Sous-suites et suites combinées · Relations de récurrence · Kita יא

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות כמעט אף פעם לא נשארים עם סדרה אחת. לוקחים רק את המקומות הזוגיים, מחברים שני איברים עוקבים, הופכים כל איבר, ושואלים: האם הסדרה החדשה הנדסית? ומה המנה שלה? הסתכלו על הסדרה בציור.

סדרה הנדסית עם מנה

2

. אם לוקחים רק את המקומות הזוגיים,

6, 24, 96

, כל קפיצה עוברת שני צעדים:

\times 2 \times 2

. המנה של תת-הסדרה היא

2^2=4

מהי המנה של תת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים, $3, 12, 48, \ldots$ ? ומהו האיבר הראשון שלה?

Voir la réponse et le corrigé

שוב $4$ : גם כאן כל קפיצה עוברת שני צעדים. האיבר הראשון הוא $a_1=3$ . תת-הסדרה של המקומות הזוגיים מתחילה ב- $a_2=6$ , עם אותה מנה.

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

a_1, a_3, a_5, \ldots

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$

a_2, a_4, a_6, \ldots

איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$

a_1, a_4, a_7, \ldots

כל איבר שלישי: מנה $q^3$

\begin{aligned}b_k &= a_{2k} \\ &= a_1 q^{2k-1} \\ &= (a_1q) \cdot (q^2)^{k-1}\end{aligned}

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

אם $a_n$ הנדסית עם מנה $q$ , בודקים כל סדרה חדשה באותה דרך: מחשבים $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ באופן כללי. אם יוצא מספר קבוע, הסדרה הנדסית.

b_n=k \cdot a_n

מנה $q$

b_n=\frac{1}{a_n}

מנה $\frac{1}{q}$

b_n=a_n^2

מנה $q^2$

b_n=a_n \cdot a_{n+1}

מנה $q^2$

b_n=a_n+a_{n+1}

מנה $q$ , כאשר $q \neq -1$

הוכחה: $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית

$a_n$ הנדסית עם מנה $q \neq -1$ . הוכיחו ש- $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית.

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{a_n+a_{n+1}}

המנה של שני איברים עוקבים

=\frac{q a_n+q a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}

כל איבר הוא $q$ כפול קודמו

=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q

מוציאים $q$ ומצמצמים

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= a_1(1+q)\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

למה בהוכחה צריך את התנאי $q \neq -1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כש- $q=-1$ כל שני איברים עוקבים מבטלים זה את זה: $a_n+a_{n+1}=0$ . אי אפשר לצמצם ב- $0$ , ו- $0, 0, 0, \ldots$ אינה נחשבת סדרה הנדסית.

שתי סדרות יחד

מכפלה של שתי סדרות הנדסיות היא הנדסית, והמנה שלה היא מכפלת המנות. סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי: $2^n+3^n$ נותן $5, 13, 35$ , ו- $\frac{13}{5} \neq \frac{35}{13}$ . לסכום של הסדרה המצורפת מחברים את שני הסכומים.

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $-3$ . מהי המנה של $c_n=a_n \cdot b_n$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n}=2 \cdot (-3)=-6$ . הסדרה $c_n$ הנדסית ומתחלפת.

סכום של תת-סדרה

חמשת האיברים הראשונים במקומות הזוגיים

$a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ . חשבו את $a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}$ .

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= 6 \\ \quad q_b &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

תת-הסדרה של המקומות הזוגיים

S_5=\frac{6(4^5-1)}{4-1}

סכום חלקי עם המנה החדשה

=2 \cdot 1023=2046

בדיקה: $6+24+96+384+1536=2046$ ✓

שלוש הטעויות של תת-סדרות וצירופים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ q_b &= q\end{aligned}

q_b=q^2

בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים, ולכן כופלים ב- $q$ פעמיים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ b_1 &= a_1\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה באיבר הראשון שלה, $a_2$ .

a_n+b_n \ \text{הנדסית}

a_n \cdot b_n \ \text{הנדסית}

סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי. מכפלה — כן.

בכל סדרה חדשה שואלים שלוש שאלות, באותו סדר: מהו האיבר הראשון שלה? מה המנה שלה? כמה איברים יש בה? רק אחר כך מציבים בנוסחת הסכום.

Exercices

Exercice 1

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהי המנה של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

a_4=a_2 \cdot q^2

שני צעדים בין איבר לאיבר

q^2=9

המנה היא $q^2=9$ . מי שעונה $6$ חשב $2q$ : מכפילים פעמיים, לא מחברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהו האיבר הראשון של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1 q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה ב- $a_2$

=5 \cdot 3=15

מי שעונה $5$ התחיל את תת-הסדרה ב- $a_1$ . אבל $a_1$ נמצא במקום אי-זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$a_n$ סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, עם מנה $q=\frac{1}{2}$ . מהי המנה של $b_n=\frac{1}{a_n}$ ?

$\frac{1}{2}$
$2$
$\frac{1}{4}$
$-2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$

Corrigé :

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}

השבר מתהפך

=\frac{1}{q}=2

הנכונה: $2$ . $a_n$ יורדת, ולכן ההופכיים עולים. $-2$ מבלבל בין הופכי לנגדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: אם $a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $q$ , אז $b_n=a_n^2$ סדרה הנדסית עם מנה $q^2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} \\ &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2\end{aligned}

חזקה של מנה

=q^2

מספר קבוע

הטענה נכונה. שימו לב: גם כש- $q$ שלילי, $q^2$ חיובי, ולכן $a_n^2$ אינה מתחלפת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$a_n=2^{n-1}$ ו- $b_n=2n-1$ . נגדיר $c_n=a_n+b_n$ . חשבו את $c_1+c_2+\ldots+c_{10}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1123

Corrigé :

\sum c_n=\sum a_n+\sum b_n

מפרקים לשני סכומים

\begin{aligned}a_1+\ldots+a_{10} &= \frac{2^{10}-1}{2-1} \\ &= 1023\end{aligned}

הנדסית: $a_1=1$ , $q=2$

\begin{aligned}b_1+\ldots+b_{10} &= 1+3+\ldots+19 \\ &= 100\end{aligned}

עשרת המספרים האי-זוגיים הראשונים

1023+100=1123

$c_n$ עצמה אינה הנדסית ואינה חשבונית, ולכן אין לה נוסחת סכום. אבל סכום של סכום מתפרק לשני חלקים שלכל אחד מהם יש נוסחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $5$ . איזו מהסדרות הבאות הנדסית בוודאות?

$a_n+b_n$
$a_n+2$
$a_n \cdot b_n$
$a_n-b_n$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a_n \cdot b_n$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n b_n} &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

מנה קבועה

\begin{aligned}a_n &= 2^{n-1} \\ \ b_n &= 5^{n-1}: \ a_n+b_n \\ &= 2 \\ 7 \\ 29\end{aligned}

$\frac{7}{2} \neq \frac{29}{7}$

הנכונה: $a_n \cdot b_n$ , עם מנה $10$ . בסכום ובהפרש המנות לא מתפרקות. $a_n+2$ «מקלקלת» את המנה הקבועה, כמו בכלל $2a_n+2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=2$ ו- $q=3$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 216

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 2+6 \\ &= 8\end{aligned}

האיבר הראשון

\begin{aligned}q_b &= q \\ &= 3\end{aligned}

לפי ההוכחה בשיעור

\begin{aligned}b_4 &= 8 \cdot 3^3 \\ &= 216\end{aligned}

\begin{aligned}a_4+a_5 &= 54+162 \\ &= 216\end{aligned}

בדיקה ישירה ✓

שתי דרכים, אותה תשובה. $b_4=a_4+a_5$ : המקום $4$ והמקום שאחריו. מי שמחבר $a_3+a_4$ מקבל $72$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$a_n=2^{n-1}$ . חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים במקומות האי-זוגיים: $a_1+a_3+\ldots+a_{11}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1365

Corrigé :

\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ &= 1 \\ \quad q_b &= 4\end{aligned}

המקומות האי-זוגיים

\begin{aligned}S_6 &= \frac{4^6-1}{4-1} \\ &= \frac{4095}{3}\end{aligned}

שישה איברים

=1365

מ- $a_1$ עד $a_{11}$ יש שישה מקומות אי-זוגיים, לא אחד-עשר. ומי שמציב $q=2$ בנוסחה סוכם את כל האיברים, גם את הזוגיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $3$ ואיברים חיוביים. מיינו את הסדרות שנבנות ממנה.

הנדסית
לא הנדסית

$\frac{1}{a_n}$
$5a_n$
$a_{3n}$
$a_n^3$
$a_n+1$
$a_n+n$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $5a_n$ — הנדסית · $a_n^3$ — הנדסית · $a_{3n}$ — הנדסית · $\frac{1}{a_n}$ — הנדסית · $a_n+1$ — לא הנדסית · $a_n+n$ — לא הנדסית

Corrigé :

a_{3n}: \ q^3=27

כל איבר שלישי

\begin{aligned}a_n &= 3^{n-1}: \ a_n+1 \\ &= 2 \\ 4 \\ 10\end{aligned}

$\frac{4}{2} \neq \frac{10}{4}$

\begin{aligned}a_n+n &= 2 \\ 5 \\ 12\end{aligned}

$\frac{5}{2} \neq \frac{12}{5}$

כפל, חזקה, הופכי ותת-סדרה שומרים על מנה קבועה. הוספה של מספר, קבוע או משתנה, הורסת אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=3$ ו- $q=2$ . נגדיר $c_n=a_n \cdot a_{n+1}$ . השלימו.

$c_1=$ ____ , המנה של $c_n$ : ____ , $c_3=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $c_1=$ 18 , המנה של $c_n$ : 4 , $c_3=$ 288

Corrigé :

\begin{aligned}c_1 &= a_1 a_2 \\ &= 3 \cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_{n+1}$ מצטמצם

\begin{aligned}c_3 &= 18 \cdot 4^2 \\ &= 288\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 a_4 &= 12 \cdot 24 \\ &= 288\end{aligned}

בדיקה ✓

בכל צעד שני הגורמים מוכפלים ב- $q$ , ולכן המנה היא $q^2$ . מי שעונה $2$ הכפיל רק גורם אחד.

Vérifier la réponse sur elev

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

שתי סדרות יחד

סכום של תת-סדרה

Exercices

La suite se pratique sur elev