Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על הסדרה ההנדסית: איבר כללי, סכום חלקי, סכום אינסופי ותנאי ההתכנסות, מנה משני איברים, שבר מחזורי ותת-סדרה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: כמה קפיצות יש בין שני האיברים? ובכל סכום אינסופי: האם ∣q∣<1|q|<1?

Exercices

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=−2q=-2. מהו a6a_6?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -160

Corrigé :

a6=a1⋅q5a_6=a_1\cdot q^5

חמש קפיצות מ-a1a_1 ל-a6a_6

5⋅(−2)5=5⋅(−32)=−160\begin{aligned}5\cdot(-2)^5 &= 5\cdot(-32) \\ &= -160\end{aligned}

חזקה אי-זוגית של מספר שלילי

המעריך הוא 55, לא 66. ו-(−2)5(-2)^5 שלילי: מי שכותב 160160 איבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. מהו סכום 88 האיברים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 765

Corrigé :

S8=a1(q8−1)q−1S_8=\frac{a_1(q^8-1)}{q-1}

נוסחת הסכום

=3(256−1)1=765=\frac{3(256-1)}{1}=765

On remplace (מציבים)

הטעות הנפוצה: 3⋅28=7683\cdot 2^8=768, שהוא האיבר a9a_9 ולא הסכום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בסדרה הנדסית אינסופית a1=15a_1=15 ו-q=0.4q=0.4. מהו סכום הסדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

∣0.4∣<1|0.4|<1

יש סכום

S=151−0.4=150.6=25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1-0.4} \\ &= \frac{15}{0.6} \\ &= 25\end{aligned}

הנוסחה

במכנה 1−q1-q, לא 1+q1+q: עם 1.41.4 במכנה יוצא בערך 10.710.7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לאיזו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום?

  1. q=1q=1
  2. q=1.1q=1.1
  3. q=−0.9q=-0.9
  4. q=−1.2q=-1.2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C q=−0.9q=-0.9

Corrigé :

∣−0.9∣=0.9<1|-0.9|=0.9<1

רק כאן התנאי מתקיים

∣1∣=1 ∣−1.2∣=1.2 ∣1.1∣=1.1\begin{aligned}|1| &= 1 \\ \ |-1.2| &= 1.2 \\ \ |1.1| &= 1.1\end{aligned}

בשאר ∣q∣≥1|q| \geq 1

הנכונה: q=−0.9q=-0.9. מנה שלילית אינה מונעת התכנסות: הסימן מתחלף, אבל האיברים קטנים. ו-q=1q=1 לא מתכנסת: כל האיברים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=48a_5=48. מהי המנה qq?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a5a2=q3\frac{a_5}{a_2}=q^3

שלוש קפיצות מ-a2a_2 ל-a5a_5

q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}q^3 &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

שורש שלישי

מי שכותב q5=8q^5=8 או q2=8q^2=8 ספר את המקומות במקום את הקפיצות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השבר המחזורי 0.363636…0.363636\ldots הוא סכום של סדרה הנדסית אינסופית: 0.36+0.0036+0.000036+…0.36+0.0036+0.000036+\ldots. לאיזה שבר הוא שווה?

  1. 925\frac{9}{25}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 36999\frac{36}{999}
  4. 411\frac{4}{11}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 411\frac{4}{11}

Corrigé :

a1=0.36q=0.01\begin{aligned}a_1 &= 0.36 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

כל איבר קטן פי 100100

S=0.360.99=3699=411\begin{aligned}S &= \frac{0.36}{0.99} \\ &= \frac{36}{99} \\ &= \frac{4}{11}\end{aligned}

הסכום

הנכונה: 411\frac{4}{11}. 925=0.36\frac{9}{25}=0.36 בדיוק, בלי ההמשך. 36999\frac{36}{999} מתאים למחזור של שלוש ספרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, והאיבר הראשון שלה הוא 1010. מהי המנה qq?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

101−q=40\frac{10}{1-q}=40

נוסחת הסכום

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

On résout

מי שכותב q=14q=\frac{1}{4} עצר ב-1−q1-q ושכח את הצעד האחרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, האיברים שבמקומות האי-זוגיים a1, a3, a5, …a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots יוצרים סדרה הנדסית שהמנה שלה 44.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a2k+1a2k−1=q2\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=q^2

שתי קפיצות בין שני מקומות אי-זוגיים

q2=4q^2=4

המנה של תת-הסדרה

הטענה נכונה. מי שחושב שהמנה נשארת 22 שכח שמדלגים על איבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=3a_1=3 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו סכום האיברים שבמקומות הזוגיים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a2=1.5q2=14\begin{aligned}a_2 &= 1.5 \\ \quad q^2 &= \frac{1}{4}\end{aligned}

תת-הסדרה a2, a4, …a_2,\,a_4,\,\ldots

1.51−14=2\frac{1.5}{1-\frac{1}{4}}=2

הסכום

האיבר הראשון של תת-הסדרה הוא a2a_2, לא a1a_1, והמנה היא q2q^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המספרים 33, xx, 2727 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-xx שלילי. מהו xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -9

Corrigé :

x2=3⋅27=81\begin{aligned}x^2 &= 3\cdot 27 \\ &= 81\end{aligned}

האמצעי בריבוע שווה למכפלת שכניו

x=−9x=-9

הערך השלילי

גם 99 פותר את x2=81x^2=81, אבל השאלה מבקשת xx שלילי. אז המנה היא −3-3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe