Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שנים-עשר תרגילים על כל הפרק: חשבון עם ii, מישור גאוס, הצגה קוטבית, דה-מואבר, שורשים ומקומות גאומטריים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר ברמת הבגרות.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהו החלק הממשי של (2−i)(3+4i)(2 - i)(3 + 4i)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

6+8i−3i−4i2=10+5i6 + 8i - 3i - 4i^2 = 10 + 5i

−4i2=+4-4i^2 = +4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את i2026i^{2026}.

  1. −i-i
  2. ii
  3. −1-1
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −1-1

Corrigé :

2026=4⋅506+22026 = 4 \cdot 506 + 2
i2026=i2=−1\begin{aligned}i^{2026} &= i^2 \\ &= -1\end{aligned}

השארית בחלוקה ב-4 היא 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו החלק המדומה של 7+i1−i\frac{7 + i}{1 - i}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(7+i)(1+i)2=6+8i2=3+4i\begin{aligned}\frac{(7 + i)(1 + i)}{2} &= \frac{6 + 8i}{2} \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

כופלים בצמוד של המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הארגומנט (במעלות) של z=3−iz = \sqrt{3} - i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 330

Corrigé :

tan⁡θ=−13⇒α=30∘\begin{aligned}\tan\theta &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}
θ=360∘−30∘=330∘\begin{aligned}\theta &= 360^\circ - 30^\circ \\ &= 330^\circ\end{aligned}

רביע רביעי

החלק המדומה שלילי והממשי חיובי: רביע רביעי.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 5

חשבו את ∣3+4i(1+i)2∣\left|\frac{3 + 4i}{(1 + i)^2}\right|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

∣3+4i∣∣1+i∣2=52\frac{|3 + 4i|}{|1 + i|^2} = \frac{5}{2}

בלי לחשב את המנה עצמה: מספיקים הערכים המוחלטים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו z2−6z+25=0z^2 - 6z + 25 = 0. מהו הערך המוחלט של כל פתרון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

z=3±4iz = 3 \pm 4i

Δ=36−100=−64\Delta = 36 - 100 = -64

∣3±4i∣=5|3 \pm 4i| = 5

או בוייטה: ∣z∣2=zzˉ=25|z|^2 = z\bar{z} = 25, כי שני הפתרונות צמודים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את (1+i31−i)12\left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}\right)^{12}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -64

Corrigé :

2 cis 60∘2 cis 315∘=2 cis(−255∘)=2 cis 105∘\begin{aligned}\frac{2\,\text{cis}\,60^\circ}{\sqrt{2}\,\text{cis}\,315^\circ} &= \sqrt{2}\,\text{cis}(-255^\circ) \\ &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,105^\circ\end{aligned}
(2)12 cis 1260∘=64 cis 180∘(\sqrt{2})^{12}\,\text{cis}\,1260^\circ = 64\,\text{cis}\,180^\circ

1260∘−3⋅360∘=180∘1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ

=−64= -64

הארגומנט של מנה הוא הפרש הארגומנטים, והאורך עולה בחזקה: (2)12=64(\sqrt{2})^{12} = 64.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הארגומנט הקטן ביותר (במעלות) של פתרון של z3=−8iz^3 = -8i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

−8i=8 cis 270∘-8i = 8\,\text{cis}\,270^\circ
αk=90∘+120∘k\alpha_k = 90^\circ + 120^\circ k
2 cis 90∘=2i2\,\text{cis}\,90^\circ = 2i

בדיקה: (2i)3=−8i(2i)^3 = -8i

אחד הפתרונות הוא 2i2i.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו הרדיוס של המקום הגאומטרי ∣z−1+2i∣=∣3−4i∣|z - 1 + 2i| = |3 - 4i|?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∣z−(1−2i)∣=5|z - (1 - 2i)| = 5

אגף ימין הוא מספר: ∣3−4i∣=5|3 - 4i| = 5. זה הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — אתגר

Exercice 10

הפתרונות של z8=256z^8 = 256 הם קדקודים של מתומן משוכלל. מהו השטח שלו? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.31

Corrigé :

ρ=2568=2\begin{aligned}\rho &= \sqrt[8]{256} \\ &= 2\end{aligned}
S=8⋅12⋅4⋅sin⁡45∘=82\begin{aligned}S &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 8\sqrt{2}\end{aligned}
≈11.31\approx 11.31

שמונה משולשים עם זווית מרכזית של 45∘45^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מצאו את הערך החיובי של aa שעבורו ∣a+3i∣=∣1+2i∣⋅∣2−i∣|a + 3i| = |1 + 2i| \cdot |2 - i|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∣1+2i∣⋅∣2−i∣=5⋅5=5\begin{aligned}|1 + 2i| \cdot |2 - i| &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \\ &= 5\end{aligned}
a2+9=25⇒a=4\begin{aligned}a^2 + 9 &= 25 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

ערך מוחלט של מכפלה: מכפלת הערכים המוחלטים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

w=2 cis αw = 2\,\text{cis}\,\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. ידוע ש-w4w^4 הוא מספר ממשי שלילי. מצאו את α\alpha (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

w4=16 cis 4αw^4 = 16\,\text{cis}\,4\alpha
4α=180∘+360∘k4\alpha = 180^\circ + 360^\circ k

ממשי שלילי

0∘<α<90∘⇒α=45∘0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ

התנאי על α\alpha בוחר פתרון אחד מתוך כל הזוויות האפשריות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe