Exprimer avec u, v, w

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

השאלה הקבועה של הבגרות: «הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את הווקטור…». כלומר: כתבו אותו כצירוף של שלושתם.

11

מוצאים מסלול מההתחלה אל הסוף, על מקצועות שמכירים

22

כותבים כל צעד ב-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}, עם שבר לחלק של מקצוע

33

מחברים ומכנסים איברים דומים

בפירמידה

בפירמידה ABCSABCS: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}. השלושה יוצאים מ-AA.

הביעו את AF→\overrightarrow{AF}

FF על BCBC, ו-BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}.

BC→=AC→−AB→=v‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \\ &= \underline{v}-\underline{u}\end{aligned}

סוף פחות התחלה

AF→=AB→+BF→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}

מסלול: AA, BB, FF

=u‾+34(v‾−u‾)=\underline{u}+\frac{3}{4}(\underline{v}-\underline{u})
=14u‾+34v‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}

מכנסים: 1−34=141-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

הביעו את AE→\overrightarrow{AE}. (EE היא אמצע SCSC.)

Voir la réponse et le corrigé

AE→=v‾+12CS→=v‾+12(w‾−v‾)=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\underline{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CS}=\underline{v}+\frac{1}{2}(\underline{w}-\underline{v})=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}.

אל אמצע של קטע: AE→=12(AC→+AS→)\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}) כש-EE אמצע CSCS. הממוצע של שני הווקטורים.

הביעו את EF→\overrightarrow{EF}

משתמשים בשני הווקטורים שכבר מצאנו.

EF→=AF→−AE→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}

סוף פחות התחלה

=14u‾+34v‾−(12v‾+12w‾)=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}-(\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w})
=14u‾+14v‾−12w‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}

שימו לב לסימן של w‾\underline{w}

בתיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. MM אמצע C′D′C'D', ו-NN על BB′BB' כך ש-BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2.

הביעו את AM→\overrightarrow{AM}.

Voir la réponse et le corrigé

AM→=AD→+DD′→+12D′C′→=12u‾+v‾+w‾\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D'C'}=\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}. שימו לב: D′C′→=u‾\overrightarrow{D'C'}=\underline{u}, כי מ-D′D' אל C′C' הולכים עם u‾\underline{u}.

במנסרה

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-KK אמצע B′C′B'C'.

הביעו את AK→\overrightarrow{AK}

עולים קודם, ואחר כך הולכים בבסיס העליון.

AK→=AA′→+A′K→\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'K}
A′K→=12(A′B′→+A′C′→)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{A'K} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'C'}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

אמצע: הממוצע

AK→=12u‾+12v‾+w‾\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

שתי טעויות שחוזרות בבגרות.

BF→=34v‾\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\underline{v}
BF→=34(v‾−u‾)\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}(\underline{v}-\underline{u})

FF על BCBC, לא על ACAC. החלק הוא של BC→\overrightarrow{BC}.

CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u}
CB→=u‾−v‾\overrightarrow{CB}=\underline{u}-\underline{v}

סוף פחות התחלה: AB→−AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}, כלומר u‾−v‾\underline{u}-\underline{v}.

בדיקה מהירה: מסלול אחר חייב לתת אותו צירוף. אם יצא משהו אחר, יש טעות באחד הצעדים.

Exercices

Exercice 1

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}. הביעו את BS→\overrightarrow{BS}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= -1 ; β=\beta= 0 ; γ=\gamma= 1

Corrigé :

BS→=AS→−AB→\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}

סוף פחות התחלה

=−u‾+w‾=-\underline{u}+\underline{w}

הווקטור מתחיל ב-BB: לכן −u‾-\underline{u}, לא +u‾+\underline{u}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCSEF

באותה פירמידה, EE אמצע SCSC. הביעו את BE→\overrightarrow{BE}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= -1 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 0.5

Corrigé :

BE→=AE→−AB→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}
AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

אמצע: ממוצע

=−u‾+12v‾+12w‾=-\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

קודם הוקטור מ-AA אל EE, ואחר כך מחסרים את ההתחלה. מי שקיבל α=1\alpha=1 שכח את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCSEF

באותה פירמידה, FF על BCBC ו-BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}. הביעו את SF→\overrightarrow{SF}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 0.25 ; β=\beta= 0.75 ; γ=\gamma= -1

Corrigé :

SF→=AF→−AS→\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AS}
=14u‾+34v‾−w‾=\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}-\underline{w}

SS למעלה ו-FF בבסיס: יורדים, ולכן γ=−1\gamma=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDA'B'C'D'MN

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-MM אמצע C′D′C'D'. מהו BM→\overrightarrow{BM}?

  1. 12u‾+v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
  2. −12u‾+v‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}
  3. −u‾+v‾+w‾-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
  4. −12u‾+v‾+w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −12u‾+v‾+w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

Corrigé :

BM→=AM→−AB→\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}
=12u‾+v‾+w‾−u‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}-\underline{u}
=−12u‾+v‾+w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

התשובה השנייה היא AM→\overrightarrow{AM}, ההתחלה ב-AA ולא ב-BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDA'B'C'D'MN

באותה תיבה, NN על BB′BB' ו-BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2. הביעו את DN→\overrightarrow{DN}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 1 ; β=\beta= -1 ; γ=\gamma= 0.333333

Corrigé :

BN→=13w‾\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\underline{w}

1:21:2 הוא שליש מהמקצוע

DN→=DA→+AB→+BN→\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}
=u‾−v‾+13w‾=\underline{u}-\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}

BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2 נותן 13\frac{1}{3}, לא 12\frac{1}{2}: יש שלושה חלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCA'B'C'K

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}, ו-KK אמצע B′C′B'C'. הביעו את CK→\overrightarrow{CK}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= -0.5 ; γ=\gamma= 1

Corrigé :

CK→=AK→−AC→\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}
=12u‾+12v‾+w‾−v‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}-\underline{v}
=12u‾−12v‾+w‾=\frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}: המקדם של v‾\underline{v} שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS (EE אמצע SCSC, BF→=34BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}): AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AE→=12(AC→+AS→)\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS})

אמצע של CSCS

אל אמצע הקטע CSCS הולכים בממוצע של AC→\overrightarrow{AC} ו-AS→\overrightarrow{AS}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCSEF

בפירמידה ABCSABCS (AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}). שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u}
SC→=v‾−w‾\overrightarrow{SC}=\underline{v}-\underline{w}
BS→=w‾−u‾\overrightarrow{BS}=\underline{w}-\underline{u}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : CB→=v‾−u‾\overrightarrow{CB}=\underline{v}-\underline{u} → CB→=u‾−v‾\overrightarrow{CB}=\underline{u}-\underline{v}

Corrigé :

CB→=AB→−AC→=u‾−v‾\begin{aligned}\overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \\ &= \underline{u}-\underline{v}\end{aligned}

סוף פחות התחלה

הסוף הוא BB, ולכן u‾\underline{u} בא עם פלוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDA'B'C'D'P

בתיבה (אותם u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}): PP היא מרכז הפאה A′B′C′D′A'B'C'D', נקודת המפגש של האלכסונים. הביעו את AP→\overrightarrow{AP}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

Corrigé :

A′P→=12A′C′→=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{A'P} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'} \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

AP→=w‾+12u‾+12v‾\overrightarrow{AP}=\underline{w}+\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}

המרכז הוא אמצע האלכסון A′C′A'C': חצי מ-u‾+v‾\underline{u}+\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCSG

בפירמידה ABCSABCS (AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}): GG על SBSB ו-SG→=13SB→\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}. מהו AG→\overrightarrow{AG}?

  1. 13u‾+w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\underline{w}
  2. 13u‾+23w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}
  3. 13u‾−13w‾\frac{1}{3}\underline{u}-\frac{1}{3}\underline{w}
  4. 23u‾+13w‾\frac{2}{3}\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 13u‾+23w‾\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}

Corrigé :

AG→=AS→+13SB→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}
=w‾+13(u‾−w‾)=\underline{w}+\frac{1}{3}(\underline{u}-\underline{w})
=13u‾+23w‾=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{w}

GG קרובה ל-SS, ולכן המקדם של w‾\underline{w} גדול: 23\frac{2}{3}. התשובה השנייה מתאימה ל-GG קרובה ל-BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCSEH

בפירמידה ABCSABCS, EE אמצע SCSC. הנקודה HH על BCBC, ו-BH→=tBC→\overrightarrow{BH}=t\overrightarrow{BC}. מצאו את tt שעבורו EH→\overrightarrow{EH} מקביל ל-SB→\overrightarrow{SB}. (אפשר לכתוב שבר.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

AH→=u‾+t(v‾−u‾)=(1−t)u‾+tv‾\begin{aligned}\overrightarrow{AH} &= \underline{u}+t(\underline{v}-\underline{u}) \\ &= (1-t)\underline{u}+t\underline{v}\end{aligned}
EH→=AH→−AE→=(1−t)u‾+(t−12)v‾−12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{EH} &= \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AE} \\ &= (1-t)\underline{u}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}
SB→=u‾−w‾\overrightarrow{SB}=\underline{u}-\underline{w}

אין בו v‾\underline{v}

t−12=0⇒t=12\begin{aligned}t-\frac{1}{2} &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מקביל: גם ב-EH→\overrightarrow{EH} המקדם של v‾\underline{v} חייב להיות 00

EH→=12u‾−12w‾=12SB→\begin{aligned}\overrightarrow{EH} &= \frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{w} \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\end{aligned}

בדיקה ✓

HH יוצאת אמצע BCBC: EHEH הוא קטע אמצעים במשולש SBCSBC. מקבילות = כפולה, ולכן מקדם שחסר באחד חייב להיות 00 גם בשני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCDA'B'C'D'MN

בתיבה (אותם u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}), MM אמצע C′D′C'D' ו-NN על BB′BB' עם BN:NB′=1:2BN:NB'=1:2. הביעו את NM→\overrightarrow{NM}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר, למשל 1/21/2).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= -0.5 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 0.666667

Corrigé :

NM→=AM→−AN→\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}

סוף פחות התחלה

=(12u‾+v‾+w‾)−(u‾+13w‾)=(\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})-(\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{w})
=−12u‾+v‾+23w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\frac{2}{3}\underline{w}

1−13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}: מ-NN עולים עוד שני שלישים של המקצוע עד הבסיס העליון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe