Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים של שניים–שלושה צעדים: פותחים סוגריים, מחשבים אורך, זווית או שטח.

אורך: מעלים בריבוע. זווית: מחלקים במכפלת האורכים. שטח: סינוס, לא קוסינוס.

Exercices

Exercice 1

∣a‾∣=4|\underline{a}|=4, ∣b‾∣=6|\underline{b}|=6, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. חשבו את ∣a‾+b‾∣|\underline{a}+\underline{b}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.72

Corrigé :

a‾⋅b‾=12\underline{a}\cdot\underline{b}=12
∣a‾+b‾∣2=16+24+36=76\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 16+24+36 \\ &= 76\end{aligned}
76≈8.72\sqrt{76}\approx 8.72

∣a‾+b‾∣≠4+6|\underline{a}+\underline{b}|\neq 4+6. מעלים בריבוע, ולא שוכחים את 2 a‾⋅b‾=242\,\underline{a}\cdot\underline{b}=24.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=5|\underline{b}|=5 ו-a‾⋅b‾=−7.5\underline{a}\cdot\underline{b}=-7.5. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

cos⁡α=−7.515=−12 ⇒ α=120∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-7.5}{15} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קוסינוס שלילי נותן זווית קהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2 ו-u‾⋅v‾=1\underline{u}\cdot\underline{v}=1. חשבו את (2u‾−v‾)⋅(u‾+3v‾)(2\underline{u}-\underline{v})\cdot(\underline{u}+3\underline{v}).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

=2∣u‾∣2+6 u‾⋅v‾−v‾⋅u‾−3∣v‾∣2=2|\underline{u}|^2+6\,\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}-3|\underline{v}|^2
=18+5−12=11=18+5-12=11

ארבע מכפלות. −3∣v‾∣2=−12-3|\underline{v}|^2=-12: הסימן של −v‾-\underline{v} נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDEFGH

בתיבה ABCDEFGHABCDEFGH: AB=2AB=2, AD=3AD=3, AE=6AE=6. השלימו.

∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= ____ ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= ____ ; AG→⋅BH→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∣AG→∣=|\overrightarrow{AG}|= 7 ; AG→⋅AE→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}= 36 ; AG→⋅BH→=\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}= 41

Corrigé :

AG→=u‾+v‾+w‾∣AG→∣=4+9+36=7\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad |\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{4+9+36} \\ &= 7\end{aligned}
AG→⋅w‾=36\overrightarrow{AG}\cdot\underline{w}=36
BH→=−u‾+v‾+w‾AG→⋅BH→=−4+9+36=41\begin{aligned}\overrightarrow{BH} &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH} &= -4+9+36 \\ &= 41\end{aligned}

BH→\overrightarrow{BH} מתחיל ב-BB: −u‾-\underline{u}, ולכן ∣u‾∣2|\underline{u}|^2 נכנס עם מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDEFGH

באותה תיבה (AB=2AB=2, AD=3AD=3, AE=6AE=6), מצאו את הזווית בין האלכסונים AG→\overrightarrow{AG} ו-BH→\overrightarrow{BH} (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33.2

Corrigé :

∣BH→∣=7|\overrightarrow{BH}|=7

כל האלכסונים של תיבה שווים

cos⁡α=4149 ⇒ α≈33.2∘\cos\alpha=\frac{41}{49}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 33.2^\circ

המכפלה מהשאלה הקודמת, חלקי מכפלת האורכים 7⋅77\cdot 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

∣a‾∣=3|\underline{a}|=3, ∣b‾∣=4|\underline{b}|=4, a‾⋅b‾=2\underline{a}\cdot\underline{b}=2. חישבו את ∣a‾−b‾∣|\underline{a}-\underline{b}|. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∣a‾−b‾∣2=9−2⋅2+16|\underline{a}-\underline{b}|^2=9-2\cdot 2+16
=21=21
∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=21
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=21 → ∣a‾−b‾∣=21|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}

Corrigé :

∣a‾−b‾∣=21≈4.58|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}\approx 4.58

2121 הוא ריבוע האורך. השורש הוא הצעד האחרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש ABCABC: ∣AB→∣=8|\overrightarrow{AB}|=8, ∣AC→∣=5|\overrightarrow{AC}|=5, AB→⋅AC→=20\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=20. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17.32

Corrigé :

cos⁡A=2040=12 ⇒ sin⁡A=32\begin{aligned}\cos A &= \frac{20}{40} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sin A \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}
S=12⋅8⋅5⋅32=103≈17.32\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

מהמכפלה מקבלים קוסינוס; בשטח צריך סינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH האלכסונים AGAG ו-ECEC מאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AG→=u‾+v‾+w‾EC→=u‾+v‾−w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{EC} &= \underline{u}+\underline{v}-\underline{w}\end{aligned}
AG→⋅EC→=a2+a2−a2=a2≠0\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{EC} &= a^2+a^2-a^2 \\ &= a^2\neq 0\end{aligned}

שני אלכסונים של קובייה אינם מאונכים. רק החישוב מכריע — לא הציור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, ∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8, u‾⋅v‾=−20\underline{u}\cdot\underline{v}=-20, AS=9AS=9. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 51.96

Corrigé :

cos⁡A=−12 ⇒ A=120∘\begin{aligned}\cos A &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}
SABC=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅103⋅9=303≈51.96\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 9 \\ &= 30\sqrt{3}\approx 51.96\end{aligned}

sin⁡120∘=32\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, חיובי. נפח לעולם לא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} לא מקבילים, ו-w‾\underline{w} מאונך לשניהם. איזו מכפלה היא בהכרח 00?

  1. w‾⋅w‾\underline{w}\cdot\underline{w}
  2. u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}
  3. w‾⋅(u‾−2v‾)\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})
  4. (u‾+w‾)⋅w‾(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C w‾⋅(u‾−2v‾)\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})

Corrigé :

w‾⋅(u‾−2v‾)=w‾⋅u‾−2 w‾⋅v‾=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v}) &= \underline{w}\cdot\underline{u}-2\,\underline{w}\cdot\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

w‾\underline{w} מאונך למישור של u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}, ולכן לכל צירוף שלהם. w‾⋅w‾=∣w‾∣2\underline{w}\cdot\underline{w}=|\underline{w}|^2 אינו אפס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe