Lois des puissances

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכיתה ט למדנו חוקי חזקות עם מעריך שלם. בפרק הזה הם הכלי המרכזי: כל משוואה מעריכית מתחילה בהם.

מהו 23⋅242^3 \cdot 2^4? ומהו (23)4(2^3)^4?

Voir la réponse et le corrigé

23⋅24=27=1282^3 \cdot 2^4=2^7=128: בכפל מחברים מעריכים. (23)4=212=4096(2^3)^4=2^{12}=4096: בחזקה של חזקה כופלים מעריכים.

מעריך אפס ומעריך שלילי

a0=1a−n=1an(a≠0)\begin{aligned}a^0 &= 1 \qquad a^{-n} \\ &= \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)\end{aligned}
5−2=1255^{-2}=\frac{1}{25}

הופכים לשבר, המעריך נעשה חיובי

(23)−2=(32)2=94\begin{aligned}\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} &= \left(\frac{3}{2}\right)^{2} \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

שבר בחזקה שלילית: הופכים את השבר

10−3=11000=0.001\begin{aligned}10^{-3} &= \frac{1}{1000} \\ &= 0.001\end{aligned}

מעריך שלילי לא נותן מספר שלילי

מהו (14)−2\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}?

Voir la réponse et le corrigé

(14)−2=42=16\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=4^2=16. הופכים את השבר, והמעריך נעשה חיובי.

מעריך שבור: שורש כחזקה

גם שורש הוא חזקה. a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, כי a12⋅a12=a1=aa^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{1}=a.

amn=amn=(an)m(a>0)\begin{aligned}a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} \\ &= \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \qquad (a>0)\end{aligned}

מחשבים 8238^{\frac{2}{3}} ו-27−2327^{-\frac{2}{3}}

המכנה של המעריך הוא השורש, והמונה הוא החזקה.

823=(83)2=22=4\begin{aligned}8^{\frac{2}{3}} &= \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 \\ &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

קודם שורש שלישי, אחר כך ריבוע

27−23=1272327^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}

המינוס הופך לשבר

1(273)2=132=19\begin{aligned}\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

ואז אותו חישוב כמו קודם

מהו 163416^{\frac{3}{4}}?

Voir la réponse et le corrigé

164=2\sqrt[4]{16}=2, ולכן 1634=23=816^{\frac{3}{4}}=2^3=8.

מחשבים קודם את השורש, ורק אחר כך את החזקה. כך המספרים נשארים קטנים: 164=2\sqrt[4]{16}=2 קל יותר מ-40964\sqrt[4]{4096}.

לכתוב הכול באותו בסיס

בכל הפרק נכתוב מספרים כחזקה של בסיס אחד. למשל 8=238=2^3, 14=2−2\frac{1}{4}=2^{-2} ו-2=212\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}.

42=22⋅212=252\begin{aligned}4\sqrt{2} &= 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{\frac{5}{2}}\end{aligned}

כפל: מחברים מעריכים

193=1323=3−23\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt[3]{9}} &= \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \\ &= 3^{-\frac{2}{3}}\end{aligned}

שורש, ואחר כך שבר

0.04=125=5−2\begin{aligned}0.04 &= \frac{1}{25} \\ &= 5^{-2}\end{aligned}

מספר עשרוני: קודם כותבים אותו כשבר

כתבו את 82\frac{8}{\sqrt{2}} כחזקה של 22.

Voir la réponse et le corrigé

23212=23−12=252\frac{2^3}{2^{\frac{1}{2}}}=2^{3-\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{2}}. בחילוק מחסרים מעריכים.

שלוש טעויות שחוזרות.

2−3=−82^{-3}=-8
2−3=182^{-3}=\frac{1}{8}

מעריך שלילי הופך את החזקה לשבר. הוא לא הופך את המספר לשלילי.

912=4.59^{\frac{1}{2}}=4.5
912=9=3\begin{aligned}9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

המעריך 12\frac{1}{2} הוא שורש, לא חצי מהמספר.

23+23=262^3+2^3=2^6
23+23=2⋅23=24\begin{aligned}2^3+2^3 &= 2 \cdot 2^3 \\ &= 2^4\end{aligned}

אין חוק לחיבור חזקות. שתי חזקות שוות הן 22 כפול החזקה.

Exercices

Exercice 1

חשבו: 272327^{\frac{2}{3}}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

273=3\sqrt[3]{27}=3

המכנה 33: שורש שלישי

32=93^2=9

המונה 22: ריבוע

99. מי שכתב 1818 הכפיל את 2727 ב-23\frac{2}{3}: המעריך לא כופל את הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו: (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(12)−3=23\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}

הופכים את השבר, המעריך נעשה חיובי

23=82^3=8

88. התשובה −18-\frac{1}{8} הופכת את הסימן במקום את השבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזה ביטוי שווה ל-x23\sqrt[3]{x^2}, כאשר x>0x>0?

  1. x−23x^{-\frac{2}{3}}
  2. x6x^{6}
  3. x32x^{\frac{3}{2}}
  4. x23x^{\frac{2}{3}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x23x^{\frac{2}{3}}

Corrigé :

xmn=xmn\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}

השורש הוא המכנה, החזקה היא המונה

x23=x23\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}

הנכונה: x23x^{\frac{2}{3}}. x32x^{\frac{3}{2}} מחליפה בין המונה למכנה. x6x^6 כופלת 2⋅32 \cdot 3 במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כתבו את 32232\sqrt{2} כחזקה של 22. השלימו את המעריך (כמספר עשרוני).

322=2 □32\sqrt{2}=2^{\,\square} , □=\square= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 322=2 □32\sqrt{2}=2^{\,\square} , □=\square= 5.5

Corrigé :

32=252=20.5\begin{aligned}32 &= 2^5 \qquad \sqrt{2} \\ &= 2^{0.5}\end{aligned}

כל גורם כחזקה של 22

25⋅20.5=25.52^5 \cdot 2^{0.5}=2^{5.5}

כפל: מחברים מעריכים

המעריך 5.55.5, כלומר 112\frac{11}{2}. מי שכתב 2.52.5 כפל 5⋅0.55 \cdot 0.5 במקום לחבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: 4−12=−24^{-\frac{1}{2}}=-2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

4−12=1412=14=12\begin{aligned}4^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המינוס הופך לשבר, החצי הוא שורש

הטענה לא נכונה: 4−12=124^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}. חזקה של בסיס חיובי היא תמיד חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

התאימו לכל חזקה את הערך שלה.

  • 8138^{\frac{1}{3}}
  • 8−18^{-1}
  • 808^{0}
  • 4324^{\frac{3}{2}}
  • 16−1416^{-\frac{1}{4}}
  • 12\frac{1}{2}
  • 18\frac{1}{8}
  • 11
  • 22
  • 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8138^{\frac{1}{3}} — 22 · 8−18^{-1} — 18\frac{1}{8} · 808^{0} — 11 · 4324^{\frac{3}{2}} — 88 · 16−1416^{-\frac{1}{4}} — 12\frac{1}{2}

Corrigé :

432=(4)3=23=8\begin{aligned}4^{\frac{3}{2}} &= \left(\sqrt{4}\right)^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

שורש, ואחר כך חזקה

16−14=1164=12\begin{aligned}16^{-\frac{1}{4}} &= \frac{1}{\sqrt[4]{16}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מינוס: שבר

שימו לב: 80=18^{0}=1 ולא 00, ו-8−18^{-1} חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מפשטים את x34⋅x12x14\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}}, כאשר x>0x>0. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x34⋅x12=x34+12x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}
=x38=x^{\frac{3}{8}}
x54x14=x54−14=x1=x\begin{aligned}\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} &= x^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}} \\ &= x^{1} \\ &= x\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =x38=x^{\frac{3}{8}} → =x54=x^{\frac{5}{4}}

Corrigé :

34+12=34+24=54\begin{aligned}\frac{3}{4}+\frac{1}{2} &= \frac{3}{4}+\frac{2}{4} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

מכנה משותף

x54−14=xx^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}=x

השורה השלישית כבר נכונה

בשורה 2 כפלו את השברים 34⋅12\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} במקום לחבר אותם. בכפל חזקות מחברים מעריכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו: 932⋅3−22713\frac{9^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-2}}{27^{\frac{1}{3}}}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

932=332713=3\begin{aligned}9^{\frac{3}{2}} &= 3^{3} \qquad 27^{\frac{1}{3}} \\ &= 3\end{aligned}

הכול בבסיס 33

33⋅3−231=33−2−1=30\begin{aligned}\frac{3^{3} \cdot 3^{-2}}{3^{1}} &= 3^{3-2-1} \\ &= 3^0\end{aligned}

מחברים ומחסרים מעריכים

30=13^0=1

11. כשכותבים הכול באותו בסיס, החישוב הוא רק חשבון של מעריכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו 210+2102^{10}+2^{10}?

  1. 4204^{20}
  2. 2202^{20}
  3. 2112^{11}
  4. 4104^{10}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2112^{11}

Corrigé :

210+210=2⋅2102^{10}+2^{10}=2 \cdot 2^{10}

שני מחוברים שווים

=21⋅210=211=2^{1} \cdot 2^{10}=2^{11}

כפל: מחברים מעריכים

הנכונה: 2112^{11}. 2202^{20} מחברת מעריכים של סכום, ואין חוק כזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את המספרים מהקטן לגדול.

  • (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}
  • 2−12^{-1}
  • 4124^{\frac{1}{2}}
  • 8238^{\frac{2}{3}}
  • 9−129^{-\frac{1}{2}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9−129^{-\frac{1}{2}} · 2−12^{-1} · 4124^{\frac{1}{2}} · 8238^{\frac{2}{3}} · (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

Corrigé :

9−12=132−1=12\begin{aligned}9^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{3} \qquad 2^{-1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני המספרים הקטנים מ-11

412=2823=4(12)−3=8\begin{aligned}4^{\frac{1}{2}} &= 2 \qquad 8^{\frac{2}{3}} \\ &= 4 \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \\ &= 8\end{aligned}

שלושת הגדולים

מחשבים כל חזקה לפני שמשווים. (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} נראית קטנה, אבל היא הגדולה ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון 3k=393^{k}=\frac{\sqrt{3}}{9}. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.5

Corrigé :

3=3129=32\begin{aligned}\sqrt{3} &= 3^{\frac{1}{2}} \qquad 9 \\ &= 3^{2}\end{aligned}

כל מספר כחזקה של 33

31232=312−2=3−1.5\begin{aligned}\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{2}} &= 3^{\frac{1}{2}-2} \\ &= 3^{-1.5}\end{aligned}

חילוק: מחסרים מעריכים

k=−1.5k=-1.5. מי שקיבל 2.52.5 חיבר את המעריכים במקום לחסר: 99 נמצא במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: איזה מספר שווה ל-2−22^{-2}, ואיזה לא?

  • שווה ל-2−22^{-2}
  • לא שווה
  • −14-\frac{1}{4}
  • −4-4
  • 14\frac{1}{4}
  • (12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
  • 0.250.25
  • 16−1416^{-\frac{1}{4}}
  • 4−14^{-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14\frac{1}{4} — שווה ל-2−22^{-2} · 0.250.25 — שווה ל-2−22^{-2} · 4−14^{-1} — שווה ל-2−22^{-2} · (12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2} — שווה ל-2−22^{-2} · −4-4 — לא שווה · 16−1416^{-\frac{1}{4}} — לא שווה · −14-\frac{1}{4} — לא שווה

Corrigé :

2−2=14=0.25\begin{aligned}2^{-2} &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}
16−14=1216^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}

זה 2−12^{-1}, לא 2−22^{-2}

מעריך שלילי נותן שבר חיובי. לכן −4-4 ו-−14-\frac{1}{4} לא מתאימים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe