Question 2 au format de l'examen · La fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 2 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.386

Corrigé :

\begin{aligned}e^{2x} - 4e^x &= e^x(e^x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים $e^x$ כגורם משותף

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(\ln 4, 0)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 4e^0 \\ &= 1 - 4 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $x = 0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, -3)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ב. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. איזו מהתשובות מתארת את האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

$y=-4$
$y=0$ , כאשר $x \to +\infty$
לגרף אין אסימפטוטה אופקית
$y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

Corrigé :

x \to -\infty : e^{2x} \to 0 \ ; \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0

שני האיברים שואפים ל- $0$ , ולכן $y = 0$ היא אסימפטוטה משמאל

x \to +\infty : f(x) = e^x(e^x - 4) \to +\infty

שני הגורמים גדלים בלי גבול, ואין אסימפטוטה מימין

e^{2x} \ ; \ e^x : x \in \mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , ולכן אין אסימפטוטה אנכית

האסימפטוטה היחידה המאונכת לצירים היא $y = 0$ , כאשר $x \to -\infty$ . התשובה « $y=0$ , כאשר $x \to +\infty$ » בודקת את הצד הלא נכון, והתשובה $y=-4$ לוקחת את המקדם של $e^x$ במקום לחשב את הגבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.693

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

כלל השרשרת: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר $x = \ln 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(\ln 2) &= e^{2\ln 2} - 4e^{\ln 2} \\ &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

$e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 4$

נקודת המינימום היא $(\ln 2, -4)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= 4e^{2x} - 4e^x \\ &= 4e^x(e^x - 1)\end{aligned}

גוזרים שוב

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב- $x = 0$ , ולכן נקודת הפיתול היא $(0, -3)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ , כלומר בתחום $0 \le x \le \ln 4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.5

Corrigé :

0 < x < \ln 4 \Rightarrow 1 < e^x < 4 \Rightarrow e^x - 4 < 0

$e^x$ עולה. בתחום הזה $e^x > 0$ ו- $e^x - 4 < 0$ , ולכן $f(x) = e^x(e^x - 4) < 0$ : הגרף מתחת לציר ה- $x$

S = -\int_0^{\ln 4} \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx

כשהפונקציה שלילית, השטח הוא מינוס האינטגרל

\int \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}\left[\frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x\right]_0^{\ln 4} &= \left(8 - 16\right) - \left(\frac{1}{2} - 4\right) \\ &= -4.5\end{aligned}

$e^{2\ln 4} = 16$ ו- $e^{\ln 4} = 4$

\begin{aligned}S &= -(-4.5) \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח הוא $4.5$ . האינטגרל עצמו שלילי, $-4.5$ , כי כל השטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev