Question 4 au format de l'examen · La fonction exponentielle · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 4 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפניכם טענה: הפונקציה מוגדרת לכל $x$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

e^x > 0 \ ; \ a > 0 \Rightarrow e^x + a > 0

המכנה הוא סכום של שני מספרים חיוביים

e^x + a \ne 0

המכנה אף פעם לא מתאפס

הטענה נכונה: תחום ההגדרה הוא כל $x$ , ולכן לגרף אין אסימפטוטה אנכית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה?

$y=0$ ו- $y=1$
$y=0$ בלבד
$y=a$
$y=1$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $y=0$ ו- $y=1$

Corrigé :

x \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{0}{0 + a} = 0

משמאל: $y = 0$

\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x + a} \\ &= \frac{1}{1 + ae^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$

x \to +\infty : ae^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

מימין: $y = 1$

לגרף שתי אסימפטוטות אופקיות: $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ו- $y=1$ כאשר $x \to +\infty$ . התשובה « $y=0$ בלבד » בודקת רק צד אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

יורדת לכל $x$
עולה ואחר כך יורדת
תלוי בערך של $a$
עולה לכל $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D עולה לכל $x$

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x + a) - e^x \cdot e^x}{(e^x + a)^2} \\ &= \frac{ae^x}{(e^x + a)^2}\end{aligned}

כלל המנה

a > 0 \ ; \ e^x > 0 \ ; \ (e^x + a)^2 > 0

כל הגורמים חיוביים

f'(x) > 0

הנגזרת חיובית לכל $x$

הפונקציה עולה לכל $x$ , ולכל $a > 0$ . התשובה « תלוי בערך של $a$ » הייתה נכונה רק אם $a$ היה יכול להיות $0$ או שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. ידוע ש- $f(0) = \frac{1}{4}$ . מצאו את $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 + a} \\ &= \frac{1}{1 + a}\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}\frac{1}{1 + a} &= \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = 3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.099

Corrigé :

f'(x) = \frac{3e^x}{(e^x + 3)^2}

הנגזרת מסעיף ב, עם $a = 3$

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{3e^x(e^x + 3)^2 - 3e^x \cdot 2(e^x + 3)e^x}{(e^x + 3)^4} \\ &= \frac{3e^x(3 - e^x)}{(e^x + 3)^3}\end{aligned}

כלל המנה, ואז מצמצמים בגורם $e^x + 3$

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

כי $3e^x > 0$

x < \ln 3 : f'' > 0 \ ; \ x > \ln 3 : f'' < 0

משמאל קעירות כלפי מעלה, ומימין קעירות כלפי מטה

הקעירות מתחלפת ב- $x = \ln 3$ , ולכן זו נקודת הפיתול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת, והיא נמצאת כאשר $x = \ln 3$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

\begin{aligned}f(\ln 3) &= \frac{e^{\ln 3}}{e^{\ln 3} + 3} \\ &= \frac{3}{3 + 3}\end{aligned}

מציבים בפונקציה המקורית, ו- $e^{\ln 3} = 3$

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

נקודת הפיתול היא $(\ln 3, \frac{1}{2})$ : בדיוק באמצע בין שתי האסימפטוטות $y=0$ ו- $y=1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. מציבים בביטוי של $f$ את הערך $a = -1$ , שאינו מקיים $a > 0$ , ומקבלים את הפונקציה $h(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$ . מהי האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה $h$ ?

$x=-1$
לגרף אין אסימפטוטה אנכית
$x=0$
$x=1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x=0$

Corrigé :

\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x = 0$

\begin{aligned}x &= 0 : e^0 \\ &= 1 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן $|h(x)|$ גדל בלי גבול ליד $x = 0$

האסימפטוטה האנכית היא $x=0$ . התנאי $a > 0$ הוא מה ששמר על המכנה חיובי; בלעדיו המכנה יכול להתאפס. התשובה $x=1$ פותרת $x - 1 = 0$ במקום $e^x - 1 = 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev