Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות. בכל שאלה שני שלבים: קודם וקטור או משוואה, ואחר כך התשובה.

פרמטר אחד בשאלה: כותבים את התנאי (אורך, מאונך, מקביל) כמשוואה ב-kk, ופותרים.

Exercices

Exercice 1

נתון A(1, 2, 3)A(1,\,2,\,3), B(k, 4, 9)B(k,\,4,\,9), k>1k>1, ו-∣AB→∣=7|\overrightarrow{AB}|=7. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

AB→=(k−1, 2, 6)\overrightarrow{AB}=(k-1,\,2,\,6)
(k−1)2+4+36=49 ⇒ (k−1)2=9\begin{aligned}(k-1)^2+4+36 &= 49 \ \Rightarrow \ (k-1)^2 \\ &= 9\end{aligned}
k−1=3 ⇒ k=4\begin{aligned}k-1 &= 3 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

k>1k>1, ולכן k−1=−3k-1=-3 נפסל

מעלים בריבוע את כל הרכיב k−1k-1, לא רק את kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDABCD היא מקבילית. A(3, 0, −1)A(3,\,0,\,-1), B(5, 2, 1)B(5,\,2,\,1), C(4, 6, 0)C(4,\,6,\,0). מצאו את שיעורי DD.

x=x= ____ ; y=y= ____ ; z=z= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 2 ; y=y= 4 ; z=z= -2

Corrigé :

BC→=(−1, 4, −1)\overrightarrow{BC}=(-1,\,4,\,-1)
D=A+BC→=(2, 4, −2)\begin{aligned}D &= A+\overrightarrow{BC} \\ &= (2,\,4,\,-2)\end{aligned}

במקבילית ABCDABCD, AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. בודקים: DC→=(2, 2, 2)=AB→\overrightarrow{DC}=(2,\,2,\,2)=\overrightarrow{AB} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון משולש A(2, 1, 0)A(2,\,1,\,0), B(4, 3, 1)B(4,\,3,\,1), C(0, 3, 1)C(0,\,3,\,1). מצאו את גודל הזווית BACBAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 83.62

Corrigé :

AB→=(2, 2, 1)AC→=(−2, 2, 1)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,2,\,1) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (-2,\,2,\,1)\end{aligned}
AB→⋅AC→=−4+4+1=1\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -4+4+1 \\ &= 1\end{aligned}
cos⁡A=13⋅3 ⇒ A≈83.62∘\cos A=\frac{1}{3\cdot 3} \ \Rightarrow \ A\approx 83.62^\circ

שני הווקטורים מ-AA. המשולש שווה שוקיים (∣AB→∣=∣AC→∣=3|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=3), אבל צריך את הזווית בין השוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותו משולש ABCABC, חשבו את השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.47

Corrigé :

S=12⋅3⋅3⋅sin⁡83.62∘≈4.47S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\sin 83.62^\circ\approx 4.47

סינוס של הזווית, לא קוסינוס. sin⁡A=1−181\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{81}}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את kk, אם (3, −2, 1)⊥(−2, 4, k)(3,\,-2,\,1)\perp(-2,\,4,\,k).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

3⋅(−2)+(−2)⋅4+1⋅k=03\cdot(-2)+(-2)\cdot 4+1\cdot k=0
−6−8+k=0 ⇒ k=14\begin{aligned}-6-8+k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 14\end{aligned}

שתי המכפלות הראשונות שליליות: −6−8=−14-6-8=-14. מי שענה 22 כתב −6+8-6+8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

u‾=(2, 0, 1)\underline{u}=(2,\,0,\,1), v‾=(0, 1, −1)\underline{v}=(0,\,1,\,-1). נתון w‾=(−2, 3, −4)=αu‾+βv‾\underline{w}=(-2,\,3,\,-4)=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}. מצאו את α\alpha ואת β\beta.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= -1 ; β=\beta= 3

Corrigé :

x: 2α=−2 ⇒ α=−1\begin{aligned}x:\ 2\alpha &= -2 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= -1\end{aligned}
y: β=3y:\ \beta=3
z: −1−3=−4 ✓z:\ -1-3=-4\ \checkmark

בדיקה

שתי משוואות קלות, והשלישית בודקת. בלי הבדיקה אי אפשר לדעת שהצירוף קיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודות P(2, −1, 3)P(2,\,-1,\,3), Q(4, 0, 1)Q(4,\,0,\,1), R(8, 2, −3)R(8,\,2,\,-3) נמצאות על ישר אחד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

PQ→=(2, 1, −2)PR→=(6, 3, −6)=3PQ→\begin{aligned}\overrightarrow{PQ} &= (2,\,1,\,-2) \\ \quad \overrightarrow{PR} &= (6,\,3,\,-6) \\ &= 3\overrightarrow{PQ}\end{aligned}

שני וקטורים מקבילים מאותה נקודה PP: שלוש הנקודות על ישר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הווקטור (k, 3, −1)(k,\,3,\,-1) מקביל לווקטור (4, −6, 2)(4,\,-6,\,2). מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

(k, 3, −1)=t(4, −6, 2)(k,\,3,\,-1)=t(4,\,-6,\,2)
y: t=−12z: −1=−12⋅2 ✓\begin{aligned}y:\ t &= -\frac{1}{2} \qquad z:\ -1 \\ &= -\frac{1}{2}\cdot 2\ \checkmark\end{aligned}
k=−12⋅4=−2\begin{aligned}k &= -\frac{1}{2}\cdot 4 \\ &= -2\end{aligned}

מוצאים את tt מרכיב ידוע, ובודקים ברכיב השני. tt יכול להיות שבר ושלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (M(1, 3, −2)M(1,\,3,\,-2) אמצע ABAB, ו-A(4, 1, 0)A(4,\,1,\,0). מחפשים את BB.)

AM→=(−3, 2, −2)\overrightarrow{AM}=(-3,\,2,\,-2)
B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM}
B=(7, −1, 2)B=(7,\,-1,\,2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B=A−AM→B=A-\overrightarrow{AM} → B=M+AM→=(−2, 5, −4)B=M+\overrightarrow{AM}=(-2,\,5,\,-4)

Corrigé :

B=M+AM→=(1−3, 3+2, −2−2)=(−2, 5, −4)\begin{aligned}B &= M+\overrightarrow{AM} \\ &= (1-3,\,3+2,\,-2-2) \\ &= (-2,\,5,\,-4)\end{aligned}

ממשיכים מ-MM באותו כיוון

מ-MM ממשיכים עוד AM→\overrightarrow{AM}. A−AM→A-\overrightarrow{AM} הולך אחורה, לצד השני של AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו לפי סוג הזווית בין u‾=(1, 2, −1)\underline{u}=(1,\,2,\,-1) לבין כל וקטור.

  • זווית חדה
  • זווית קהה
  • (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1)
  • (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1)
  • (2, 1, 3)(2,\,1,\,3)
  • (3, 1, 2)(3,\,1,\,2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (2, 1, 3)(2,\,1,\,3) — זווית חדה · (3, 1, 2)(3,\,1,\,2) — זווית חדה · (−1, 0, 1)(-1,\,0,\,1) — זווית קהה · (2, −2, 1)(2,\,-2,\,1) — זווית קהה

Corrigé :

(1, 2, −1)⋅(2, 1, 3)=1(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,1,\,3)=1
(1, 2, −1)⋅(3, 1, 2)=3(1,\,2,\,-1)\cdot(3,\,1,\,2)=3
(1, 2, −1)⋅(−1, 0, 1)=−2(1,\,2,\,-1)\cdot(-1,\,0,\,1)=-2
(1, 2, −1)⋅(2, −2, 1)=−3(1,\,2,\,-1)\cdot(2,\,-2,\,1)=-3

מספיק הסימן של המכפלה הסקלרית: חיובי לזווית חדה, שלילי לזווית קהה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe