Produit par un scalaire, combinaison linéaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

2u‾2\underline{u} הוא וקטור באותו כיוון כמו u‾\underline{u}, וארוך פי 2. −3u‾-3\underline{u} ארוך פי 33, ובכיוון ההפוך.

k>0k>0

אותו כיוון כמו u‾\underline{u}

k<0k<0

כיוון הפוך

k=0k=0

וקטור האפס

∣ku‾∣=∣k∣⋅∣u‾∣|k\underline{u}|=|k| \cdot |\underline{u}|

האורך מוכפל בערך המוחלט של kk.

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6. מהו ∣−12u‾∣|-\frac{1}{2}\underline{u}|?

Voir la réponse et le corrigé

12⋅6=3\frac{1}{2} \cdot 6=3. הסימן −- הופך את הכיוון, לא את האורך.

נקודה על מקצוע

MM היא אמצע ABAB: AM→=12AB→\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

FF נמצאת על BCBC, ו-BF→=23BC→\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. אז FF מחלקת את BCBC ביחס 2:12:1, ו-FC→=13BC→\overrightarrow{FC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.

הנקודה KK על AA′AA', ו-AK:KA′=1:3AK:KA'=1:3. כתבו את AK→\overrightarrow{AK} בעזרת AA′→\overrightarrow{AA'}.

Voir la réponse et le corrigé

AK→=14AA′→\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}. היחס 1:31:3 מחלק את המקצוע ל-44 חלקים, ו-AKAK הוא חלק אחד מהם.

מקבילים = כפולה

a‾∥b‾  ⟺  a‾=tb‾\underline{a} \parallel \underline{b} \iff \underline{a}=t\underline{b}

שני וקטורים (לא אפס) מקבילים כשאחד הוא כפולה של השני.

האם הם מקבילים?

האם a‾=2u‾−4v‾\underline{a}=2\underline{u}-4\underline{v} מקביל ל-b‾=−u‾+2v‾\underline{b}=-\underline{u}+2\underline{v}?

a‾=tb‾⇒2=−t −4=2t\begin{aligned}\underline{a} &= t\underline{b} \Rightarrow 2 \\ &= -t \\ \ -4 &= 2t\end{aligned}

משווים את המקדמים של u‾\underline{u} ושל v‾\underline{v}

t=−2t=-2

אותו tt בשתי המשוואות

a‾=−2b‾\underline{a}=-2\underline{b}

מקבילים, בכיוון הפוך

צירוף ליניארי

צירוף ליניארי של u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} הוא סכום של כפולות שלהם. המספרים α\alpha, β\beta, γ\gamma נקראים מקדמים.

a‾=αu‾+βv‾+γw‾\underline{a}=\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}

כש-u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} לא נמצאים באותו מישור, יש לכל וקטור במרחב דרך אחת בלבד להיכתב כך.

מכנסים איברים דומים

פשטו: 2(u‾−v‾)+3(v‾+w‾)−w‾2(\underline{u}-\underline{v})+3(\underline{v}+\underline{w})-\underline{w}.

2u‾−2v‾+3v‾+3w‾−w‾2\underline{u}-2\underline{v}+3\underline{v}+3\underline{w}-\underline{w}

פותחים סוגריים

=2u‾+v‾+2w‾=2\underline{u}+\underline{v}+2\underline{w}

כמו 2x+y+2z2x+y+2z באלגברה

αu‾+βv‾+γw‾=2u‾−w‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}=2\underline{u}-\underline{w}. מהם α\alpha, β\beta, γ\gamma?

Voir la réponse et le corrigé

α=2\alpha=2, β=0\beta=0, γ=−1\gamma=-1. הכתיבה יחידה, ולכן משווים מקדם מול מקדם. v‾\underline{v} חסר, ולכן β=0\beta=0.

השבר של החלק השני.

BF→=23BC→⇒FC→=23BC→\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{FC} \\ &= \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\end{aligned}
FC→=13BC→\overrightarrow{FC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

מה שנשאר מ-BCBC אחרי 23\frac{2}{3} הוא 13\frac{1}{3}.

CF→=13BC→\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
CF→=−13BC→\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

מ-CC אל FF הולכים נגד BC→\overrightarrow{BC}.

Exercices

Exercice 1

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4. חשבו את ∣−3u‾∣|-3\underline{u}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

∣−3u‾∣=∣−3∣⋅4=12\begin{aligned}|-3\underline{u}| &= |-3| \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

האורך הוא 1212, לא −12-12: אורך אף פעם לא שלילי. ה-−- רק הופך את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה וקטור מקביל ל-3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v}?

  1. 3u‾+6v‾3\underline{u}+6\underline{v}
  2. 6u‾−3v‾6\underline{u}-3\underline{v}
  3. u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v}
  4. −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}

Corrigé :

3u‾−6v‾=−3(−u‾+2v‾)3\underline{u}-6\underline{v}=-3(-\underline{u}+2\underline{v})

כפולה, עם t=−3t=-3

ב-u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v} היחס בין המקדמים הוא 1:21:2 אבל בסימן אחד, וב-3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v} בסימנים הפוכים: לא כפולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פשטו: 3(u‾+w‾)−2(u‾−v‾+w‾)3(\underline{u}+\underline{w})-2(\underline{u}-\underline{v}+\underline{w}). כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 1 ; β=\beta= 2 ; γ=\gamma= 1

Corrigé :

3u‾+3w‾−2u‾+2v‾−2w‾3\underline{u}+3\underline{w}-2\underline{u}+2\underline{v}-2\underline{w}

פותחים סוגריים: −2-2 כופל כל איבר

=u‾+2v‾+w‾=\underline{u}+2\underline{v}+\underline{w}

−2⋅(−v‾)=+2v‾-2 \cdot (-\underline{v})=+2\underline{v}. מי שכתב −2-2 ל-β\beta שכח את המינוס שלפני הסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה FF על הקטע BCBC, ו-BF→=35BC→\overrightarrow{BF}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}. השלימו (אפשר לכתוב שבר).

FC→=\overrightarrow{FC}= ____ BC→\overrightarrow{BC} ; CF→=\overrightarrow{CF}= ____ BC→\overrightarrow{BC}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : FC→=\overrightarrow{FC}= 0.4 BC→\overrightarrow{BC} ; CF→=\overrightarrow{CF}= -0.4 BC→\overrightarrow{BC}

Corrigé :

FC→=BC→−BF→=25BC→\begin{aligned}\overrightarrow{FC} &= \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BF} \\ &= \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}\end{aligned}
CF→=−25BC→\overrightarrow{CF}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}

כיוון הפוך

35\frac{3}{5} ועוד 25\frac{2}{5} הם המקצוע כולו. ו-CF→\overrightarrow{CF} הולך אחורה: מקדם שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABT

הנקודה TT על ABAB, ו-AT:TB=2:3AT:TB=2:3. AT→=kAB→\overrightarrow{AT}=k\overrightarrow{AB}. מהו kk? (אפשר לכתוב שבר)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

AT:TB=2:3⇒AT=25AB\begin{aligned}AT:TB &= 2:3 \Rightarrow AT \\ &= \frac{2}{5}AB\end{aligned}

2+3=52+3=5 חלקים

AT→=25AB→\overrightarrow{AT}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}

היחס 2:32:3 הוא חלק לחלק, לא חלק לשלם. לכן 25\frac{2}{5}, ולא 23\frac{2}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אם a‾=−12b‾\underline{a}=-\frac{1}{2}\underline{b}, אז a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} מקבילים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a‾=tb‾ t=−12\begin{aligned}\underline{a} &= t\underline{b} \\ \ t &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

כפולה

מקדם שלילי לא מבטל את המקבילות: הוא רק אומר כיוון הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מצאו את tt שעבורו a‾=4u‾+tv‾\underline{a}=4\underline{u}+t\underline{v} מקביל ל-b‾=2u‾−3v‾\underline{b}=2\underline{u}-3\underline{v}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

a‾=kb‾⇒4=2k\begin{aligned}\underline{a} &= k\underline{b} \Rightarrow 4 \\ &= 2k\end{aligned}

מהמקדם של u‾\underline{u}

k=2⇒t=2⋅(−3)=−6\begin{aligned}k &= 2 \Rightarrow t \\ &= 2 \cdot (-3) \\ &= -6\end{aligned}

מהמקדם של v‾\underline{v}

קודם מוצאים את kk מהמקדם הידוע, ורק אחר כך את tt. t=−3t=-3 שכח את k=2k=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCA'B'C'MK

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}. MM היא אמצע B′C′B'C'. הביעו את AM→\overrightarrow{AM}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

Corrigé :

AM→=AA′→+A′B′→+B′M→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'M}

עולים, הולכים, ואז חצי מקצוע

=w‾+u‾+12(v‾−u‾)=\underline{w}+\underline{u}+\frac{1}{2}(\underline{v}-\underline{u})

B′C′→=v‾−u‾\overrightarrow{B'C'}=\underline{v}-\underline{u}

=12u‾+12v‾+w‾=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

B′C′→\overrightarrow{B'C'} הוא לא v‾\underline{v}: הוא הולך מ-B′B' אל C′C', כלומר v‾−u‾\underline{v}-\underline{u}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCA'B'C'MK

באותה מנסרה, KK על CC′CC' ו-CK→=13CC′→\overrightarrow{CK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CC'}. הביעו את BK→\overrightarrow{BK}.

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : α=\alpha= -1 ; β=\beta= 1 ; γ=\gamma= 0.333333

Corrigé :

BK→=BA→+AC→+CK→\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}
=−u‾+v‾+13w‾=-\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}

CC′→=w‾\overrightarrow{CC'}=\underline{w}

CC′→=AA′→\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'} כי כל המקצועות הצדדיים של מנסרה שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: האם הווקטור מקביל ל-u‾−2v‾\underline{u}-2\underline{v}?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v}
  • −2u‾+v‾-2\underline{u}+\underline{v}
  • 12u‾−v‾\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v}
  • u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v}
  • 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v}
  • 3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : −u‾+2v‾-\underline{u}+2\underline{v} — מקביל · 3u‾−6v‾3\underline{u}-6\underline{v} — מקביל · 12u‾−v‾\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v} — מקביל · 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v} — לא מקביל · u‾+2v‾\underline{u}+2\underline{v} — לא מקביל · −2u‾+v‾-2\underline{u}+\underline{v} — לא מקביל

Corrigé :

−u‾+2v‾=−1(u‾−2v‾)-\underline{u}+2\underline{v}=-1(\underline{u}-2\underline{v})
12u‾−v‾=12(u‾−2v‾)\frac{1}{2}\underline{u}-\underline{v}=\frac{1}{2}(\underline{u}-2\underline{v})

מקביל = אותו יחס בין המקדמים: 1:(−2)1:(-2). 2u‾−v‾2\underline{u}-\underline{v} הפך את התפקידים של u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCA'B'C'MK

באותה מנסרה: איזה ביטוי שווה ל-MK→\overrightarrow{MK}?

  1. 12u‾−12v‾+23w‾\frac{1}{2}\underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{2}{3}\underline{w}
  2. −u‾+v‾−23w‾-\underline{u}+\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}
  3. −12u‾+12v‾−23w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}
  4. −12u‾+12v‾+13w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −12u‾+12v‾−23w‾-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}

Corrigé :

MK→=AK→−AM→\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}

סוף פחות התחלה

AK→=v‾+13w‾\overrightarrow{AK}=\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}
=−12u‾+12v‾−23w‾=-\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{2}{3}\underline{w}

הדרך הקצרה: סוף פחות התחלה, משני וקטורים שכבר מצאנו. KK נמוכה מ-MM, ולכן המקדם של w‾\underline{w} שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הנקודה FF על BCBC ו-BF:FC=1:2BF:FC=1:2. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
FC→=23BC→\overrightarrow{FC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}
FB→=13BC→\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : FB→=13BC→\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} → FB→=−13BC→\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

Corrigé :

FB→=−BF→\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}

נגדי

מ-FF אל BB הולכים אחורה על BCBC: המקדם שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe