Suites

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי משפחות הסדרות, עם הנוסחאות המלאות ועם הסכומים — כולל המקרה שבו סדרה אינסופית מתכנסת למספר סופי.

חשבונית

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1) d
Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

הנדסית

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}
Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

נוסחת הסכום ההנדסי אינה מוגדרת ב-q=1q = 1 — המכנה מתאפס. אבל אז הסדרה קבועה, והסכום הוא פשוט a1⋅na_1 \cdot n.

סדרה הנדסית אינסופית

כש-∣q∣<1|q| < 1 האיברים הולכים וקטנים, והסכום מתכנס למספר סופי — למרות שיש אינסוף איברים.

S=a11−qS = \frac{a_1}{1 - q}

הדוגמה הקלאסית: 1+12+14+18+…=21 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2. חוצים כל פעם את המרחק שנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

איך מזהים איזו סדרה

a2−a1=a3−a2a_2 - a_1 = a_3 - a_2

הפרש קבוע — חשבונית.

a2a1=a3a2\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}

מנה קבועה — הנדסית.

ולפעמים סדרה אינה אף אחת מהשתיים — למשל 1, 4, 9, 16 (ריבועים). אין חובה שסדרה תשתייך לאחת המשפחות.

שתי הטעויות של הסדרות.

an=a1+nda_n = a_1 + n d
a1+(n−1)da_1 + (n-1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים.

S∞ תמיד קייםS_\infty \ \text{תמיד קיים}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים לא קטנים והסכום מתבדר.

בסדרה הנדסית עם q=12q = \frac{1}{2} — האם קיים סכום אינסופי?

Voir la réponse et le corrigé

כן. התנאי הוא ∣q∣<1|q| < 1, ואז S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}. עבור ∣q∣≥1|q| \geq 1 הסכום מתבדר ואין לו ערך.

Exercices

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 96

Corrigé :

3⋅253 \cdot 2^5

חמישה צעדים

=96= 96

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48, 96.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו סכום הסדרה האינסופית 1+12+14+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

S=11−0.5S = \frac{1}{1 - 0.5}

נוסחת הסכום האינסופי

=2= 2

התוצאה

חוצים כל פעם את הנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום סופי?

  1. כאשר a1>0a_1 > 0
  2. כאשר q>1q > 1
  3. תמיד
  4. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Corrigé :

∣q∣<1|q| < 1

האיברים הולכים וקטנים

אחרת האיברים לא שואפים לאפס והסכום מתבדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הסדרה 1, 4, 9, 16 — איזה סוג?

  1. חשבונית
  2. שתיהן
  3. הנדסית
  4. לא חשבונית ולא הנדסית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא חשבונית ולא הנדסית

Corrigé :

3, 5, 73,\ 5,\ 7

ההפרשים אינם קבועים

4, 2.25, 1.784,\ 2.25,\ 1.78

וגם לא המנות

אלה ריבועים. אין חובה שסדרה תשתייך למשפחה מוכרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2, d=5d = 5. מהו סכום 20 האיברים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 990

Corrigé :

a20=2+19⋅5=97\begin{aligned}a_{20} &= 2 + 19 \cdot 5 \\ &= 97\end{aligned}

האיבר האחרון

S=(2+97)⋅202S = \frac{(2 + 97) \cdot 20}{2}

הסכום

=990= 990

On calcule

19 צעדים, לא 20.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 והפרש d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

הנוסחה

5+9⋅3=325 + 9 \cdot 3 = 32

תשע קפיצות, לא עשר

(n−1)(n-1) ולא nn — מ-a1a_1 ל-a10a_{10} יש תשע קפיצות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו הסכום S10S_{10}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 185

Corrigé :

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הנוסחה

10(5+32)2=185\frac{10(5 + 32)}{2} = 185

מציבים a10=32a_{10} = 32

צריך קודם את a10a_{10}. הסכום נשען על האיבר האחרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית a1=2a_1 = 2 ומנה q=3q = 3. מהו a5a_5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 162

Corrigé :

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

הנוסחה

2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}2 \cdot 3^4 &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

החזקה היא 44

שוב n−1n-1 בחזקה, לא nn. 2⋅352 \cdot 3^5 היה נותן 486486.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1 = 8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}

הנוסחה, בתנאי ∣q∣<1|q| < 1

81−0.5=16\frac{8}{1 - 0.5} = 16

סכום סופי לאינסוף איברים — זה אפשרי בדיוק כאשר ∣q∣<1|q| < 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. תמיד
  3. כאשר a1>0a_1 > 0
  4. כאשר q>1q > 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Corrigé :

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים הולכים ומתאפסים

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe