Question 6 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 6 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  2. x>0x > 0 ו-x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  3. x>ln⁡6x > \ln 6
  4. x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6

Corrigé :

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה הראשון מתאפס

ex−6=0⇒ex=6⇒x=ln⁡6\begin{aligned}e^x - 6 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 6 \Rightarrow x \\ &= \ln 6\end{aligned}

המכנה השני מתאפס

Df:x≠ln⁡2, x≠ln⁡6D_f : x \ne \ln 2 ,\ x \ne \ln 6

בכל נקודה אחרת שני המכנים שונים מ-00

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-ln⁡2\ln 2 ול-ln⁡6\ln 6. התשובה « x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6 » פותרת x−2=0x - 2 = 0 במקום ex−2=0e^x - 2 = 0. ואין צורך ב-x>0x > 0: exe^x מוגדר לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. לגרף הפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות. מהו המרחק בין שתי האסימפטוטות? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.099

Corrigé :

x=ln⁡2x=ln⁡6\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad x &= \ln 6\end{aligned}

המכנים מתאפסים, והמונים 11 ו-33 לא מתאפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות

ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62=ln⁡3\begin{aligned}\ln 6 - \ln 2 &= \ln \frac{6}{2} \\ &= \ln 3\end{aligned}

חוק ההפרש של לוגריתמים

ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099

המרחק הוא ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099. הטעות הנפוצה היא 6−2=46 - 2 = 4: זה המרחק בין הערכים של exe^x, ולא בין הערכים של xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ב. לפניכם טענה: לכל ערך של aa, מתקיים f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה של ff. האם הטענה נכונה? הוכיחו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(1ex−2)′=−ex(ex−2)2\left(\frac{1}{e^x - 2}\right)' = \frac{-e^x}{(e^x - 2)^2}

נגזרת של 1u\frac{1}{u} היא −u′u2-\frac{u'}{u^2}

f′(x)=−ex(ex−2)2−3ex(ex−6)2f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 2)^2} - \frac{3e^x}{(e^x - 6)^2}

הנגזרת של הקבוע aa היא 00

ex>0, (ex−2)2>0, (ex−6)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 ,\ (e^x - 2)^2 > 0 ,\ (e^x - 6)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

שני שברים חיוביים, ולפני כל אחד מהם סימן מינוס

הטענה נכונה, ו-aa לא משפיע: הוא נעלם בגזירה. שימו לב: מכאן נובע ש-ff יורדת בכל אחד משלושת הקטעים של תחום ההגדרה, ולא « יורדת לכל xx » — בין הקטעים יש אסימפטוטות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה? הביעו באמצעות aa.

  1. y=a−12y = a - \frac{1}{2} כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  2. y=ay = a בשני הצדדים
  3. y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  4. y=ay = a כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=a−1y = a - 1 כאשר x→+∞x \to +\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty

Corrigé :

x→−∞:ex→0⇒f(x)→10−2+30−6+ax \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{0 - 2} + \frac{3}{0 - 6} + a

משמאל מציבים 00 במקום exe^x

−12−12+a=a−1-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + a = a - 1
x→+∞:ex→∞⇒1ex−2→0, 3ex−6→0⇒f(x)→ax \to +\infty : e^x \to \infty \Rightarrow \frac{1}{e^x - 2} \to 0 ,\ \frac{3}{e^x - 6} \to 0 \Rightarrow f(x) \to a

מימין שני השברים שואפים ל-00

שתי אסימפטוטות שונות: y=a−1y = a - 1 משמאל, y=ay = a מימין. התשובה עם a−12a - \frac{1}{2} שוכחת את השבר השני, 30−6=−12\frac{3}{0 - 6} = -\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. מהם שני הערכים האפשריים של aa?

  1. a=2a = 2 בלבד
  2. a=1a = 1 בלבד
  3. a=1a = 1 או a=2a = 2
  4. a=0a = 0 או a=1a = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C a=1a = 1 או a=2a = 2

Corrigé :

y=a−1 (x→−∞)y=a (x→+∞)\begin{aligned}y &= a - 1 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= a \ (x \to +\infty)\end{aligned}

האסימפטוטות מהסעיף הקודם

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל

a=1a = 1

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה מימין

שני ערכים: a=2a = 2 או a=1a = 1. מי שבודק רק את הצד הימני מוצא a=1a = 1 בלבד, ומפסיד את הפתרון השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

−2−11234−3−2−11234xyy = 1y = 2x = 0.69x = 1.79

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. בסרטוט הגרף של ff עבור אחד משני הערכים האפשריים של aa. לפי הסרטוט, מהו ערך aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x→−∞: y→1,x→+∞: y→2x \to -\infty : \ y \to 1 ,\qquad x \to +\infty : \ y \to 2

בסרטוט: משמאל הגרף מתקרב ל-y=1y = 1, מימין ל-y=2y = 2

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

האסימפטוטה משמאל היא y=a−1y = a - 1

y=a=2\begin{aligned}y &= a \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: מימין y=a=2y = a = 2, כמו בסרטוט

a=2a = 2. בסרטוט y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל. עבור a=1a = 1 היא הייתה מימין, ומשמאל הגרף היה מתקרב ל-y=0y = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ד. הראו כי אפשר לכתוב את ff כשבר אחד. איזה ביטוי שווה ל-f(x)f(x) בכל תחום ההגדרה?

  1. e2x−4ex+1(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x + 1}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  2. 4ex−12(ex−2)(ex−6)\frac{4e^x - 12}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  3. e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  4. ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

Corrigé :

f(x)=(ex−6)+3(ex−2)+(ex−2)(ex−6)(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{(e^x - 6) + 3(e^x - 2) + (e^x - 2)(e^x - 6)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

מכנה משותף. גם את 11 כופלים במכנה המשותף

(ex−2)(ex−6)=e2x−8ex+12(e^x - 2)(e^x - 6) = e^{2x} - 8e^x + 12

פותחים סוגריים

ex−6+3ex−6+e2x−8ex+12=e2x−4exe^x - 6 + 3e^x - 6 + e^{2x} - 8e^x + 12 = e^{2x} - 4e^x

מכנסים איברים דומים

f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)=ex(ex−4)(ex−2)(ex−6)\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)} \\ &= \frac{e^x(e^x - 4)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}\end{aligned}

השבר הנכון הוא e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. הביטוי 4ex−12…\frac{4e^x - 12}{\ldots} שוכח את +1+1; הביטוי עם +1+1 במונה מוסיף אותו בלי לכפול במכנה; והביטוי ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8} מחבר מכנים, וזה אסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ה. ידוע ש-f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.386

Corrigé :

e2x−4ex=0e^{2x} - 4e^x = 0

שבר שווה ל-00 כאשר המונה שווה ל-00

t=ex: t2−4t=0⇒t(t−4)=0\begin{aligned}t &= e^x : \ t^2 - 4t \\ &= 0 \Rightarrow t(t - 4) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-tt

t1=0t2=4\begin{aligned}t_1 &= 0 \\ \quad t_2 &= 4\end{aligned}

t=ex>0t = e^x > 0, ולכן t=0t = 0 נפסל

ex=4⇒x=ln⁡4≈1.386\begin{aligned}e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

ln⁡4\ln 4 שונה מ-ln⁡2\ln 2 ומ-ln⁡6\ln 6, ולכן הוא בתחום

נקודת החיתוך היא (ln⁡4,0)(\ln 4, 0), ו-ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386. הפתרון t=0t = 0 אינו מתאים, כי exe^x חיובי תמיד: לכן יש נקודת חיתוך אחת ולא שתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

xyy = 0y = 1x = 1.39x = 1.79I
xyy = 1y = 0x = 0.69x = 1.79II
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79III
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79IV

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ו. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה ff?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף III

Corrigé :

x=ln⁡2≈0.69x=ln⁡6≈1.79\begin{aligned}x &= \ln 2 \approx 0.69 \\ \quad x &= \ln 6 \approx 1.79\end{aligned}

שני הקירות. בגרף I הקיר השמאלי נמצא ב-x=ln⁡4≈1.39x = \ln 4 \approx 1.39: נפסל

f′(x)<0f'(x) < 0

בסעיף ב הוכחנו ש-ff יורדת בכל קטע. בגרף IV הגרף עולה בכל קטע: נפסל

x→−∞:f→a−1=0x \to -\infty : f \to a - 1 = 0

משמאל הגרף מתקרב ל-y=0y = 0. בגרף II הוא מתקרב ל-y=1y = 1 משמאל ול-y=0y = 0 מימין: נפסל

f(ln⁡4)=0f(\ln 4) = 0

ובגרף III הגרף חותך את ציר ה-xx בין שני הקירות, כמו שמצאנו בסעיף ה

גרף III. בגרף II שתי האסימפטוטות האופקיות מופיעות, אבל בצדדים הפוכים: לא מספיק לבדוק אילו ישרים מופיעים, צריך לבדוק באיזה צד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ז. נגדיר g(x)=ex(f(x)−1)g(x) = e^x \left( f(x) - 1 \right), כלומר g(x)=exex−2+3exex−6g(x) = \frac{e^x}{e^x - 2} + \frac{3e^x}{e^x - 6}. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=ln⁡8x = \ln 8 ו-x=ln⁡10x = \ln 10. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.367

Corrigé :

x>ln⁡6⇒ex−2>0, ex−6>0⇒g(x)>0x > \ln 6 \Rightarrow e^x - 2 > 0 ,\ e^x - 6 > 0 \Rightarrow g(x) > 0

בקטע כולו gg חיובית: השטח שווה לאינטגרל

∫u′u dx=ln⁡∣u∣+C(ex−2)′=ex\begin{aligned}\int \frac{u'}{u}\,dx &= \ln |u| + C \\ \qquad (e^x - 2)' &= e^x\end{aligned}

בכל שבר המונה הוא הנגזרת של המכנה

∫g(x) dx=ln⁡∣ex−2∣+3ln⁡∣ex−6∣+C\int g(x)\,dx = \ln |e^x - 2| + 3\ln |e^x - 6| + C
[ln⁡(ex−2)+3ln⁡(ex−6)]ln⁡8ln⁡10=(ln⁡8+3ln⁡4)−(ln⁡6+3ln⁡2)\left[\ln (e^x - 2) + 3\ln (e^x - 6)\right]_{\ln 8}^{\ln 10} = (\ln 8 + 3\ln 4) - (\ln 6 + 3\ln 2)

eln⁡10=10e^{\ln 10} = 10 ו-eln⁡8=8e^{\ln 8} = 8

ln⁡86+3ln⁡2=ln⁡43+ln⁡8=ln⁡323≈2.367\begin{aligned}\ln \frac{8}{6} + 3\ln 2 &= \ln \frac{4}{3} + \ln 8 \\ &= \ln \frac{32}{3} \approx 2.367\end{aligned}

השטח הוא ln⁡323≈2.367\ln \frac{32}{3} \approx 2.367. הצעד שפותח את השאלה: לזהות שבכל שבר המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, ולכן הפונקציה הקדומה היא ln⁡\ln של המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe