Question 5 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 5 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו הערך של xx במשוואה שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.693

Corrigé :

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=ln⁡2:eln⁡2=2≠0\begin{aligned}x &= \ln 2 : e^{\ln 2} \\ &= 2 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן זו אסימפטוטה אנכית

ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693

האסימפטוטה האנכית היא x=ln⁡2≈0.693x = \ln 2 \approx 0.693.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. מהי משוואת האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה כאשר x→+∞x \to +\infty?

  1. y=0y=0
  2. y=−1y=-1
  3. y=2y=2
  4. y=1y=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=1y=1

Corrigé :

f(x)=exex−2=11−2e−x\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x - 2} \\ &= \frac{1}{1 - 2e^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב-exe^x

x→+∞:2e−x→0⇒f(x)→1x \to +\infty : 2e^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

כאשר x→+∞x \to +\infty האסימפטוטה היא y=1y=1. התשובה y=0y=0 נכונה בצד השני, כאשר x→−∞x \to -\infty.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. קבועה
  2. יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
  3. עולה ואחר כך יורדת
  4. עולה בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה

Corrigé :

f′(x)=ex(ex−2)−ex⋅ex(ex−2)2=−2ex(ex−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x - 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x - 2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x - 2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

ex>0 ; (ex−2)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 \ ; \ (e^x - 2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2

f(0)=−1 ; f(ln⁡4)=2\begin{aligned}f(0) &= -1 \ ; \ f(\ln 4) \\ &= 2\end{aligned}

אבל f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4): מעבר לאסימפטוטה הערך קופץ

הפונקציה יורדת ב-x<ln⁡2x < \ln 2 וגם ב-x>ln⁡2x > \ln 2. לא אומרים « יורדת לכל xx », כי בין שני החלקים יש אסימפטוטה, ו-f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. באיזו צורה אפשר לכתוב את 1f(x)\frac{1}{f(x)}, לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2?

  1. 1+2e−x1 + 2e^{-x}
  2. 1−2e−x1 - 2e^{-x}
  3. ex−2e^x - 2
  4. 2e−x−12e^{-x} - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1−2e−x1 - 2e^{-x}

Corrigé :

1f(x)=ex−2ex\frac{1}{f(x)} = \frac{e^x - 2}{e^x}

הופכים את השבר. f(x)≠0f(x) \ne 0, כי המונה exe^x חיובי

ex−2ex=exex−2ex=1−2e−x\begin{aligned}\frac{e^x - 2}{e^x} &= \frac{e^x}{e^x} - \frac{2}{e^x} \\ &= 1 - 2e^{-x}\end{aligned}

מפרידים לשני שברים

1f(x)=1−2e−x\frac{1}{f(x)} = 1 - 2e^{-x}. התשובה ex−2e^x - 2 הופכת רק את המכנה ושוכחת את המונה exe^x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה gg עם ציר ה-xx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.693

Corrigé :

1−2e−x=0⇒e−x=12\begin{aligned}1 - 2e^{-x} &= 0 \Rightarrow e^{-x} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
ex=2⇒x=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

הופכים את שני האגפים

הגרף של gg חותך את ציר ה-xx בנקודה (ln⁡2,0)(\ln 2, 0): בדיוק במקום של האסימפטוטה האנכית של ff. שם 1f\frac{1}{f} עצמה אינה מוגדרת, כי ff אינה מוגדרת, ולכן השאלה היא על gg, שמוגדרת לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ד. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. לפניכם טענה: ∫12g(x) dx<1\int_1^2 g(x)\,dx < 1. האם הטענה נכונה? נמקו בלי לחשב את האינטגרל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

2e−x>0⇒g(x)=1−2e−x<12e^{-x} > 0 \Rightarrow g(x) = 1 - 2e^{-x} < 1

לכל xx מחסרים מ-11 מספר חיובי

∫12g(x) dx<∫121 dx=2−1=1\begin{aligned}\int_1^2 g(x)\,dx < \int_1^2 1\,dx &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

אורך הקטע הוא 11, ו-gg קטנה מ-11 בכל הקטע

הטענה נכונה, ולא צריך לחשב: g(x)<1g(x) < 1 לכל xx, והקטע באורך 11, ולכן האינטגרל קטן מ-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ה. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. חשבו את ∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.193

Corrigé :

∫(1−2e−x)dx=x+2e−x+C\int \left(1 - 2e^{-x}\right)dx = x + 2e^{-x} + C

פונקציה קדומה: (−2e−x)(-2e^{-x}) היא הנגזרת של 2e−x2e^{-x}

[x+2e−x]ln⁡2ln⁡4=(ln⁡4+24)−(ln⁡2+22)\left[x + 2e^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 4} = \left(\ln 4 + \frac{2}{4}\right) - \left(\ln 2 + \frac{2}{2}\right)

e−ln⁡4=14e^{-\ln 4} = \frac{1}{4} ו-e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}

ln⁡4−ln⁡2−12=ln⁡2−12≈0.193\ln 4 - \ln 2 - \frac{1}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193

ln⁡4=2ln⁡2\ln 4 = 2\ln 2

∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx=ln⁡2−12≈0.193\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe