Question 3 au format de l'examen · La fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 3 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? הביעו באמצעות $a$ .

$a$
$e^a$
$\frac{1}{a}$
$\ln a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\ln a$

Corrigé :

f'(x) = e^x - a

הנגזרת של $ax$ היא $a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= a \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

אפשר להפעיל $\ln$ כי $a > 0$

f''(x) = e^x > 0

הנגזרת השנייה חיובית: נקודת מינימום

נקודת הקיצון היא מינימום, כאשר $x = \ln a$ . התשובה $e^a$ הופכת את הפעולה: מ- $e^x = a$ יוצא $x = \ln a$ , ולא $x = e^a$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - a \cdot 0 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x = 0$ . האיבר $ax$ מתאפס

לכל ערך של $a$ הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. ידוע שהערך המינימלי של הפונקציה הוא $0$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

נקודת המינימום

\begin{aligned}f(\ln a) &= e^{\ln a} - a\ln a \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי

\begin{aligned}a(1 - \ln a) &= 0 \Rightarrow \ln a \\ &= 1\end{aligned}

כי $a > 0$

a = e \approx 2.718

$a = e$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = e$ , לפניכם טענה: גרף הפונקציה משיק לציר ה- $x$ בנקודה שבה $x = 1$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= e^x - ex \ ; \ f(1) \\ &= e - e \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה $(1, 0)$ נמצאת על הגרף

\begin{aligned}f'(1) &= e^1 - e \\ &= 0\end{aligned}

השיפוע בנקודה הוא $0$ , כמו השיפוע של ציר ה- $x$

\begin{aligned}f''(x) &= e^x > 0 \ ; \ \ln e \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה שבה $x = \ln e = 1$ היא נקודת המינימום, ולכן בכל נקודה אחרת $f(x) > 0$

הטענה נכונה: הגרף נוגע בציר ה- $x$ בנקודה $(1, 0)$ , שהיא נקודת המינימום שלו, ולא חוצה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = 1$ , מהו הערך המינימלי של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}f(x) &= e^x - x \ ; \ f'(x) \\ &= e^x - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כאן $\ln a = \ln 1 = 0$

f''(x) = e^x > 0

מינימום

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $a = 1$ הערך המינימלי הוא $1$ , בנקודה $(0, 1)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. לאילו ערכים של $a$ אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ ?

$a>e$
$a=e$
לכל $a>0$
$0<a<e$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $0<a<e$

Corrigé :

\begin{aligned}f_{\min} &= f(\ln a) \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי, כמו בסעיף ב

x \to -\infty : f(x) \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f(x) \to +\infty

כאשר $x \to -\infty$ האיבר $-ax$ גדל, וכאשר $x \to +\infty$ האיבר $e^x$ גדל מהר יותר מ- $ax$

a(1 - \ln a) > 0 \Rightarrow \ln a < 1 \Rightarrow a < e

אין חיתוך רק כשהמינימום מעל הציר

אין נקודות חיתוך כאשר $0<a<e$ . כאשר $a=e$ יש נקודה אחת, שבה הגרף משיק לציר, וכאשר $a>e$ המינימום שלילי ויש שתי נקודות חיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. עבור $a = e$ , חשבו את $\int_0^1 f(x)\,dx$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.359

Corrigé :

f(x) = e^x - ex

מציבים $a = e$

\int \left(e^x - ex\right)dx = e^x - \frac{e}{2}x^2 + C

פונקציה קדומה. $e$ הוא מספר קבוע

\left[e^x - \frac{e}{2}x^2\right]_0^1 = \left(e - \frac{e}{2}\right) - (1 - 0)

מציבים את גבולות האינטגרציה

\frac{e}{2} - 1 \approx 0.359

$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{e}{2} - 1 \approx 0.359$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev