Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: שתי משוואות על אותה סדרה, יחס בין סכומים, השארית של סכום אינסופי, סדרת הריבועים, ושילוב של סדרה חשבונית והנדסית.

כשיש שתי משוואות על אותה סדרה, מחלקים אחת בשנייה: a1a_1 נעלם ונשארת משוואה ב-qq בלבד.

Exercices

Exercice 1

בסדרה הנדסית a1+a3=20a_1+a_3=20 ו-a2+a4=60a_2+a_4=60. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=q= 3 , a1=a_1= 2

Corrigé :

a2+a4=q(a1+a3)a_2+a_4=q(a_1+a_3)

כל איבר כפול qq הוא הבא

60=20q ⇒ q=3\begin{aligned}60 &= 20q \ \Rightarrow \ q \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים

a1(1+9)=20 ⇒ a1=2\begin{aligned}a_1(1+9) &= 20 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 2\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מחלקים את שתי המשוואות לפני שפותחים סוגריים. מי שכותב a1+a1q2a_1+a_1q^2 ו-a1q+a1q3a_1q+a_1q^3 ופותר כמערכת רגילה נתקע במשוואה ממעלה שלישית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית גדול פי 44 מהאיבר הראשון שלה. מהי המנה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

a11−q=4a1\frac{a_1}{1-q}=4a_1

הנתון

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מחלקים ב-a1≠0a_1 \neq 0

התשובה לא תלויה ב-a1a_1. מי שמנסה למצוא את a1a_1 מחפש נתון שלא קיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל סכום 728728?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

2(3n−1)2=728\frac{2(3^n-1)}{2}=728

נוסחת הסכום

3n=729=36\begin{aligned}3^n &= 729 \\ &= 3^6\end{aligned}

בודקים חזקות של 33

n=6n=6

מספר האיברים

בלי לוגריתם: מחפשים חזקה של 33 בניסוי. מי שכותב 2⋅3n=7282\cdot 3^n=728 שכח את −1-1 ואת המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1=8 ו-q=12q=\frac{1}{2}. SS הוא סכום כל הסדרה, ו-S4S_4 סכום ארבעת האיברים הראשונים. מהו S−S4S-S_4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

S−S4=a5+a6+…S-S_4=a_5+a_6+\ldots

מה שנשאר אחרי ארבעה איברים

a5=8⋅116=0.5\begin{aligned}a_5 &= 8\cdot\frac{1}{16} \\ &= 0.5\end{aligned}

האיבר הראשון של השארית

0.51−12=1\frac{0.5}{1-\frac{1}{2}}=1

סכום השארית

השארית היא סדרה הנדסית אינסופית בפני עצמה, עם אותה מנה. אפשר גם 16−15=116-15=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המספרים 44, 4q4q, 4q24q^2 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית שבה q>0q>0. אם מגדילים את האיבר האמצעי ב-88, מתקבלים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מהו qq?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2(4q+8)=4+4q22(4q+8)=4+4q^2

בחשבונית: האמצעי הוא הממוצע של שכניו

q2−2q−3=0 ⇒ q=3 q=−1\begin{aligned}q^2-2q-3 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= 3 \\ \ q &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

q=3q=3

q>0q>0

בדיקה: 4, 20, 364,\,20,\,36 היא חשבונית עם הפרש 1616. את התנאי של החשבונית כותבים עם סכום, לא עם מכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=−3q=-3. מגדירים bn=a2nb_n=a_{2n}. מהי המנה של bnb_n?

  1. −3-3
  2. 99
  3. −9-9
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 99

Corrigé :

bn=a2n ⇒ bn+1bn=a2n+2a2n=q2\begin{aligned}b_n &= a_{2n} \ \Rightarrow \ \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= \frac{a_{2n+2}}{a_{2n}} \\ &= q^2\end{aligned}

שתי קפיצות

(−3)2=9(-3)^2=9

המנה

הנכונה: 99. כל איברי bnb_n שליליים (b1=−6b_1=-6), אבל המנה חיובית: מכפלת שני מספרים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 1212, וסכום ריבועי איבריה הוא 4848. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : q=q= 0.5 , a1=a_1= 6

Corrigé :

a11−q=12a121−q2=48\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 12 \\ \quad \frac{a_1^2}{1-q^2} &= 48\end{aligned}

ריבועי האיברים: סדרה עם a12a_1^2 ומנה q2q^2

a11+q=4\frac{a_1}{1+q}=4

מחלקים את השנייה בראשונה

4(1+q)=12(1−q) ⇒ q=12 a1=6\begin{aligned}4(1+q) &= 12(1-q) \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2} \\ \ a_1 &= 6\end{aligned}

משווים

1−q2=(1−q)(1+q)1-q^2=(1-q)(1+q) הוא המפתח. מי שכותב a12(1−q)2\frac{a_1^2}{(1-q)^2} ריבע את הסכום, לא את האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית אינסופית a1=10a_1=10 ו-q=−12q=-\frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.666666666666667

Corrigé :

S=101−(−12)=101.5\begin{aligned}S &= \frac{10}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \frac{10}{1.5}\end{aligned}

מציבים מנה שלילית

=203≈6.67=\frac{20}{3}\approx 6.67

הסכום

המינוס של qq והמינוס של הנוסחה נותנים פלוס. מי שכותב 100.5=20\frac{10}{0.5}=20 איבד סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, סכום 2n2n האיברים הראשונים גדול פי 1717 מסכום nn האיברים הראשונים. מהו nn?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

S2nSn=q2n−1qn−1=qn+1\begin{aligned}\frac{S_{2n}}{S_n} &= \frac{q^{2n}-1}{q^n-1} \\ &= q^n+1\end{aligned}

הפרש ריבועים

2n+1=17 ⇒ 2n=16\begin{aligned}2^n+1 &= 17 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 16\end{aligned}

משוואה

n=4n=4

24=162^4=16

q2n−1=(qn−1)(qn+1)q^{2n}-1=(q^n-1)(q^n+1). התשובה לא תלויה ב-a1a_1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בסדרה הנדסית אינסופית a1=9a_1=9 ו-q=−13q=-\frac{1}{3}. שורה אחת בחישוב הסכום שגויה. מצאו אותה.

∣q∣=13<1|q|=\frac{1}{3}<1
S=91−13=13.5\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\frac{1}{3}} \\ &= 13.5\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=91−13=13.5S=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=13.5 → S=91+13=6.75S=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=6.75

Corrigé :

1−(−13)=431-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}

המכנה

S=943=6.75\begin{aligned}S &= \frac{9}{\frac{4}{3}} \\ &= 6.75\end{aligned}

הסכום

מציבים את qq עם הסימן שלו. 13.513.5 הוא הסכום של q=13q=\frac{1}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe