Points, distances et milieux

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בגאומטריה אנליטית כל נקודה מקבלת כתובת: זוג מספרים (x, y)(x,\ y). בעזרת הכתובות מחשבים מרחקים, אמצעים ושטחים, בלי סרגל.

המרחק בין שתי נקודות

ההפרש האופקי וההפרש האנכי בין שתי נקודות הם הניצבים של משולש ישר זווית. המרחק בין הנקודות הוא היתר. לכן משתמשים במשפט פיתגורס.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A(1, 2)A(1,\ 2) ו-B(7, 10)B(7,\ 10)

מצאו את אורך הקטע ABAB.

x2−x1=7−1=6\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 7 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש האופקי

y2−y1=10−2=8\begin{aligned}y_2 - y_1 &= 10 - 2 \\ &= 8\end{aligned}

ההפרש האנכי

d=36+64=100=10\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

האורך

מה המרחק בין (2, 5)(2,\ 5) ל-(2, 11)(2,\ 11)?

Voir la réponse et le corrigé

שתי הנקודות על אותו קו אנכי (x=2x = 2). המרחק הוא פשוט 11−5=611 - 5 = 6. הנוסחה נותנת אותו דבר: 0+36=6\sqrt{0 + 36} = 6.

אמצע קטע

שיעורי האמצע הם הממוצע של שיעורי הקצוות: ממוצע ה-xx-ים וממוצע ה-yy-ים.

M=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

האמצע של ABAB

A(1, 2)A(1,\ 2), B(7, 10)B(7,\ 10).

1+72=4\frac{1 + 7}{2} = 4
2+102=6\frac{2 + 10}{2} = 6
M(4, 6)M(4,\ 6)

קצה חסר

M(4, 6)M(4,\ 6) הוא אמצע הקטע ACAC, ו-A(1, 2)A(1,\ 2). מצאו את CC.

1+x2=4⇒x=7\begin{aligned}\frac{1 + x}{2} &= 4 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}
2+y2=6⇒y=10\begin{aligned}\frac{2 + y}{2} &= 6 \Rightarrow y \\ &= 10\end{aligned}
C(7, 10)C(7,\ 10)

אפשר גם: מ-AA ל-MM זזים (+3, +4)(+3,\ +4), ושוב אותו צעד

איזה משולש זה?

כשמחשבים את שלוש הצלעות, אפשר לדעת אם משולש שווה שוקיים (שתי צלעות שוות) או ישר זווית (פיתגורס מתקיים).

A(−2, 1)A(-2,\ 1), B(6, 1)B(6,\ 1), C(2, 7)C(2,\ 7). AC=BC=16+36=52AC = BC = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}: המשולש שווה שוקיים.

שתי טעויות במרחק ובאמצע.

d=(7−1)+(10−2)=14\begin{aligned}d &= (7 - 1) + (10 - 2) \\ &= 14\end{aligned}
d=62+82=10\begin{aligned}d &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק הוא יתר, לא סכום הניצבים.

M=(7−12, 10−22)M = \left(\frac{7 - 1}{2},\ \frac{10 - 2}{2}\right)
M=(7+12, 10+22)M = \left(\frac{7 + 1}{2},\ \frac{10 + 2}{2}\right)

באמצע מחברים את השיעורים. בהפרש משתמשים במרחק.

Exercices

Exercice 1

מצאו את המרחק בין A(2, 3)A(2,\ 3) ל-B(5, 7)B(5,\ 7).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

32+42=25=5\begin{aligned}\sqrt{3^2 + 4^2} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

AB=5AB = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את המרחק בין P(−1, 4)P(-1,\ 4) ל-Q(11, −1)Q(11,\ -1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

122+(−5)2=169=13\begin{aligned}\sqrt{12^2 + (-5)^2} &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

PQ=13PQ = 13. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את אמצע הקטע שבין A(3, −2)A(3,\ -2) ל-B(9, 6)B(9,\ 6).

M=M = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M=M = ( 6 , 2 )

Corrigé :

3+92=6\frac{3 + 9}{2} = 6
−2+62=2\frac{-2 + 6}{2} = 2

M(6, 2)M(6,\ 2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

M(2, 5)M(2,\ 5) הוא אמצע הקטע ABAB, ו-A(−1, 3)A(-1,\ 3). מצאו את BB.

B=B = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B=B = ( 5 , 7 )

Corrigé :

−1+x2=2⇒x=5\begin{aligned}\frac{-1 + x}{2} &= 2 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
3+y2=5⇒y=7\begin{aligned}\frac{3 + y}{2} &= 5 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

B(5, 7)B(5,\ 7).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מה המרחק בין (4, −3)(4,\ -3) ל-(4, 6)(4,\ 6)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

6−(−3)=96 - (-3) = 9

קו אנכי

99.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המשולש A(0, 0)A(0,\ 0), B(6, 0)B(6,\ 0), C(3, 4)C(3,\ 4) הוא:

  1. שווה שוקיים
  2. שווה צלעות
  3. אף אחד מאלה
  4. ישר זווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A שווה שוקיים

Corrigé :

AC=9+16=5\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
BC=9+16=5\begin{aligned}BC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
AB=6AB = 6

שווה שוקיים: AC=BC=5AC = BC = 5, ו-AB=6AB = 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את היקף המשולש A(0, 0)A(0,\ 0), B(6, 0)B(6,\ 0), C(3, 4)C(3,\ 4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

5+5+6=165 + 5 + 6 = 16

1616.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נכון או לא נכון: המשולש A(1, 1)A(1,\ 1), B(4, 1)B(4,\ 1), C(4, 5)C(4,\ 5) הוא ישר זווית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AB=3 BC=4 AC=5\begin{aligned}AB &= 3 \\ \ BC &= 4 \\ \ AC &= 5\end{aligned}
32+42=523^2 + 4^2 = 5^2

נכון. הזווית הישרה ב-BB: ABAB אופקית ו-BCBC אנכית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מוצאים את המרחק בין (2, −1)(2,\ -1) ל-(8, 7)(8,\ 7). איזו שורה שגויה?

8−2=68 - 2 = 6
7−1=67 - 1 = 6
d=36+36d = \sqrt{36 + 36}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7−1=67 - 1 = 6 → 7−(−1)=87 - (-1) = 8

Corrigé :

d=36+64=10\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

ההפרש האנכי הוא 7−(−1)=87 - (-1) = 8. המרחק הנכון 1010.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הנקודה C(x, 0)C(x,\ 0) על ציר xx, והמרחק שלה מ-A(1, 4)A(1,\ 4) הוא 55. מצאו את xx, כאשר x>1x > 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(x−1)2+16=25(x - 1)^2 + 16 = 25
(x−1)2=9⇒x=4\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

x>1x > 1

x=4x = 4. (גם x=−2x = -2 במרחק 55, אבל הוא קטן מ-11.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שביל ישר בפארק מתחיל ב-A(2, 1)A(2,\ 1) ונגמר ב-B(8, 9)B(8,\ 9) (היחידות במאות מטרים). השלימו.

אורך השביל: ____ ; הספסל באמצע השביל: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אורך השביל: 10 ; הספסל באמצע השביל: ( 5 , 5 )

Corrigé :

36+64=10\sqrt{36 + 64} = 10
M=(5, 5)M = (5,\ 5)

1010 ו-(5, 5)(5,\ 5).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe