La règle de récurrence

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפעמים לא נותנים נוסחה לפי המקום, אלא איך עוברים מאיבר לאיבר הבא. הכלל בציור: כל איבר הוא פעמיים הקודם ועוד 11. הסתכלו על הקפיצות: הן לא קבועות, אבל יש בהן סדר.

2152113234475+3+6+12+24…
a1=2a_1=2 והכלל an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. הקפיצות +3,+6,+12,+24+3, +6, +12, +24 אינן קבועות, ולכן זו לא סדרה חשבונית. אבל כל קפיצה כפולה מקודמתה: שם מסתתרת סדרה הנדסית.

חשבו את a6a_6 בסדרה שבציור.

Voir la réponse et le corrigé

a6=2⋅47+1=95a_6=2 \cdot 47+1=95. הקפיצה האחרונה היא +48+48, כפולה מ-+24+24. כדי להגיע ל-a6a_6 חייבים לעבור דרך a5a_5: זה ההבדל מנוסחה לפי המקום.

כלל נסיגה: איבר ראשון וכלל

a1=2an+1=2an+1\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \qquad a_{n+1} &= 2a_n+1\end{aligned}

כלל נסיגה קובע איך מחשבים איבר מהאיבר שלפניו. בלי איבר ראשון אין סדרה: אותו כלל עם a1=0a_1=0 נותן 0,1,3,7,…0, 1, 3, 7, \ldots, סדרה אחרת לגמרי.

סדרה חשבונית והנדסית בתחפושת

an+1=an+da_{n+1}=a_n+d

מוסיפים מספר קבוע: סדרה חשבונית, an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

an+1=q⋅ana_{n+1}=q \cdot a_n

כופלים במספר קבוע: סדרה הנדסית, an=a1qn−1a_n=a_1 q^{n-1}

an+1−an=−3a_{n+1}-a_n=-3

אותו דבר בכתיבה אחרת: חשבונית עם d=−3d=-3

an+1an=−12\frac{a_{n+1}}{a_n}=-\frac{1}{2}

הנדסית עם q=−12q=-\frac{1}{2}

רק בשתי המשפחות האלה עוברים מכלל נסיגה לנוסחה לפי המקום. בכל כלל אחר מחשבים איבר אחרי איבר, או מחפשים סדרה עזר שהיא הנדסית.

הסדרה ההנדסית שמסתתרת בציור

a1=2a_1=2, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1. מגדירים bn=an+1b_n=a_n+1. הוכיחו ש-bnb_n הנדסית ומצאו נוסחה ל-ana_n.

bn+1=an+1+1=2an+1+1\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}+1 \\ &= 2a_n+1+1\end{aligned}

מציבים את כלל הנסיגה

=2(an+1)=2bn=2(a_n+1)=2b_n

מוציאים 22 כגורם משותף

b1=a1+1=3q=2\begin{aligned}b_1 &= a_1+1 \\ &= 3 \\ \quad q &= 2\end{aligned}

כל איבר של bb כפול מקודמו: הנדסית

bn=3⋅2n−1 ⇒ an=3⋅2n−1−1\begin{aligned}b_n &= 3 \cdot 2^{n-1} \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3 \cdot 2^{n-1}-1\end{aligned}

חוזרים ל-ana_n

a5=3⋅16−1=47\begin{aligned}a_5 &= 3 \cdot 16-1 \\ &= 47\end{aligned}

בדיקה מול הציור ✓

בסדרה a1=5a_1=5, an+1=an−3a_{n+1}=a_n-3: איזו סדרה זו, ומהו a20a_{20}?

Voir la réponse et le corrigé

מוסיפים מספר קבוע, −3-3: סדרה חשבונית עם d=−3d=-3. a20=5+19⋅(−3)=−52a_{20}=5+19 \cdot (-3)=-52. תשע-עשרה קפיצות, לא עשרים.

סדרה מחזורית

נתונה a1=2a_1=2 והכלל an+1=11−ana_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}. מחשבים: a2=11−2=−1a_2=\frac{1}{1-2}=-1, a3=11−(−1)=12a_3=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}, a4=11−12=2a_4=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2. האיבר הראשון חזר, ולכן מכאן הכול חוזר: 2,−1,12,2,−1,12,…2, -1, \frac{1}{2}, 2, -1, \frac{1}{2}, \ldots המחזור הוא 33.

100=3⋅33+1 ⇒ a100=a1=2\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 2\end{aligned}

באותה סדרה, מהו a50a_{50}?

Voir la réponse et le corrigé

50=3⋅16+250=3 \cdot 16+2: השארית 22, ולכן a50=a2=−1a_{50}=a_2=-1. השארית בחלוקה במחזור אומרת באיזה מקום בתוך המחזור אנחנו.

כלל שנשען על שני איברים

בכלל כמו an+2=an+1+ana_{n+2}=a_{n+1}+a_n כל איבר נבנה משני קודמיו, ולכן צריך שני איברים ראשונים. עם a1=a2=1a_1=a_2=1 מתקבלת הסדרה 1,1,2,3,5,8,13,…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

שלוש הטעויות של כלל הנסיגה.

an+1=an+2n ⇒ חשבוניתa_{n+1}=a_n+2n \ \Rightarrow \ \text{חשבונית}
an+1−an=2na_{n+1}-a_n=2n

ההפרש חייב להיות מספר קבוע. כאן הוא משתנה עם nn: 1,3,7,131, 3, 7, 13 — קפיצות +2,+4,+6+2, +4, +6.

an+1=3an a1=2 ⇒ an=2⋅3n\begin{aligned}a_{n+1} &= 3a_n \\ \ a_1 &= 2 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 2 \cdot 3^n\end{aligned}
an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}

בודקים ב-n=1n=1: הנוסחה חייבת לתת a1=2a_1=2, ו-2⋅31=62 \cdot 3^1=6.

a50=a50−3a_{50}=a_{50-3}
50=3⋅16+2 ⇒ a50=a2\begin{aligned}50 &= 3 \cdot 16+2 \ \Rightarrow \ a_{50} \\ &= a_2\end{aligned}

במחזור של 33 מורידים כמה מחזורים שצריך. הקיצור הוא השארית בחלוקה ב-33.

לפני כל חישוב שאלו: הכלל מוסיף מספר קבוע או כופל במספר קבוע? אם כן, יש נוסחה. אם לא, מחשבים כמה איברים ומחפשים מחזור או סדרת עזר.

Exercices

Exercice 1

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=an2−5a_{n+1}=a_n^2-5. חשבו את a4a_4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 116

Corrigé :

a2=9−5=4\begin{aligned}a_2 &= 9-5 \\ &= 4\end{aligned}
a3=16−5=11\begin{aligned}a_3 &= 16-5 \\ &= 11\end{aligned}
a4=121−5=116\begin{aligned}a_4 &= 121-5 \\ &= 116\end{aligned}

איבר אחרי איבר. מי שכותב a2=32−5⋅2a_2=3^2-5 \cdot 2 טעה: ה-55 לא מוכפל במקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה כלל נסיגה מגדיר סדרה הנדסית (לכל a1≠0a_1 \neq 0)?

  1. an+1=an−2a_{n+1}=a_n-2
  2. an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n
  3. an+1=an2a_{n+1}=a_n^2
  4. an+1=2an+2a_{n+1}=2a_n+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n

Corrigé :

an+1an=−2\frac{a_{n+1}}{a_n}=-2

מנה קבועה

an+1=an−2a_{n+1}=a_n-2

הפרש קבוע: חשבונית

an+1=2an+2a_{n+1}=2a_n+2

1,4,10,221, 4, 10, 22: המנות 44, 2.52.5 — לא קבועות

הנכונה: an+1=−2ana_{n+1}=-2a_n. מנה שלילית היא מנה חוקית: הסדרה מתחלפת בסימן. 2an+22a_n+2 נראה הנדסי, אבל התוספת +2+2 הורסת את המנה הקבועה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה סדרה: a1=7a_1=7 ו-an+1=an+4a_{n+1}=a_n+4. חשבו את a30a_{30}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 123

Corrigé :

d=4d=4

מוסיפים מספר קבוע: חשבונית

a30=7+29⋅4a_{30}=7+29 \cdot 4

2929 קפיצות

=123=123

כאן אין צורך לחשב 30 איברים: הסדרה חשבונית. מי שכותב 30⋅430 \cdot 4 מקבל 127127.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה סדרה: a1=64a_1=64 ו-an+1=−an2a_{n+1}=-\frac{a_n}{2}. חשבו את a7a_7.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

q=−12q=-\frac{1}{2}

כופלים במספר קבוע: הנדסית

a7=64⋅(−12)6a_7=64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6

שש קפיצות

=6464=1=\frac{64}{64}=1

חזקה זוגית: הסימן חיובי

a7a_7 חיובי, כי במקומות האי-זוגיים הסימן של a1a_1 חוזר. מי שכותב −1-1 ספר שבע קפיצות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה סדרה המקיימת an+1=3an−4a_{n+1}=3a_n-4, וידוע ש-a3=11a_3=11. מצאו את a1a_1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

an=an+1+43a_n=\frac{a_{n+1}+4}{3}

הופכים את הכלל: הולכים אחורה

a2=11+43=5\begin{aligned}a_2 &= \frac{11+4}{3} \\ &= 5\end{aligned}
a1=5+43=3\begin{aligned}a_1 &= \frac{5+4}{3} \\ &= 3\end{aligned}
3→5→113 \to 5 \to 11

בדיקה קדימה ✓

הולכים אחורה בפעולה ההפוכה: קודם מוסיפים 44 ורק אחר כך מחלקים ב-33. מי שמחלק קודם מקבל a2=113+4a_2=\frac{11}{3}+4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=1−1ana_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}. חשבו את a100a_{100}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

a2=1−13=23\begin{aligned}a_2 &= 1-\frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}
a3=1−32=−12\begin{aligned}a_3 &= 1-\frac{3}{2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
a4=1+2=3=a1\begin{aligned}a_4 &= 1+2 \\ &= 3 \\ &= a_1\end{aligned}

מחזור של 33

100=3⋅33+1 ⇒ a100=a1=3\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 3\end{aligned}

שארית 11

ברגע ש-a1a_1 חוזר, הסדרה מחזורית. השארית בחלוקה ב-33 היא 11, ולכן a100=a1a_{100}=a_1. מי שמחלק 100100 ב-33 ומעגל לא נעזר בשארית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2n היא סדרה חשבונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a2=3 a3=7 a4=13\begin{aligned}a_2 &= 3 \\ \ a_3 &= 7 \\ \ a_4 &= 13\end{aligned}

שלושה איברים

a2−a1=2a3−a2=4\begin{aligned}a_2-a_1 &= 2 \\ \quad a_3-a_2 &= 4\end{aligned}

ההפרשים שונים

הטענה אינה נכונה. מה שמוסיפים הוא 2n2n, והוא משתנה עם nn. בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה סדרה: a1=1a_1=1 ו-an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. מגדירים bn=an+1b_n=a_n+1. השלימו.

bnb_n הנדסית עם מנה ____ , b4=b_4= ____ , a4=a_4= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : bnb_n הנדסית עם מנה 3 , b4=b_4= 54 , a4=a_4= 53

Corrigé :

bn+1=3an+2+1=3(an+1)=3bn\begin{aligned}b_{n+1} &= 3a_n+2+1 \\ &= 3(a_n+1) \\ &= 3b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

b1=2 ⇒ b4=2⋅33=54\begin{aligned}b_1 &= 2 \ \Rightarrow \ b_4 \\ &= 2 \cdot 3^3 \\ &= 54\end{aligned}

נוסחת האיבר הכללי

a4=54−1=53\begin{aligned}a_4 &= 54-1 \\ &= 53\end{aligned}

חוזרים ל-aa

1→5→17→531 \to 5 \to 17 \to 53

בדיקה בכלל עצמו ✓

הטריק: +2+1=3⋅1+2+1=3 \cdot 1, ולכן אפשר להוציא 33 כגורם משותף. בסוף לא לשכוח לחזור מ-b4b_4 ל-a4a_4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה סדרה: a1=1a_1=1, a2=3a_2=3 ו-an+2=an+1+2ana_{n+2}=a_{n+1}+2a_n. חשבו את a6a_6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 43

Corrigé :

a3=3+2⋅1=5\begin{aligned}a_3 &= 3+2 \cdot 1 \\ &= 5\end{aligned}

n=1n=1

a4=5+2⋅3=11\begin{aligned}a_4 &= 5+2 \cdot 3 \\ &= 11\end{aligned}
a5=11+2⋅5=21\begin{aligned}a_5 &= 11+2 \cdot 5 \\ &= 21\end{aligned}
a6=21+2⋅11=43\begin{aligned}a_6 &= 21+2 \cdot 11 \\ &= 43\end{aligned}

2an2a_n מכפיל את האיבר הרחוק מבין השניים. מי שמכפיל את הקרוב, an+1a_{n+1}, מקבל a3=7a_3=7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=1−1ana_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}. חשבו את a1+a2+…+a30a_1+a_2+\ldots+a_{30}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31.67

Corrigé :

3, 23, −12, 3, …3, \ \frac{2}{3}, \ -\frac{1}{2}, \ 3, \ \ldots

מחזור של 33

3+23−12=1963+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{19}{6}

סכום מחזור אחד

10⋅196=953≈31.6710 \cdot \frac{19}{6}=\frac{95}{3} \approx 31.67

3030 איברים הם 1010 מחזורים שלמים

סוכמים מחזור ומכפילים במספר המחזורים. אם 3030 לא היה מתחלק ב-33, היה צריך להוסיף את האיברים שנשארו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe