Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: הגרף של exe^x והזזותיו, גזירה, משיקים ונקודות קיצון, משוואות עם ln⁡\ln, פרמטרים, ואינטגרל ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

מהי האסימפטוטה האופקית של הגרף y=2e−x+5y = 2e^{-x} + 5?

  1. y=5y=5 כאשר x→+∞x \to +\infty
  2. y=2y=2 כאשר x→+∞x \to +\infty
  3. y=5y=5 כאשר x→−∞x \to -\infty
  4. y=0y=0 כאשר x→+∞x \to +\infty
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=5y=5 כאשר x→+∞x \to +\infty

Corrigé :

x→+∞⇒e−x→0x \to +\infty \Rightarrow e^{-x} \to 0

המעריך שלילי — הפונקציה שואפת ל-00 כאשר x→+∞x \to +\infty

y→2⋅0+5=5y \to 2 \cdot 0 + 5 = 5

בצורה y=aekx+cy = ae^{kx} + c, רק cc מזיז את האסימפטוטה — כאן c=5c = 5. המקדם 22 מותח את הגרף ואינו מזיז אותה, וכאשר x→−∞x \to -\infty הגרף עולה בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=e4x−2f(x) = e^{4x-2}. חשבו את f′(0.5)f'(0.5).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=4e4x−2f'(x) = 4e^{4x-2}

כלל השרשרת: כופלים בנגזרת של המעריך

f′(0.5)=4e0=4\begin{aligned}f'(0.5) &= 4e^{0} \\ &= 4\end{aligned}

המעריך מתאפס ב-x=0.5x = 0.5, ולכן נשאר המקדם בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המשיק לגרף של y=exy = e^x בנקודה שבה x=0x = 0 חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=−1x = -1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(0)=e0=1f′(0)=e0=1\begin{aligned}f(0) &= e^0 \\ &= 1 \quad \\ \quad f'(0) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−1=1⋅(x−0)⇒y=x+1\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x - 0) \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}
y=0⇒x=−1\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

הטענה נכונה: המשיק הוא y=x+1y = x + 1, והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה (−1,0)(-1, 0).

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

פתרו את המשוואה e3x+1=10e^{3x+1} = 10. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.434

Corrigé :

3x+1=ln⁡103x + 1 = \ln 10

מפעילים ln⁡\ln על שני האגפים

x=ln⁡10−13x = \frac{\ln 10 - 1}{3}
x=ln⁡10−13≈2.3026−13≈0.434x = \frac{\ln 10 - 1}{3} \approx \frac{2.3026 - 1}{3} \approx 0.434

x=ln⁡10−13≈0.434x = \frac{\ln 10 - 1}{3} \approx 0.434.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמות התרופה בדם (במיליגרם) אחרי tt שעות היא M(t)=50e−0.2tM(t) = 50e^{-0.2t}. אחרי כמה שעות יישארו בדם 10 מיליגרם? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.047

Corrigé :

50e−0.2t=10⇒e−0.2t=0.2\begin{aligned}50e^{-0.2t} &= 10 \Rightarrow e^{-0.2t} \\ &= 0.2\end{aligned}
−0.2t=ln⁡0.2-0.2t = \ln 0.2
t=ln⁡0.2−0.2≈8.047t = \frac{\ln 0.2}{-0.2} \approx 8.047

ln⁡0.2<0\ln 0.2 < 0, ולכן tt חיובי

אחרי כ-8.047 שעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.541

Corrigé :

f′(x)=2xe−x−x2e−x=e−xx(2−x)\begin{aligned}f'(x) &= 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} \\ &= e^{-x} x(2 - x)\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(x)=0⇒x=0x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \quad \\ \quad x &= 2\end{aligned}

e−x>0e^{-x} > 0 תמיד

f′(1)>0,f′(3)<0f'(1) > 0 \quad , \quad f'(3) < 0

עולה ואז יורדת — מקסימום ב-x=2x = 2

f(2)=4e−2≈0.541f(2) = 4e^{-2} \approx 0.541

ב-x=0x = 0 יש מינימום, f(0)=0f(0) = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של y=exy = e^x ו-y=e−xy = e^{-x}, בתחום 0≤x≤ln⁡20 \le x \le \ln 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

x>0⇒ex>1>e−xx > 0 \Rightarrow e^x > 1 > e^{-x}

exe^x למעלה

S=∫0ln⁡2(ex−e−x)dx=[ex+e−x]0ln⁡2\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2} \left(e^x - e^{-x}\right)dx \\ &= \left[e^x + e^{-x}\right]_0^{\ln 2}\end{aligned}

פונקציה קדומה של −e−x-e^{-x} היא e−xe^{-x}

=(2+12)−(1+1)=0.5= \left(2 + \frac{1}{2}\right) - (1 + 1) = 0.5

eln⁡2=2e^{\ln 2} = 2 ו-e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

פתרו את המשוואה e2x−5ex+6=0e^{2x} - 5e^x + 6 = 0, ומצאו את הפתרון הגדול. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.099

Corrigé :

t=ex⇒t2−5t+6=0\begin{aligned}t &= e^x \Rightarrow t^2 - 5t + 6 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

(t−2)(t−3)=0⇒t=2t=3\begin{aligned}(t-2)(t-3) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \quad \\ \quad t &= 3\end{aligned}
ex=2⇒x=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

שני השורשים חיוביים, ולכן שניהם נותנים פתרון

ex=3⇒x=ln⁡3≈1.099(הגדול)\begin{aligned}e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099 \quad \text{(הגדול)}\end{aligned}

למשוואה יש שני פתרונות, ln⁡2\ln 2 ו-ln⁡3\ln 3; המבוקש הוא הגדול, ln⁡3\ln 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=ae2x−4xf(x) = ae^{2x} - 4x, כאשר a>0a > 0 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=ln⁡2x = \ln 2. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=2ae2x−4f'(x) = 2ae^{2x} - 4
f′(ln⁡2)=2a⋅e2ln⁡2−4=8a−4\begin{aligned}f'(\ln 2) &= 2a \cdot e^{2\ln 2} - 4 \\ &= 8a - 4\end{aligned}

e2ln⁡2=4e^{2\ln 2} = 4

8a−4=0⇒a=0.5\begin{aligned}8a - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 0.5\end{aligned}

בדיקה, עם a=0.5a = 0.5: f′(x)=e2x−4f'(x) = e^{2x} - 4, שלילית משמאל ל-ln⁡2\ln 2 וחיובית מימין — נקודת מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כוס קפה מתקררת, והטמפרטורה שלה (במעלות) אחרי tt דקות היא T(t)=20+60e−0.5tT(t) = 20 + 60e^{-0.5t}. באיזה רגע tt הטמפרטורה יורדת בקצב של 15 מעלות לדקה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.386

Corrigé :

T′(t)=60⋅(−0.5)e−0.5t=−30e−0.5t\begin{aligned}T'(t) &= 60 \cdot (-0.5) e^{-0.5t} \\ &= -30e^{-0.5t}\end{aligned}

קצב השינוי

−30e−0.5t=−15⇒e−0.5t=0.5\begin{aligned}-30e^{-0.5t} &= -15 \Rightarrow e^{-0.5t} \\ &= 0.5\end{aligned}

ירידה — הנגזרת שלילית

t=ln⁡0.5−0.5=2ln⁡2≈1.386\begin{aligned}t &= \frac{\ln 0.5}{-0.5} \\ &= 2\ln 2 \approx 1.386\end{aligned}

בהתחלה הקצב הוא 30 מעלות לדקה, והוא הולך וקטן. הטמפרטורה לא יורדת לעולם מתחת ל-20 מעלות — האסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe