Suite géométrique et somme infinie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר — המנה qq. ההבדל מהחשבונית הוא מילה אחת: חיבור מול כפל.

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

האיבר הכללי — שוב (n−1)(n-1), הפעם בחזקה.

Sn=a1(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים, כאשר q≠1q \neq 1.

איבר וסכום

בסדרה a1=3a_1 = 3, q=2q = 2. חשבו את a6a_6 ואת S6S_6.

a6=3⋅25=96\begin{aligned}a_6 &= 3 \cdot 2^5 \\ &= 96\end{aligned}

החזקה היא 55, לא 66

S6=3(26−1)2−1S_6 = \frac{3(2^6-1)}{2-1}
=3⋅63=189= 3 \cdot 63 = 189

הסכום האינסופי

S=a11−qכאשר  ∣q∣<1S = \frac{a_1}{1-q} \qquad \text{כאשר} \ \ |q| < 1

נשמע בלתי אפשרי: מחברים אינסוף מספרים ומקבלים מספר סופי. אבל אם כל איבר הוא חצי מקודמו, הסכום מתקרב לגבול ולא עובר אותו לעולם.

אינסוף איברים, סכום קטן

2+1+0.5+0.25+…2 + 1 + 0.5 + 0.25 + \ldots

a1=2  q=12\begin{aligned}a_1 &= 2 \ \\ \ q &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
S=21−0.5S = \frac{2}{1 - 0.5}
=4= 4

הסכום לעולם לא יעבור את 44

התנאי ∣q∣<1|q| < 1 הוא כל הסיפור. אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף — אין נוסחה ואין תשובה.

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

Voir la réponse et le corrigé

כי q=2q = 2, והאיברים גדלים. כל תוספת גדולה מקודמתה, והסכום עובר כל מספר שנבחר. הנוסחה a11−q\frac{a_1}{1-q} הייתה נותנת 1−1=−1\frac{1}{-1} = -1 — תוצאה חסרת פשר, וזה הסימן שהתנאי הופר.

שלושה איברים עוקבים

b2=a⋅cb^2 = a \cdot c

בחשבונית האמצעי היה הממוצע החשבוני; כאן הוא הממוצע ההנדסי. אותו רעיון, פעולה אחרת.

שתי הטעויות של הסדרה ההנדסית.

an=a1q na_n = a_1 q^{\,n}
an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

אותה מלכודת כמו בחשבונית, הפעם בחזקה. 3⋅263 \cdot 2^6 נותן 192192 במקום 9696.

S=a11−q תמידS = \frac{a_1}{1-q} \ \text{תמיד}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

בלי לבדוק את התנאי מקבלים מספר שנראה תקין ואין לו משמעות.

Exercices

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 96

Corrigé :

3⋅253 \cdot 2^5

החזקה n−1n-1

=96= 96

עם 262^6 היה יוצא 192192 — פי שניים מהאמת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו S6S_6?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 189

Corrigé :

3(26−1)2−1\frac{3(2^6-1)}{2-1}
3⋅63=1893 \cdot 63 = 189

המכנה q−1q-1 שווה 11 כאן, ולכן נעלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו סכום הסדרה האינסופית 2+1+0.5+…2 + 1 + 0.5 + \ldots?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

q=0.5  ∣q∣<1\begin{aligned}q &= 0.5 \ \\ \ |q| < 1\end{aligned}

התנאי מתקיים

21−0.5=4\frac{2}{1-0.5} = 4

אינסוף איברים, סכום סופי — כי הם קטנים מספיק מהר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=27a_1 = 27 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו הסכום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40.5

Corrigé :

271−13\frac{27}{1 - \frac{1}{3}}
2723=40.5\frac{27}{\frac{2}{3}} = 40.5

חילוק בשבר — כפל בהופכי. 27⋅3227 \cdot \frac{3}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה הנדסית אינסופית הסכום 18 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו a1a_1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

18=a11−1318 = \frac{a_1}{1-\frac{1}{3}}
a1=18⋅23=12\begin{aligned}a_1 &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

הכיוון ההפוך — מהסכום אל האיבר הראשון, ונשאל לא פחות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. כאשר a1>0a_1 > 0
  3. כאשר q>1q > 1
  4. תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כאשר ∣q∣<1|q| < 1

Corrigé :

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים חייבים להתאפס, אחרת הסכום בורח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

האיברים 44, bb, 99 עוקבים בסדרה הנדסית. מהו bb החיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

b2=4⋅9=36\begin{aligned}b^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

הממוצע ההנדסי

b=6b = 6

או −6-6

שתי תשובות: 66 ו-−6-6. הסדרה 4,−6,94, -6, 9 הנדסית גם היא, עם q=−1.5q = -1.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית a1=5a_1 = 5 ו-a4=40a_4 = 40. מהי המנה qq?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a4=a1q3a_4 = a_1 q^3

שלוש קפיצות

40=5q3⇒q3=8\begin{aligned}40 &= 5q^3 \Rightarrow q^3 \\ &= 8\end{aligned}
q=2q = 2

החזקה היא מספר הקפיצות, כאן 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

  1. כי q=2q = 2 והאיברים גדלים
  2. כי יש אינסוף איברים
  3. כי a1=1a_1 = 1
  4. יש לו סכום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי q=2q = 2 והאיברים גדלים

Corrigé :

∣q∣=2≥1|q| = 2 \geq 1

התנאי מופר

אינסוף איברים אינו הסיבה — לסדרה 2+1+0.5+…2+1+0.5+\ldots יש גם אינסוף איברים, ויש לה סכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מה ההבדל בין סדרה חשבונית להנדסית?

  1. אין הבדל מהותי
  2. בחשבונית האיברים גדלים
  3. בהנדסית יש יותר איברים
  4. בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע

Corrigé :

an+1=an+da_{n+1} = a_n + d

חשבונית

an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q

הנדסית

חיבור מול כפל. כל שאר ההבדלים נובעים מזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית עם ∣q∣<1|q| < 1. הוכיחו שסכומה הוא S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}.

  • Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} — סכום nn האיברים הראשונים
  • ∣q∣<1|q| < 1

S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∣q∣<1|q| < 1 — נתון
  2. qn→0q^n \to 0 כאשר n→∞n \to \infty — מספר שערכו המוחלט קטן מ-11, בחזקה גדלה, שואף לאפס
  3. 1−qn→11 - q^n \to 1 — הצבת הגבול של qnq^n
  4. Sn→a1⋅11−qS_n \to \dfrac{a_1 \cdot 1}{1-q} — הצבה בנוסחת הסכום החלקי
  5. S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q} — וזהו הגבול, כלומר סכום הסדרה
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בסדרה הנדסית a1=−5a_1 = -5 ו-q=3q = 3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. יורדת
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. עולה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יורדת

Corrigé :

−5, −15, −45, …-5 ,\ -15 ,\ -45 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅2<0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot 2<0\end{aligned}

כל האיברים שליליים, ו-q−1>0q-1>0

יורדת. q>1q>1 מגדיל את הגודל של האיברים, אבל הם שליליים: −15-15 קטן מ-−5-5. מי שעונה «עולה» הסתכל רק על qq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בסדרה הנדסית a1=−8a_1 = -8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A עולה

Corrigé :

−8, −4, −2, …-8 ,\ -4 ,\ -2 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅(−12)>0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)>0\end{aligned}

שני גורמים שליליים

עולה. האיברים מתקרבים ל-00 מלמטה: −4-4 גדול מ-−8-8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=−3q = -3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא עולה ולא יורדת

Corrigé :

4, −12, 36, …4 ,\ -12 ,\ 36 ,\ \ldots

הסימן מתחלף בכל צעד

a2<a1,a3>a2a_2<a_1 ,\quad a_3>a_2

פעם יורדת, פעם עולה

לא עולה ולא יורדת. כש-q<0q<0 שני איברים עוקבים הם בסימנים שונים, לכל a1a_1. כך כותבים את התשובה בבגרות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe