Quand l'exposant est une fonction

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו המעריך היה כמעט תמיד ישר: exe^x, e−xe^{-x}, e2x+1e^{2x+1}. בבחינה מופיעות גם פונקציות כמו e1xe^{\frac{1}{x}} או e−x2e^{-x^2}, שבהן המעריך הוא פונקציה בפני עצמה. נסמן את המעריך ב-u(x)u(x). הרעיון: חוקרים קודם את uu, ואז מתרגמים כל תכונה שלו לתכונה של eue^{u}.

מה המעריך עושה לפונקציה

u→+∞⇒eu→+∞u \to +\infty \Rightarrow e^u \to +\infty

מעריך גדול מאוד: הפונקציה גדולה מאוד

u→−∞⇒eu→0+u \to -\infty \Rightarrow e^u \to 0^+

מעריך שלילי וגדול: הפונקציה מתקרבת ל-00, ונשארת חיובית

u→c⇒eu→ecu \to c \Rightarrow e^u \to e^c

מעריך שמתקרב למספר: הפונקציה מתקרבת ל-ece^c

(eu)′=u′⋅eu(e^u)' = u' \cdot e^u

eu>0e^u > 0, ולכן לנגזרת יש אותו סימן כמו u′u': eue^u עולה איפה ש-uu עולה

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}}, ולמה היא אותה אסימפטוטה בשני הצדדים?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר x→+∞x \to +\infty וגם כאשר x→−∞x \to -\infty, המעריך 1x\frac{1}{x} שואף ל-00. לכן f(x)→e0=1f(x) \to e^0 = 1: האסימפטוטה היא y=1y = 1 בשני הצדדים.

הפעמון: e בחזקת מינוס x בריבוע

ב-f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} המעריך u(x)=−x2u(x) = -x^2 הוא פרבולה הפוכה. הוא הכי גדול ב-x=0x = 0, ושם f(0)=e0=1f(0) = e^0 = 1: זה המקסימום. בשני הצדדים u→−∞u \to -\infty, ולכן f→0f \to 0. ומכיוון ש-(−x)2=x2(-x)^2 = x^2, מתקיים f(−x)=f(x)f(-x) = f(x): הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy.

למה לגרף של f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2xe^{-x^2} יש סימטריה אחרת מזו של ff?

Voir la réponse et le corrigé

f′(−x)=−2(−x)e−x2=2xe−x2=−f′(x)f'(-x) = -2(-x)e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} = -f'(x). הנגזרת היא פונקציה אי-זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית. זה תמיד כך: הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי-זוגית.

לבדוק זוגיות: מציבים −x-x במקום xx. אם יוצאת אותה פונקציה, היא זוגית. אם יוצאת מינוס הפונקציה, היא אי-זוגית. הפונקציה eu(x)e^{u(x)} חיובית תמיד, ולכן היא לעולם לא אי-זוגית.

הטעות של הצד האחד.

x→0:e1x→∞x \to 0 : e^{\frac{1}{x}} \to \infty
x→0+:e1x→∞,x→0−:e1x→0x \to 0^+ : e^{\frac{1}{x}} \to \infty ,\quad x \to 0^- : e^{\frac{1}{x}} \to 0

המעריך 1x\frac{1}{x} מתנהג אחרת משני צדי האפס, ולכן גם הפונקציה. בודקים כל צד בנפרד, וכותבים שהאסימפטוטה האנכית x=0x = 0 היא רק מימין.

Exercices

Exercice 1

לפונקציה f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}} יש אסימפטוטה אופקית y=cy = c. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x→±∞:1x→0x \to \pm\infty : \frac{1}{x} \to 0
e1x→e0=1e^{\frac{1}{x}} \to e^0 = 1

c=1c = 1. האסימפטוטה האופקית היא y=1y = 1, לא y=0y = 0: המעריך שואף ל-00, אבל e0=1e^0 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}}. למה שואפת f(x)f(x) כאשר x→0−x \to 0^- (משמאל)?

  1. ee
  2. +∞+\infty
  3. 00
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 00

Corrigé :

x→0−:1x→−∞x \to 0^- : \frac{1}{x} \to -\infty

מספר קטן ושלילי: ההפכי שלו שלילי וגדול

e−∞→0e^{-\infty} \to 0

f(x)→0f(x) \to 0. מימין התשובה היא +∞+\infty: לכן בודקים כל צד בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

xyy = 1I
xyy = 1II
xyy = 1III
xyy = 1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}}?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף II

Corrigé :

x→0+:e1x→∞x \to 0^+ : e^{\frac{1}{x}} \to \infty

מימין לאפס הגרף עולה בלי גבול. בגרפים III ו-IV הוא יורד ל-00 מימין: נפסלים

x→0−:e1x→0x \to 0^- : e^{\frac{1}{x}} \to 0

משמאל לאפס הגרף שואף ל-00. בגרף I הוא עולה בלי גבול גם משמאל: נפסל

גרף II. גרף I הוא e1x2e^{\frac{1}{x^2}}: המעריך חיובי בשני הצדדים, ולכן הגרף עולה לאינסוף משני צדי האפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הפונקציה f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} היא פונקציה זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=e−(−x)2=e−x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= e^{-(-x)^2} \\ &= e^{-x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. שימו לב לסוגריים: −(−x)2=−x2-(-x)^2 = -x^2, כי מעלים בריבוע לפני שמוסיפים את המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה f(x)=e2x−x2f(x) = e^{2x - x^2}. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

u(x)=2x−x2=1−(x−1)2≤1\begin{aligned}u(x) &= 2x - x^2 \\ &= 1 - (x - 1)^2 \le 1\end{aligned}

המעריך הכי גדול ב-x=1x = 1, ושם u=1u = 1

fmax⁡=e1≈2.718f_{\max} = e^1 \approx 2.718

eue^u גדלה כש-uu גדל, ולכן הערך הגדול ביותר של ff מתקבל כש-uu הכי גדול

fmax⁡=e≈2.718f_{\max} = e \approx 2.718. מספיק למצוא את המקסימום של המעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה f(x)=e−(x−3)2f(x) = e^{-(x-3)^2} יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=−2(x−3)e−(x−3)2f'(x) = -2(x - 3)e^{-(x-3)^2}
f′(x)=0⇒x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

e…>0e^{\ldots} > 0, ולכן רק הגורם x−3x - 3 יכול להתאפס

x=3x = 3. זה הפעמון של e−x2e^{-x^2}, מוזז שלוש יחידות ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}}, המוגדרת לכל x≠0x \ne 0. מה נכון לגבי העלייה והירידה שלה?

  1. יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x < 0 ו-x>0x > 0
  2. עולה כאשר x<0x < 0 ויורדת כאשר x>0x > 0
  3. עולה בכל אחד מהתחומים x<0x < 0 ו-x>0x > 0
  4. יורדת כאשר x<0x < 0 ועולה כאשר x>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x < 0 ו-x>0x > 0

Corrigé :

f′(x)=−1x2⋅e1xf'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}}

כלל השרשרת: (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

−1x2<0,  e1x>0⇒f′(x)<0-\frac{1}{x^2} < 0 ,\; e^{\frac{1}{x}} > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

ff יורדת בכל אחד משני התחומים, כמו המעריך 1x\frac{1}{x}. לא אומרים «יורדת לכל x≠0x \ne 0»: משמאל לאפס היא קרובה ל-00, ומימין גדולה מאוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} יש שתי נקודות פיתול. מהו שיעור ה-xx החיובי מביניהן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.707

Corrigé :

f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2xe^{-x^2}
f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}

כלל המכפלה

4x2−2=0⇒x=12≈0.707\begin{aligned}4x^2 - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\end{aligned}

x=12≈0.707x = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707. הנקודה השנייה סימטרית: x≈−0.707x \approx -0.707.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לגרף של f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}} יש אסימפטוטה אנכית x=0x = 0, והגרף מתקרב אליה משני הצדדים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x→0+:f→∞x \to 0^+ : f \to \infty

מימין: אסימפטוטה אנכית

x→0−:f→0x \to 0^- : f \to 0

משמאל הגרף מתקרב לנקודה (0,0)(0,0), ולא לקיר

הטענה לא נכונה: הגרף מתקרב לאסימפטוטה רק מימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

−1123451234xyy = 1x = 2

לפונקציה f(x)=e1x−2f(x) = e^{\frac{1}{x - 2}} יש אסימפטוטה אנכית x=kx = k. מצאו את kk.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x−2=0⇒x=2\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המעריך לא מוגדר ב-x=2x = 2

x→2+:1x−2→∞⇒f→∞x \to 2^+ : \frac{1}{x - 2} \to \infty \Rightarrow f \to \infty

מימין: קיר

k=2k = 2. זה הגרף של e1xe^{\frac{1}{x}}, מוזז שתי יחידות ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מהי הנגזרת של f(x)=e1xf(x) = e^{\frac{1}{x}}?

  1. −1x2e1x-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}
  2. 1x2e1x\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}
  3. e1xe^{\frac{1}{x}}
  4. 1xe1x−1\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x} - 1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −1x2e1x-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}

Corrigé :

(eu)′=u′⋅eu(e^u)' = u' \cdot e^u
u=1x⇒u′=−1x2\begin{aligned}u &= \frac{1}{x} \Rightarrow u' \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

f′(x)=−1x2e1xf'(x) = -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}. כלל החזקה (xn→nxn−1x^n \to nx^{n-1}) לא מתאים ל-ee בחזקת משהו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

לפונקציה f(x)=xe−x2f(x) = xe^{-x^2} יש נקודת מקסימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.429

Corrigé :

f′(x)=e−x2−2x2e−x2=(1−2x2)e−x2\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} \\ &= (1 - 2x^2)e^{-x^2}\end{aligned}
f′(x)=0⇒x=12\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}

הנקודה עם x>0x > 0 היא המקסימום

f(12)=12e−12≈0.429f\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.429

y≈0.429y \approx 0.429. הפונקציה אי-זוגית: ב-x=−12x = -\frac{1}{\sqrt{2}} יש מינימום סימטרי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe