Question 1 au format de l'examen · La fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 1 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

$x>-2$
$x \ne 0$
$x>0$
כל $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כל $x$

Corrigé :

f(x) = (x+2) \cdot e^{-x}

מכפלה של $x+2$ ושל $e^{-x}$ . אין מכנה ואין שורש

e^{-x} = \frac{1}{e^x} \ ; \ e^x > 0

גם $e^{-x}$ מוגדרת לכל $x$ , כי המכנה $e^x$ אף פעם לא מתאפס

תחום ההגדרה הוא כל $x$ . התשובה $x>-2$ מבלבלת בין התחום שבו הפונקציה חיובית לבין התחום שבו היא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה- $x$ הערך של הפונקציה הוא $0$

\begin{aligned}e^{-x} > 0 \Rightarrow x + 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

$e^{-x}$ אף פעם לא מתאפסת

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-2, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= (0+2)e^{0} \\ &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x = 0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 2)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת: $(e^{-x})' = -e^{-x}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x + 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי $e^{-x} > 0$

x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר $x = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי $e^{-x} > 0$

x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

מקסימום

\begin{aligned}f(-1) &= (-1+2)e^{1} \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

מציבים $x = -1$ בפונקציה המקורית

נקודת המקסימום היא $(-1, e)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא $e \approx 2.718$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= -e^{-x} + (x+1)e^{-x} \\ &= xe^{-x}\end{aligned}

גוזרים את $-(x+1)e^{-x}$ לפי כלל המכפלה, ומוציאים $e^{-x}$ כגורם משותף

x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל ל- $0$ קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב- $x = 0$ , ולכן נקודת הפיתול היא $(0, 2)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x) = (x+2)e^{-x}$ . ה. לפניכם טענה: $f(x) > 0$ לכל $x > -2$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x > -2 \Rightarrow x + 2 > 0

הגורם הראשון חיובי

e^{-x} > 0

הגורם השני חיובי לכל $x$

(x+2)e^{-x} > 0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

הטענה נכונה: כאשר $x > -2$ שני הגורמים חיוביים, ולכן גם המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev