Question 7 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 7 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. מהו תחום ההגדרה של gg, ואיזה ביטוי שווה ל-g(x)g(x)?

  1. x>1x > 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  2. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1x−1g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  3. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1(x−1)2g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  4. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}

Corrigé :

x−1≠0⇒x≠1x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

hh מוגדרת לכל x≠1x \ne 1, וכך גם h′h' ו-ehe^{h}

h(x)=(x−1)−1⇒h′(x)=−(x−1)−2=−1(x−1)2\begin{aligned}h(x) &= (x - 1)^{-1} \Rightarrow h'(x) \\ &= -(x - 1)^{-2} \\ &= -\frac{1}{(x-1)^2}\end{aligned}

גוזרים חזקה

g(x)=e1x−1⋅(−1(x−1)2)=−e1x−1(x−1)2\begin{aligned}g(x) &= e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) \\ &= -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}\end{aligned}

תחום ההגדרה: x≠1x \ne 1. הביטוי עם x−1x - 1 במכנה כופל ב-hh במקום ב-h′h'. ואין סיבה לדרוש x>1x > 1: ee בחזקת מספר שלילי מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

−2−1123−3−2−1123xyhy = 0x = 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. בסרטוט הגרף של הפונקציה hh. לפי הסרטוט, ובלי לגזור, מה אפשר לומר על הסימן של g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x)?

  1. g(x)>0g(x) > 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)<0g(x) < 0 כאשר x>1x > 1
  2. g(x)>0g(x) > 0 לכל x≠1x \ne 1
  3. g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1
  4. g(x)<0g(x) < 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)>0g(x) > 0 כאשר x>1x > 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1

Corrigé :

eh(x)>0e^{h(x)} > 0

חזקה של ee חיובית תמיד, ולכן הסימן של gg הוא הסימן של h′h'

h↘⇒h′(x)<0h \searrow \Rightarrow h'(x) < 0

בסרטוט hh יורדת בכל אחד משני הקטעים: משמאל לקיר וגם מימין לו

g(x)=eh(x)⋅h′(x)<0g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x) < 0

חיובי כפול שלילי

לכל x≠1x \ne 1, g(x)<0g(x) < 0. הסימן של gg נקבע לפי העלייה והירידה של hh, ולא לפי הסימן של hh: נכון ש-h<0h < 0 משמאל ו-h>0h > 0 מימין, אבל זה לא משנה כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. לפניכם טענה: כאשר x→1−x \to 1^- (משמאל), g(x)→−∞g(x) \to -\infty. האם הטענה נכונה? נמקו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

h′(x)=−1(x−1)2=−h(x)2⇒g(x)=−h2eh\begin{aligned}h'(x) &= -\frac{1}{(x-1)^2} \\ &= -h(x)^2 \Rightarrow g(x) \\ &= -h^2 e^{h}\end{aligned}

כותבים את gg באמצעות hh בלבד

x→1−: x−1→0−⇒h(x)→−∞x \to 1^- : \ x - 1 \to 0^- \Rightarrow h(x) \to -\infty

משמאל המכנה של hh קטן ושלילי

s→−∞: s2es→0⇒g(x)→0s \to -\infty : \ s^2 e^{s} \to 0 \Rightarrow g(x) \to 0

ese^{s} שואף ל-00 מהר יותר מש-s2s^2 גדל

הטענה לא נכונה: משמאל ל-x=1x = 1 הגרף מתקרב ל-00, ולא ל-−∞-\infty. הטעות היא לראות (x−1)2→0(x - 1)^2 \to 0 במכנה ולעצור שם, בלי לבדוק את המעריך 1x−1\frac{1}{x - 1}, שבצד הזה שואף ל-−∞-\infty.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. מהן האסימפטוטות המאונכות לצירים של גרף הפונקציה gg?

  1. x=1x = 1 ו-y=−1y = -1
  2. x=1x = 1 ו-y=0y = 0
  3. x=1x = 1 בלבד
  4. y=0y = 0 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=1x = 1 ו-y=0y = 0

Corrigé :

x→1+: h(x)→+∞⇒g(x)=−h2eh→−∞x \to 1^+ : \ h(x) \to +\infty \Rightarrow g(x) = -h^2 e^{h} \to -\infty

מימין המעריך שואף ל-+∞+\infty: יש אסימפטוטה אנכית x=1x = 1

x→1−: g(x)→0x \to 1^- : \ g(x) \to 0

משמאל אין קיר: זה הסעיף הקודם

x→±∞: h(x)→0⇒eh→1 h′→0⇒g(x)→1⋅0=0\begin{aligned}x \to \pm\infty : \ h(x) \to 0 \Rightarrow e^{h} \to 1 \\ \ h' \to 0 \Rightarrow g(x) \to 1 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

בשני הצדדים

האסימפטוטות: x=1x = 1 (הגרף מתקרב אליה מימין בלבד) ו-y=0y = 0. התשובה y=−1y = -1 מציבה e0=1e^{0} = 1 ושוכחת שהגורם h′(x)h'(x) שואף ל-00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

g′(x)=eh (h′)2+eh h′′=eh((h′)2+h′′)\begin{aligned}g'(x) &= e^{h}\,(h')^2 + e^{h}\,h'' \\ &= e^{h}\left((h')^2 + h''\right)\end{aligned}

כלל המכפלה

(h′)2+h′′=1(x−1)4+2(x−1)3=1+2(x−1)(x−1)4=2x−1(x−1)4\begin{aligned}(h')^2 + h'' &= \frac{1}{(x-1)^4} + \frac{2}{(x-1)^3} \\ &= \frac{1 + 2(x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= \frac{2x - 1}{(x-1)^4}\end{aligned}

h′′(x)=2(x−1)3h''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}

g′(x)=e1x−1 (2x−1)(x−1)4=0⇒x=12\begin{aligned}g'(x) &= \frac{e^{\frac{1}{x-1}}\,(2x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

eh>0e^{h} > 0 ו-(x−1)4>0(x-1)^4 > 0: רק המונה 2x−12x - 1 קובע

x<12:g′<0,12<x<1:g′>0x < \tfrac{1}{2} : g' < 0 ,\quad \tfrac{1}{2} < x < 1 : g' > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

נקודת הקיצון היא ב-x=12x = \frac{1}{2}, והיא מינימום. מימין לקיר 2x−1>02x - 1 > 0, ולכן שם gg עולה כל הזמן ואין קיצון נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת מינימום אחת, והיא נמצאת כאשר x=12x = \frac{1}{2}. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.541

Corrigé :

h(12)=112−1=−2\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} \\ &= -2\end{aligned}

קודם המעריך

(12−1)2=14\left(\tfrac{1}{2} - 1\right)^2 = \frac{1}{4}

ואחר כך המכנה

g(12)=−e−214=−4e−2≈−0.541\begin{aligned}g\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\frac{e^{-2}}{\frac{1}{4}} \\ &= -4e^{-2} \approx -0.541\end{aligned}

נקודת המינימום היא (12,−4e−2)\left(\frac{1}{2}, -4e^{-2}\right), ו-−4e−2≈−0.541-4e^{-2} \approx -0.541. שימו לב לסימן: gg שלילית בכל התחום, ולכן גם ערך המינימום שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

xyy = 0x = 1I
xyy = 0x = 1II
xyy = −1x = 1III
xyy = 0x = 1IV

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ד. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה gg?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף IV

Corrigé :

g(x)<0g(x) < 0

מסעיף א: gg שלילית בכל התחום. בגרף I הגרף נמצא מעל ציר ה-xx: נפסל

x→±∞:g(x)→0x \to \pm\infty : g(x) \to 0

מסעיף ב: האסימפטוטה האופקית היא y=0y = 0. בגרף III היא y=−1y = -1: נפסל

x→1+:g→−∞,x→1−:g→0x \to 1^+ : g \to -\infty ,\quad x \to 1^- : g \to 0

הקיר נמצא מימין ל-x=1x = 1. בגרף II הגרף יורד ל-−∞-\infty משמאל לקיר, ומימין מתקרב ל-00: נפסל

(12,−0.54)\left(\tfrac{1}{2}, -0.54\right)

ובגרף IV יש מינימום משמאל לקיר, כמו שמצאנו בסעיף ג

גרף IV. גרף II הוא השיקוף של הגרף הנכון: לבדוק שיש קיר ב-x=1x = 1 לא מספיק, צריך לבדוק באיזה צד של הקיר הגרף שואף לאינסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. איזו מבין הפונקציות היא פונקציה קדומה של gg?

  1. G(x)=e1x−1x−1G(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  2. G(x)=2e1x−1(x−1)3G(x) = \frac{2e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3}
  3. G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}
  4. G(x)=−e1x−1G(x) = -e^{\frac{1}{x-1}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}

Corrigé :

(eh(x))′=eh(x)⋅h′(x)=g(x)\begin{aligned}\left(e^{h(x)}\right)' &= e^{h(x)} \cdot h'(x) \\ &= g(x)\end{aligned}

כלל השרשרת, הפוך

∫eh(x) h′(x) dx=eh(x)+C=e1x−1+C\begin{aligned}\int e^{h(x)}\,h'(x)\,dx &= e^{h(x)} + C \\ &= e^{\frac{1}{x-1}} + C\end{aligned}
(−e1x−1)′=−g(x)≠g(x)\left(-e^{\frac{1}{x-1}}\right)' = -g(x) \ne g(x)

בדיקה של התשובה עם המינוס

הפונקציה הקדומה היא e1x−1e^{\frac{1}{x-1}}. זו הסיבה שהגדירו את gg כך: g=eh⋅h′g = e^{h} \cdot h' היא בדיוק הנגזרת של ehe^{h}. הפונקציה הקדומה חיובית, אף ש-gg שלילית: זה לא סותר, כי gg שלילית אומרת רק שהפונקציה הקדומה יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.07

Corrigé :

∫23g(x) dx=[e1x−1]23=e12−e1\begin{aligned}\int_2^3 g(x)\,dx &= \left[e^{\frac{1}{x-1}}\right]_2^3 \\ &= e^{\frac{1}{2}} - e^{1}\end{aligned}

הפונקציה הקדומה מהסעיף הקודם

e−e≈−1.070\sqrt{e} - e \approx -1.070

התוצאה שלילית, כי g<0g < 0: הגרף מתחת לציר ה-xx

S=−∫23g(x) dx=e−e≈1.070\begin{aligned}S &= -\int_2^3 g(x)\,dx \\ &= e - \sqrt{e} \approx 1.070\end{aligned}

שטח הוא מספר חיובי

השטח הוא e−e≈1.070e - \sqrt{e} \approx 1.070. האינטגרל עצמו שלילי; מי שעונה −1.070-1.070 שוכח שהשטח הוא מספר חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ו. נתון a>2a > 2. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=ax = a שווה ל-e−e3e - \sqrt[3]{e}. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

S=−∫2ag(x) dx=−(e1a−1−e1)=e−e1a−1\begin{aligned}S &= -\int_2^a g(x)\,dx \\ &= -\left(e^{\frac{1}{a-1}} - e^{1}\right) \\ &= e - e^{\frac{1}{a-1}}\end{aligned}

g<0g < 0 בקטע, ולכן מחליפים סימן

e−e1a−1=e−e13⇒e1a−1=e13\begin{aligned}e - e^{\frac{1}{a-1}} &= e - e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow e^{\frac{1}{a-1}} \\ &= e^{\frac{1}{3}}\end{aligned}

e3=e13\sqrt[3]{e} = e^{\frac{1}{3}}

1a−1=13⇒a−1=3⇒a=4\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} &= \frac{1}{3} \Rightarrow a - 1 \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

שתי חזקות של ee שוות כאשר המעריכים שווים

a=4a = 4. כותבים את e3\sqrt[3]{e} כחזקה e13e^{\frac{1}{3}}, ואז משווים מעריכים. בדיקה: a=4>2a = 4 > 2, כנדרש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe