Vecteurs dans les solides

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות הווקטורים נמצאים בתוך גוף: תיבה, מנסרה או פירמידה. מתחילים בלמצוא בגוף וקטורים שווים, נגדיים ומקבילים.

תיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' יש שני בסיסים: ABCDABCD למטה, A′B′C′D′A'B'C'D' למעלה. המקצועות הצדדיים AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD' מחברים ביניהם.

כל פאה של התיבה היא מלבן, כלומר מקבילית. לכן בכל פאה יש שני זוגות של וקטורים שווים.

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מקצועות נותנים וקטור שווה ל-AA′→\overrightarrow{AA'}, כולל AA′→\overrightarrow{AA'} עצמו?

Voir la réponse et le corrigé

ארבעה: AA′→\overrightarrow{AA'}, BB′→\overrightarrow{BB'}, CC′→\overrightarrow{CC'}, DD′→\overrightarrow{DD'}. כל המקצועות הצדדיים מקבילים, שווים, ועולים לאותו כיוון.

מנסרה

מנסרה: שני בסיסים חופפים ומקבילים, ומקצועות צדדיים שמחברים קודקודים מתאימים.

⊥\perp

מנסרה ישרה: המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיס

∠\angle

מנסרה לא ישרה (משופעת): המקצועות הצדדיים נוטים

ABCA'B'C'
מנסרה משולשת לא ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'. גם כשהיא נוטה, המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים.
AA′→=BB′→=CC′→\begin{aligned}\overrightarrow{AA'} &= \overrightarrow{BB'} \\ &= \overrightarrow{CC'}\end{aligned}

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': איזה וקטור שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}?

Voir la réponse et le corrigé

A′B′→\overrightarrow{A'B'}. הבסיס העליון הוא העתקה של הבסיס התחתון, וכל פאה צדדית היא מקבילית.

פירמידה

פירמידה: בסיס (מצולע), וקודקוד אחד מעליו שמחובר לכל קודקודי הבסיס.

SS

פירמידה ישרה: הקודקוד נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס

SS

פירמידה לא ישרה: הקודקוד במקום אחר, למשל מעל אחד מקודקודי הבסיס

ABCS
פירמידה לא ישרה ABCSABCS: המקצוע ASAS עולה ישר למעלה מהקודקוד AA.

בפירמידה SABCDSABCD שהבסיס שלה ריבוע: האם SA→\overrightarrow{SA} ו-SB→\overrightarrow{SB} מקבילים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הם יוצאים מאותה נקודה SS לכיוונים שונים. כל המקצועות הצדדיים של פירמידה נפגשים בקודקוד, ולכן אף שניים מהם אינם מקבילים.

וקטורים שווים בגוף באים תמיד ממקבילית: פאה של תיבה, פאה צדדית של מנסרה, או בסיס שהוא מקבילית.

אורך שווה הוא לא וקטור שווה.

SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
∣SA→∣=∣SC→∣SA→≠SC→\begin{aligned}|\overrightarrow{SA}| &= |\overrightarrow{SC}| \\ \quad \overrightarrow{SA} \neq \overrightarrow{SC}\end{aligned}

בפירמידה ישרה המקצועות הצדדיים שווים באורכם. אבל הם הולכים לכיוונים שונים.

A′A→=BB′→\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{BB'}
A′A→=−BB′→\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{BB'}

בתיבה AA′AA' ו-BB′BB' מקבילים, אבל A′A→\overrightarrow{A'A} יורד ו-BB′→\overrightarrow{BB'} עולה.

Exercices

Exercice 1

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור שווה ל-AD→\overrightarrow{AD}?

  1. C′B′→\overrightarrow{C'B'}
  2. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  3. AD′→\overrightarrow{AD'}
  4. DA→\overrightarrow{DA}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B B′C′→\overrightarrow{B'C'}

Corrigé :

AD→=BC→=B′C′→=A′D′→\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{B'C'} \\ &= \overrightarrow{A'D'}\end{aligned}

ארבעה מקצועות מקבילים, באותו כיוון

C′B′→\overrightarrow{C'B'} נגדי: הוא הולך מ-C′C' חזרה אל B′B'. AD′→\overrightarrow{AD'} הוא אלכסון של פאה, לא מקצוע מקביל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור נגדי ל-BB′→\overrightarrow{BB'}?

  1. BA→\overrightarrow{BA}
  2. DD′→\overrightarrow{DD'}
  3. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  4. D′D→\overrightarrow{D'D}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D D′D→\overrightarrow{D'D}

Corrigé :

BB′→=DD′→\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}

שני מקצועות צדדיים, עולים

D′D→=−DD′→=−BB′→\begin{aligned}\overrightarrow{D'D} &= -\overrightarrow{DD'} \\ &= -\overrightarrow{BB'}\end{aligned}

יורד

DD′→\overrightarrow{DD'} שווה ל-BB′→\overrightarrow{BB'}: גם הוא עולה. הנגדי חייב לרדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. מיינו: שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}, או נגדי לו.

  • שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • A′B′→\overrightarrow{A'B'}
  • B′A′→\overrightarrow{B'A'}
  • C′D′→\overrightarrow{C'D'}
  • CD→\overrightarrow{CD}
  • D′C′→\overrightarrow{D'C'}
  • DC→\overrightarrow{DC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : DC→\overrightarrow{DC} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · A′B′→\overrightarrow{A'B'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · D′C′→\overrightarrow{D'C'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · CD→\overrightarrow{CD} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · B′A′→\overrightarrow{B'A'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · C′D′→\overrightarrow{C'D'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}

Corrigé :

AB∥DC∥A′B′∥D′C′AB \parallel DC \parallel A'B' \parallel D'C'

ארבעה מקצועות מקבילים

כל הקטעים באותו אורך ומקבילים. מה שמבדיל הוא מאיפה לאן: מהצלע של AA ו-DD אל הצלע של BB ו-CC, או להפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCA'B'C'

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' לא ישרה: AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AA′C′CAA'C'C

פאה צדדית של מנסרה היא מקבילית

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}

צלעות נגדיות במקבילית

גם במנסרה שנוטה, הפאות הצדדיות הן מקביליות. מי שענה «לא נכון» חשב שצריך מקצועות מאונכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCS

בפירמידה ABCSABCS: SB→\overrightarrow{SB} מקביל ל-SC→\overrightarrow{SC}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

SB∩SC={S}SB \cap SC=\{S\}

שני המקצועות נפגשים ב-SS

שני ישרים שנפגשים בנקודה אחת אינם מקבילים. לכן אין לפירמידה מקצועות צדדיים מקבילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

התאימו כל גוף לתיאור שלו.

  • מנסרה ישרה
  • מנסרה לא ישרה
  • פירמידה
  • תיבה
  • כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת
  • מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס
  • מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים
  • שש פאות, כולן מלבנים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מנסרה ישרה — מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס · מנסרה לא ישרה — מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים · פירמידה — כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת · תיבה — שש פאות, כולן מלבנים

Corrigé :

AA′∥BB′AA' \parallel BB'

במנסרה המקצועות מקבילים

SA∩SB={S}SA \cap SB=\{S\}

בפירמידה הם נפגשים

ההבדל בין מנסרה לפירמידה: במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים, בפירמידה הם נפגשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מ12 המקצועות נותנים וקטור מקביל ל-AB→\overrightarrow{AB} (שווה או נגדי), כולל ABAB עצמו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

AB, DC, A′B′, D′C′AB ,\ DC ,\ A'B' ,\ D'C'

קבוצה אחת של מקצועות מקבילים

בתיבה יש שלוש קבוצות של ארבעה מקצועות מקבילים: 4⋅3=124 \cdot 3=12. הכיוון לא משנה למקבילות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB=3AB=3, AD=4AD=4, AA′=12AA'=12. חשבו את ∣AC′→∣|\overrightarrow{AC'}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

∣AC→∣2=32+42=25\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}|^2 &= 3^2+4^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הבסיס

∣AC′→∣2=25+122=169\begin{aligned}|\overrightarrow{AC'}|^2 &= 25+12^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש ACC′ACC', הזווית ב-CC ישרה

∣AC′→∣=13|\overrightarrow{AC'}|=13

שני צעדים של פיתגורס: קודם אלכסון הבסיס, אחר כך אלכסון התיבה. 3+4+12=193+4+12=19 הוא לא אורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDS

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. איזה שוויון נכון?

  1. AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
  2. SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
  3. AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
  4. SB→=DS→\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{DS}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

Corrigé :

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

הבסיס מקבילית

השוויונות היחידים בפירמידה הם בתוך הבסיס. CB→\overrightarrow{CB} נגדי ל-AD→\overrightarrow{AD}, לא שווה לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}
B′C′→=AD→\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{AD}
DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B} → DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

Corrigé :

DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

שניהם עולים

B′B→\overrightarrow{B'B} יורד, ו-DD′→\overrightarrow{DD'} עולה: הם נגדיים, לא שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה וקטורים בין שני קודקודים של התיבה שווים ל-AC→\overrightarrow{AC}, כולל AC→\overrightarrow{AC} עצמו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

AC→=A′C′→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}

ACC′A′ACC'A' היא מלבן

BD→≠AC→\overrightarrow{BD}\neq \overrightarrow{AC}

האלכסון השני של הבסיס הולך לכיוון אחר

רק AC→\overrightarrow{AC} ו-A′C′→\overrightarrow{A'C'}. BD→\overrightarrow{BD} הוא אלכסון של אותו בסיס, אבל בכיוון אחר: אורך שווה, וקטור שונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCA'B'C'

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB=6AB=6 ו-AA′=8AA'=8. חשבו את ∣AB′→∣|\overrightarrow{AB'}|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

∣AB′→∣2=62+82|\overrightarrow{AB'}|^2=6^2+8^2

הפאה ABB′A′ABB'A' היא מלבן, כי המנסרה ישרה

∣AB′→∣=10|\overrightarrow{AB'}|=10

במנסרה ישרה הפאה הצדדית היא מלבן, ולכן פיתגורס עובד. במנסרה לא ישרה היא רק מקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe