפול מינוס: 1−q=1+131-q=1+\frac{1}{3}.

שבר עשרוני מחזורי

0.36‾0.\overline{36} כשבר פשוט

כתבו את 0.363636…0.363636\ldots כשבר מצומצם.

0.36‾=0.36+0.0036+0.000036+…0.\overline{36}=0.36+0.0036+0.000036+\ldots

כל מחזור הוא איבר

a1=0.36q=0.01\begin{aligned}a_1 &= 0.36 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

סדרה הנדסית אינסופית

S=0.361−0.01=3699\begin{aligned}S &= \frac{0.36}{1-0.01} \\ &= \frac{36}{99}\end{aligned}
=411=\frac{4}{11}

מצמצמים ב-99

משוואה מעריכית — בניסוי וטעייה

כששואלים «מהו nn הקטן ביותר ש...», מגיעים לאי-שוויון עם חזקה, כמו 2n>802^n>80. בפרק הזה פותרים אותו בלי לוגריתמים: מציבים חזקות עוקבות עד שעוברים את הגבול, ובודקים את nn שלפניו.

מתי הסכום עובר את 7.9?

בסדרה 4+2+1+…4+2+1+\ldots: מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn>7.9S_n>7.9?

Sn=8(1−(12)n)S_n=8\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)

סכום חלקי עם a1=4a_1=4, q=12q=\frac{1}{2}

8−8(12)n>7.9 ⇒ (12)n<1808-8\left(\tfrac{1}{2}\right)^n>7.9 \ \Rightarrow \ \left(\tfrac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{80}

מבודדים את החזקה

2n>802^n>80

הופכים: כיוון האי-שוויון מתהפך

26=64<8027=128>80\begin{aligned}2^6 &= 64<80 \\ \quad 2^7 &= 128>80\end{aligned}

ניסוי: n=7n=7

S6=7.875S7=7.9375\begin{aligned}S_6 &= 7.875 \\ \quad S_7 &= 7.9375\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

שלוש הטעויות של הסכום האינסופי.

a1=3 q=2: S=31−2=−3\begin{aligned}a_1 &= 3 \\ \ q &= 2: \ S \\ &= \frac{3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}
∣q∣>1: מתבדר|q|>1: \ \text{מתבדר}

סכום של מספרים חיוביים שיוצא שלילי הוא סימן שהתנאי ∣q∣<1|q|<1 הופר. אין סכום.

q=−12: S=a11−12\begin{aligned}q &= -\tfrac{1}{2}: \ S \\ &= \frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\end{aligned}
S=a11+12S=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}

מציבים את qq עם הסימן: 1−(−12)=321-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}.

0.3‾=3100.\overline{3}=\frac{3}{10}
0.3‾=0.30.9=13\begin{aligned}0.\overline{3} &= \frac{0.3}{0.9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

310\frac{3}{10} הוא רק האיבר הראשון. המחזור נמשך בלי סוף.

לפני הנוסחה a11−q\frac{a_1}{1-q}: בדקו ש-∣q∣<1|q|<1. ובכל אי-שוויון עם חזקה של שבר: כשהופכים את שני האגפים, כיוון האי-שוויון מתהפך.

Exercices

Exercice 1

חשבו את הסכום האינסופי 20−10+5−52+…20-10+5-\frac{5}{2}+\ldots עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.33

Corrigé :

a1=20q=−12\begin{aligned}a_1 &= 20 \\ \quad q &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1: יש סכום

S=201+12=403\begin{aligned}S &= \frac{20}{1+\frac{1}{2}} \\ &= \frac{40}{3}\end{aligned}
≈13.33\approx 13.33

מי שמציב 1−121-\frac{1}{2} שכח את הסימן של qq ומקבל 4040. סכום של סדרה מתחלפת קטן מ-a1a_1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לאיזו מנה qq יש לסדרה הנדסית אינסופית סכום סופי (כאשר a1≠0a_1 \neq 0)?

  1. q=−1q=-1
  2. q=1q=1
  3. q=−0.9q=-0.9
  4. q=1.2q=1.2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C q=−0.9q=-0.9

Corrigé :

∣−0.9∣=0.9<1|-0.9|=0.9<1

התנאי מתקיים

q=−1: a1−a1a1…\begin{aligned}q &= -1: \ a_1 \\ -a_1 \\ a_1 \\ \ldots\end{aligned}

הסכומים קופצים a1,0,a1,0a_1, 0, a_1, 0

הנכונה: q=−0.9q=-0.9. התנאי הוא על הערך המוחלט, ולכן מנה שלילית קרובה ל-−1-1 עדיין מתכנסת. q=−1q=-1 ו-q=1q=1 נמצאים בדיוק על הגבול, ושם אין סכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, והאיבר הראשון שלה הוא 1010. מצאו את המנה qq.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

101−q=40\frac{10}{1-q}=40

נוסחת הסכום

1−q=14 ⇒ q=0.75\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.75\end{aligned}
∣0.75∣<1|0.75|<1

בדיקה: התנאי מתקיים ✓

מי שכותב 1−q=41-q=4 הפך את השבר בצד הלא נכון, ומקבל q=−3q=-3, מנה שאין לה סכום בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כתבו את 0.27‾=0.272727…0.\overline{27}=0.272727\ldots כשבר מצומצם ab\frac{a}{b}.

מונה: ____ , מכנה: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מונה: 3 , מכנה: 11

Corrigé :

a1=0.27q=0.01\begin{aligned}a_1 &= 0.27 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

כל מחזור הוא איבר

S=0.270.99=2799\begin{aligned}S &= \frac{0.27}{0.99} \\ &= \frac{27}{99}\end{aligned}
=311=\frac{3}{11}

מצמצמים ב-99

0.270.27 הוא רק האיבר הראשון. מי שעוצר ב-27100\frac{27}{100} שכח את אינסוף המחזורים שאחריו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בחישוב הסכום 6−2+23−…6-2+\frac{2}{3}-\ldots שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=−13q=-\frac{1}{3}
S=61−13S=\frac{6}{1-\frac{1}{3}}
S=9S=9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=61−13S=\frac{6}{1-\frac{1}{3}} → S=61+13=4.5S=\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=4.5

Corrigé :

q=−26=−13\begin{aligned}q &= \frac{-2}{6} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

השורה הראשונה נכונה

1−q=1−(−13)=43\begin{aligned}1-q &= 1-\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

כאן הטעות

S=643=4.5\begin{aligned}S &= \frac{6}{\frac{4}{3}} \\ &= 4.5\end{aligned}

השורה השנייה הציבה qq בלי הסימן. סימן לטעות: סכום של סדרה מתחלפת שיוצא גדול מ-a1=6a_1=6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים, S8S_8.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 765

Corrigé :

S8=3(28−1)2−1S_8=\frac{3(2^8-1)}{2-1}

סכום חלקי

=3⋅255=765=3 \cdot 255=765

כאן q=2q=2, ולכן אין סכום אינסופי, אבל לסכום חלקי אין שום תנאי. מי שכותב 28=2562^8=256 ושוכח את ה-−1-1 מקבל 768768.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה 1+2+4+8+…1+2+4+8+\ldots: מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn>1000S_n>1000?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

Sn=2n−1S_n=2^n-1

a1=1a_1=1, q=2q=2

2n−1>1000 ⇒ 2n>10012^n-1>1000 \ \Rightarrow \ 2^n>1001
29=512210=1024\begin{aligned}2^9 &= 512 \\ \quad 2^{10} &= 1024\end{aligned}

ניסוי וטעייה

S9=511S10=1023\begin{aligned}S_9 &= 511 \\ \quad S_{10} &= 1023\end{aligned}

בדיקה ✓

בודקים את שני הצדדים של הגבול: n=9n=9 לא מספיק, n=10n=10 כן. מי שפותר 2n>10002^n>1000 ושוכח את ה-−1-1 מגיע כאן לאותה תשובה, אבל לא תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 1616, והאיבר השני שלה הוא a2=4a_2=4. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

a1=16(1−q)a1q=4\begin{aligned}a_1 &= 16(1-q) \\ \quad a_1 q &= 4\end{aligned}

שתי משוואות

16q(1−q)=4 ⇒ 4q2−4q+1=0\begin{aligned}16q(1-q) &= 4 \ \Rightarrow \ 4q^2-4q+1 \\ &= 0\end{aligned}

On remplace (מציבים)

(2q−1)2=0 ⇒ q=12\begin{aligned}(2q-1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

פתרון יחיד

a1=4q=8\begin{aligned}a_1 &= \frac{4}{q} \\ &= 8\end{aligned}

בדיקה: 81−12=16\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16 ✓

שני נעלמים, שתי משוואות. מי שמציב a2=4a_2=4 במקום a1a_1 בנוסחת הסכום מקבל q=34q=\frac{3}{4}, ומחשב סדרה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: 0.9‾=0.999…=10.\overline{9}=0.999\ldots=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0.9‾=0.9+0.09+0.009+…0.\overline{9}=0.9+0.09+0.009+\ldots

a1=0.9a_1=0.9, q=0.1q=0.1

S=0.91−0.1=0.90.9=1\begin{aligned}S &= \frac{0.9}{1-0.1} \\ &= \frac{0.9}{0.9} \\ &= 1\end{aligned}

הטענה נכונה. 0.999…0.999\ldots אינו «קצת פחות מ-11»: הסכום האינסופי הוא הגבול, והגבול הוא בדיוק 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הסדרה 1+13+19+…1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots מתכנסת לסכום SS. מהו nn הקטן ביותר שעבורו S−Sn<0.01S-S_n<0.01?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

S=11−13=32\begin{aligned}S &= \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

הסכום האינסופי

S−Sn=32(13)nS-S_n=\frac{3}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^n

מה שחסר

32(13)n<1100 ⇒ 3n>150\frac{3}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^n<\frac{1}{100} \ \Rightarrow \ 3^n>150

הכיוון מתהפך

34=8135=243\begin{aligned}3^4 &= 81 \\ \quad 3^5 &= 243\end{aligned}

ניסוי: n=5n=5

כשהופכים (13)n<1150\left(\frac{1}{3}\right)^n<\frac{1}{150} ל-3n>1503^n>150, כיוון האי-שוויון מתהפך. מי ששוכח את ה-32\frac{3}{2} פותר 3n>1003^n>100 ומקבל אותו nn במקרה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe