Quel graphe représente la fonction ?

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה מופיעה הרבה פעמים שאלה כזאת: נתונה פונקציה, ונתונים ארבעה גרפים, I, II, III ו-IV. צריך לקבוע איזה מהם מתאר את הפונקציה, ולנמק. לא צריך לשרטט את הפונקציה מההתחלה. מספיק למצוא תכונה אחת שגרף לא מקיים, כדי לפסול אותו.

ארבע בדיקות, מהקלה לקשה

11

תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית: איפה המכנה מתאפס? לגרף הנכון יש קיר בדיוק שם, ולא במקום אחר.

22

אסימפטוטות אופקיות: מה הפונקציה שואפת אליו ב-−∞-\infty, ומה ב-+∞+\infty? בפונקציה עם exe^x התשובות שונות בדרך כלל.

33

נקודה אחת: מציבים x=0x = 0. בדרך כלל e0=1e^0 = 1 הופך את החישוב לקל מאוד.

44

עלייה וירידה: הסימן של f′(x)f'(x). בודקים את זה רק אם שלוש הבדיקות הראשונות לא הכריעו.

בגרף III וגם בגרף IV יש אותה אסימפטוטה אנכית ואותה אסימפטוטה בשמאל. איזו בדיקה אחת מבדילה ביניהם?

Voir la réponse et le corrigé

האסימפטוטה בימין. כאשר x→+∞x \to +\infty מחלקים את המונה ואת המכנה ב-exe^x. ב-ff יוצא 11, ובפונקציה של גרף IV, 3ex+1ex−3\frac{3e^x + 1}{e^x - 3}, יוצא 33.

איך מחשבים את הגבול ב-+∞+\infty: מחלקים את המונה ואת המכנה בחזקה הגדולה ביותר של exe^x. אז כל איבר e−xe^{-x} שואף ל-00. ב-−∞-\infty לא מחלקים: שם ex→0e^x \to 0, ומציבים 00 במקום exe^x.

הגרף של 1f\frac{1}{f}

נתונה f(x)=ex+1f(x) = e^x + 1. האם לגרף של g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)} יש אסימפטוטה אנכית?

Voir la réponse et le corrigé

לא. ex+1>1e^x + 1 > 1 לכל xx, ולכן ff אף פעם לא מתאפסת, ו-gg מוגדרת לכל xx. ל-gg יש שתי אסימפטוטות אופקיות: y=1y = 1 בשמאל, ו-y=0y = 0 בימין.

הטעות של הבדיקה האחת.

x=ln⁡3⇒IIIx = \ln 3 \Rightarrow \text{III}
x=ln⁡3 y→−13 y→1⇒III\begin{aligned}x &= \ln 3 \\ \ y \to -\tfrac{1}{3} \\ \ y \to 1 \Rightarrow \text{III}\end{aligned}

גרף שעובר את הבדיקה הראשונה עדיין יכול להיות לא נכון. בשאלה למעלה שלושה גרפים עברו את בדיקת הקיר. ממשיכים לבדוק עד שנשאר גרף אחד בלבד, וכותבים בנימוק את התכונה שפסלה כל גרף אחר.

Exercices

Exercice 1

xyy = 0y = 2x = 0I
xyy = 0y = −2II
xyy = 2y = 0III
xyy = 0y = 2IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=2exex+1f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1}?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

ex+1>0e^x + 1 > 0

המכנה לא מתאפס: אין אסימפטוטה אנכית. גרף I נפסל

f(x)>0f(x) > 0

מונה חיובי ומכנה חיובי: הפונקציה חיובית. גרף II נפסל

x→−∞:2⋅00+1=0x \to -\infty : \frac{2 \cdot 0}{0 + 1} = 0

בשמאל f→0f \to 0. בגרף III הגרף מתקרב ל-y=2y = 2 בשמאל: נפסל

f(0)=22=1\begin{aligned}f(0) &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

בגרף IV הגרף עובר ב-(0,1)(0,1) ומתקרב ל-y=2y = 2 בימין

גרף IV. כל אחד משלושת האחרים נפסל בגלל תכונה אחרת: קיר, סימן, ואסימפטוטה בשמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

xyy = −1I
xyy = −1II
xyy = 1III
xyy = 1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=e−x−1f(x) = e^{-x} - 1?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף II

Corrigé :

x→+∞:e−x→0⇒f→−1x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow f \to -1

האסימפטוטה y=−1y = -1 נמצאת בימין. גרף I מתקרב אליה בשמאל: נפסל

f(0)=1−1=0\begin{aligned}f(0) &= 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף עובר בראשית. גרף IV לא עובר בה: נפסל

f′(x)=−e−x<0f'(x) = -e^{-x} < 0

הפונקציה יורדת. גרף III עולה: נפסל

גרף II: יורד, עובר בראשית, ומתקרב ל-y=−1y = -1 כאשר x→+∞x \to +\infty.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

xyy = 0I
xyy = 0II
xyy = 0III
xyy = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=xexf(x) = xe^x?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף III

Corrigé :

f(0)=0f(0) = 0

הגרף עובר בראשית. גרף IV עובר ב-(0,−1)(0,-1): נפסל

x→−∞:xex→0x \to -\infty : xe^x \to 0

האסימפטוטה y=0y = 0 נמצאת בשמאל. בגרף II היא בימין: נפסל

x>0⇒xex>0x > 0 \Rightarrow xe^x > 0

מימין לראשית הפונקציה חיובית. גרף I שלילי שם: נפסל

f′(x)=(x+1)ex=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= (x+1)e^x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

ובגרף III יש מינימום ב-x=−1x = -1, כמו שצריך

גרף III. שימו לב: גם בגרף I יש אסימפטוטה y=0y = 0 בשמאל, אבל הסימן מימין לראשית פוסל אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

−3−2−1123−3−2−1123xyy = −0.33y = 1x = 1.1

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=ex+aex−3f(x) = \frac{e^x + a}{e^x - 3}, כאשר aa הוא פרמטר. לפי הסרטוט, כאשר x→−∞x \to -\infty הגרף מתקרב לישר y=−13y = -\frac{1}{3}. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x→−∞:ex→0x \to -\infty : e^x \to 0

בשמאל מציבים 00 במקום exe^x

f→0+a0−3=−a3f \to \frac{0 + a}{0 - 3} = -\frac{a}{3}
−a3=−13⇒a=1\begin{aligned}-\frac{a}{3} &= -\frac{1}{3} \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאסימפטוטה שבסרטוט

a=1a = 1. הגבול בשמאל תלוי ב-aa, ולכן הוא זה שקובע אותו. הגבול בימין הוא 11 לכל aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

xyy = −0.25y = 0x = 1.39I
xyy = 0.25y = 0II
xyIII
xyy = 0.25y = 0x = 1.39IV

נתונה הפונקציה f(x)=ex−4f(x) = e^x - 4. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}?

  1. גרף I
  2. גרף IV
  3. גרף II
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I

Corrigé :

ex−4=0⇒x=ln⁡4≈1.39\begin{aligned}e^x - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.39\end{aligned}

ל-gg יש קיר ב-x=ln⁡4x = \ln 4. גרפים II ו-III נפסלים: אין להם קיר

x>ln⁡4⇒f>0⇒g>0x > \ln 4 \Rightarrow f > 0 \Rightarrow g > 0

מימין לקיר gg חיובית. בגרף IV היא שלילית שם: נפסל

x→−∞:g→10−4=−14x \to -\infty : g \to \frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}

ובגרף I האסימפטוטה בשמאל היא y=−14y = -\frac{1}{4}

גרף I. ל-1f\frac{1}{f} יש תמיד אותו סימן כמו ל-ff, ולכן הסימן מימין לקיר פוסל את גרף IV.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

xyy = 0y = 1x = 0.69

הגרף שבסרטוט יכול להיות הגרף של הפונקציה f(x)=exex+2f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

ex+2>2>0e^x + 2 > 2 > 0

המכנה של ff חיובי תמיד, ולא מתאפס

Df=RD_f = \mathbb{R}

ולכן ff מוגדרת לכל xx, ואין לה אסימפטוטה אנכית

הטענה לא נכונה: בגרף שבסרטוט יש קיר ב-x=ln⁡2x = \ln 2, ולפונקציה ff אין קיר בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

xyy = 0y = −1x = 1.1I
xyy = 0y = 1II
xyy = −1y = 0III
xyy = 0y = −1IV

נתונה הפונקציה f(x)=exa−exf(x) = \frac{e^x}{a - e^x}. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה כאשר a=−3a = -3?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

−3−ex<0-3 - e^x < 0

המכנה שלילי תמיד: אין קיר. גרף I נפסל (הוא הגרף של a=3a = 3)

f(x)=ex−3−ex<0f(x) = \frac{e^x}{-3 - e^x} < 0

מונה חיובי ומכנה שלילי: ff שלילית. גרף II נפסל

x→−∞:f→0−3=0x \to -\infty : f \to \frac{0}{-3} = 0

בשמאל f→0f \to 0. בגרף III הגרף מתקרב ל-y=−1y = -1 בשמאל: נפסל

גרף IV: שלילי, ויורד מ-00 (בשמאל) אל −1-1 (בימין).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

−3−2−1123−4−3−2−11234xyy = −2y = 1x = 0.69

בסרטוט הגרף של הפונקציה h(x)=ex+bex−ch(x) = \frac{e^x + b}{e^x - c}, כאשר bb ו-cc הם פרמטרים. לגרף יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡2x = \ln 2, ובשמאל הוא מתקרב לישר y=−2y = -2. מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

eln⁡2−c=0⇒c=2\begin{aligned}e^{\ln 2} - c &= 0 \Rightarrow c \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס על הקיר

x→−∞:h→b−c=−b2x \to -\infty : h \to \frac{b}{-c} = -\frac{b}{2}

בשמאל מציבים ex=0e^x = 0

−b2=−2⇒b=4\begin{aligned}-\frac{b}{2} &= -2 \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

b=4b = 4. קודם מוצאים את cc מהקיר, ורק אחר כך את bb מהאסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

xyy = −1I
xyy = 1II
xyy = 1III
xyy = −1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=(ex−1)2f(x) = (e^x - 1)^2?

  1. גרף IV
  2. גרף II
  3. גרף I
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף II

Corrigé :

f(x)=(ex−1)2≥0f(x) = (e^x - 1)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי. גרפים I ו-IV יורדים מתחת לציר: נפסלים

f(0)=02=0\begin{aligned}f(0) &= 0^2 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף נוגע בציר ה-xx בראשית. גרף III עובר ב-(0,4)(0,4): נפסל

x→−∞:f→(0−1)2=1x \to -\infty : f \to (0 - 1)^2 = 1

ובגרף II האסימפטוטה בשמאל היא y=1y = 1

גרף II. לפונקציה יש מינימום (0,0)(0,0), והיא לא יורדת אף פעם מתחת לציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

xyy = −1y = 0x = 0I
xyy = 0y = 1II
xyy = 0y = −1x = 0III
xyy = 0y = 1x = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=exex−1f(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C גרף IV

Corrigé :

ex−1=0⇒x=0\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

קיר ב-x=0x = 0. גרף II נפסל

x→−∞:f→0,x→+∞:f→1x \to -\infty : f \to 0 ,\quad x \to +\infty : f \to 1

בגרף I האסימפטוטות הפוכות: נפסל

x>0⇒f>0x > 0 \Rightarrow f > 0

מימין לקיר מונה ומכנה חיוביים. בגרף III הגרף שלילי שם: נפסל

גרף IV. שימו לב שבשמאל, כאשר x<0x<0, המכנה שלילי, ולכן הגרף מתקרב ל-y=0y = 0 מלמטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

לפונקציות f(x)=e−xe−x+1f(x) = \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} ו-g(x)=1ex+1g(x) = \frac{1}{e^x + 1} יש אותו גרף.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)=e−x⋅ex(e−x+1)⋅exf(x) = \frac{e^{-x} \cdot e^x}{(e^{-x} + 1) \cdot e^x}

כופלים את המונה ואת המכנה ב-exe^x

=11+ex=g(x)= \frac{1}{1 + e^x} = g(x)

e−x⋅ex=e0=1e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1

הטענה נכונה. שתי פונקציות שמוגדרות באותו תחום ושוות בכל נקודה הן אותה פונקציה, ויש להן אותו גרף.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe