Le domaine de ln f(x) · La fonction ln et son étude · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

$\ln$ מקבלת רק מספרים חיוביים: $\ln 0$ ו- $\ln(-3)$ לא מוגדרים.

לכן ב- $\ln f(x)$ השאלה היא תמיד אחת: עבור אילו $x$ הביטוי שבפנים חיובי?

\ln f(x) \;:\; f(x) > 0

תחום ההגדרה של $\ln f(x)$ : כל ה- $x$ שעבורם $f(x) > 0$ , ושבהם $f$ עצמה מוגדרת.

ביטוי קווי בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(x - 3)$

דורשים שהביטוי שבפנים יהיה חיובי.

x - 3 > 0

הביטוי שבתוך $\ln$ חיובי.

x > 3

זה כל התחום. הגרף מתחיל ליד הישר $x = 3$ .

מהו תחום ההגדרה של $\ln(5 - x)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$5 - x > 0$ , כלומר $x < 5$ . שימו לב: כאן התחום משמאל למספר, כי $x$ מופיע עם סימן מינוס.

ביטוי ריבועי בפנים

כאשר בפנים יש ביטוי ריבועי, פותרים אי-שוויון ריבועי: מוצאים את השורשים ובודקים את הסימן בין השורשים ומחוצה להם.

\ln(x^2 - 4)

הפרבולה $x^2 - 4$ חיובית מחוץ לשורשים $\pm 2$ . התחום: $x < -2$ או $x > 2$ .

\ln(9 - x^2)

הפרבולה $9 - x^2$ חיובית בין השורשים $\pm 3$ . התחום: $-3 < x < 3$ .

\ln(x^2 + 1)

$x^2 + 1 \ge 1 > 0$ לכל $x$ : התחום הוא כל המספרים.

בקו המקווקו

u = 4 - x^2

, ובקו המלא

f(x) = \ln(4 - x^2)

. הגרף של

f

קיים רק איפה ש-

u

מעל ציר ה-

x

: בין

-2

ל-

2

. בשורשים של

u

יש ל-

f

אסימפטוטות אנכיות.

מהו תחום ההגדרה של $\ln\left(x^2\right)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$x^2 > 0$ לכל $x$ חוץ מ- $x = 0$ . התחום: $x \ne 0$ .

$\ln\left(x^2\right)$ ו- $2\ln x$ הן לא אותה פונקציה.

\ln\left(x^2\right) = 2\ln x

\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x| \;\; (x \ne 0)

ל- $2\ln x$ התחום הוא $x > 0$ בלבד, ול- $\ln\left(x^2\right)$ התחום הוא $x \ne 0$ . החוק $\ln a^n = n\ln a$ דורש $a > 0$ .

שבר בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x - 1}{x + 2}$

שבר חיובי כאשר למונה ולמכנה יש אותו סימן. בונים טבלת סימנים.

\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \qquad x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

הנקודות שבהן המונה או המכנה מתאפסים מחלקות את הציר לשלושה תחומים.

x < -2 : \; \frac{-}{-} > 0 \qquad -2 < x < 1 : \; \frac{-}{+} < 0 \qquad x > 1 : \; \frac{+}{+} > 0

בודקים את הסימן בכל תחום.

x < -2 \;\text{או}\; x > 1

זה התחום. $x = 1$ לא בתחום ( $\ln 0$ ), וגם $x = -2$ לא (מכנה $0$ ).

האם $x = 0$ שייך לתחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 1}{x + 2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $\frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2} < 0$ , ו- $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר.

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד

\ln\left(e^{x} - 1\right) : \; e^{x} > 1 \Rightarrow x > 0

כמו במשוואות מהפרק על $e^x$ : $e^x > 1$ בדיוק כאשר $x > 0$ .

\ln x + \ln(4 - x) : \; 0 < x < 4

סכום של שני $\ln$ : שני הביטויים חיוביים. לוקחים את החיתוך.

\frac{1}{\ln x} : \; x > 0, \; x \ne 1

$\ln$ במכנה: גם $\ln x \ne 0$ , ולכן מוציאים את $x = 1$ .

את תחום ההגדרה כותבים תמיד בסעיף הראשון. כל סעיף אחר (אסימפטוטות, קיצון, סקיצה) נשען עליו: נקודת קיצון מחוץ לתחום נפסלת.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(2x - 6)$ ?

$x > 6$
$x > 3$
$x > \frac{1}{3}$
$x \ge 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x > 3$

Corrigé :

2x - 6 > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 3

מחלקים ב- $2$ .

$x > 3$ . התשובה $x \ge 3$ טועה: ב- $x = 3$ מקבלים $\ln 0$ , שלא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(4 - x)$ ?

$x > -4$
$x > 4$
$x < 4$
$x \ne 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x < 4$

Corrigé :

4 - x > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x < 4

מעבירים אגף.

$x < 4$ . מי שעונה $x > 4$ מעביר את $x$ אגף ושוכח שהסימן שלו מינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(x^2 - 9\right)$ ?

$x < -3$ או $x > 3$
$x > 3$
$-3 < x < 3$
$x \ne \pm 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x < -3$ או $x > 3$

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

השורשים.

x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x < -3 \;\text{או}\; x > 3

פרבולה מחייכת: חיובית מחוץ לשורשים.

$x < -3$ או $x > 3$ . התשובה $x > 3$ שוכחת את הענף השמאלי: גם $x = -4$ נותן $16 - 9 = 7 > 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(16 - x^2\right)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

16 - x^2 > 0 \Rightarrow -4 < x < 4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים.

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

הקצוות $\pm 4$ לא בתחום.

$7$ . מי שסופר $9$ כולל את $\pm 4$ , אבל שם $16 - x^2 = 0$ , ו- $\ln 0$ לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ . מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שנמצא בתחום ההגדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -1 \quad \\ \quad x &= 3\end{aligned}

המונה והמכנה מתאפסים.

\frac{x+1}{x-3} > 0 \Rightarrow x < -1 \;\text{או}\; x > 3

טבלת סימנים: אותו סימן למונה ולמכנה.

x = 4

השלם החיובי הראשון אחרי $3$ .

$4$ . $x = 1$ ו- $x = 2$ נותנים שבר שלילי, ו- $x = 3$ מאפס את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - e^{2}\right)$ ?

$x > 2$
$x > 0$
כל $x$
$x > e^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x > 2$

Corrigé :

e^{x} - e^{2} > 0 \Rightarrow e^{x} > e^{2}

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 2

$e^x$ עולה, ולכן משווים את המעריכים.

$x > 2$ . התשובה $x > e^2$ משווה את $x$ ל- $e^2$ במקום להשוות מעריך למעריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה $f(x) = \ln x + \ln(6 - x)$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x > 0 \;\text{וגם}\; 6 - x > 0

שני הביטויים חיוביים יחד.

0 < x < 6 : \; 1, 2, 3, 4, 5

חיתוך של שני התחומים.

$5$ . בסכום של שני $\ln$ לוקחים את החיתוך של התחומים, ולא את האיחוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציות $f(x) = \ln\left(x^2\right)$ ו- $g(x) = 2\ln x$ יש אותו תחום הגדרה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0

התחום של $f$ .

x > 0

התחום של $g$ .

\begin{aligned}f(-1) &= \ln 1 \\ &= 0 \; \\ \; g(-1) \; \text{לא מוגדרת}\end{aligned}

דוגמה: $x = -1$ בתחום של $f$ בלבד.

לא נכון. החוק $\ln a^2 = 2\ln a$ נכון רק כאשר $a > 0$ . לכן הפונקציות שוות רק כאשר $x > 0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \frac{3}{\ln x}$ ?

$x > 0$ ו- $x \ne 1$
$x > 1$
$x > 0$
$x \ne 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x > 0$ ו- $x \ne 1$

Corrigé :

x > 0

התנאי של $\ln$ .

\ln x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

התנאי של המכנה.

$x > 0$ ו- $x \ne 1$ . מי שעונה $x > 0$ שוכח את המכנה: ב- $x = 1$ מקבלים $\frac{3}{0}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

$\ln(x + 2)$
$\ln(2 - x)$
$\ln\left(x^2 + 2\right)$
$\ln\left(4 - x^2\right)$

$-2 < x < 2$
$x < 2$
$x > -2$
כל $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\ln(x + 2)$ — $x > -2$ · $\ln(2 - x)$ — $x < 2$ · $\ln\left(x^2 + 2\right)$ — כל $x$ · $\ln\left(4 - x^2\right)$ — $-2 < x < 2$

Corrigé :

x^2 + 2 \ge 2 > 0

תמיד חיובי.

4 - x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2

פרבולה בוכה.

בכל שורה שואלים: מתי הביטוי שבפנים חיובי? הסימן של $x$ (פלוס או מינוס) קובע לאיזה כיוון פונה התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה $f(x) = \ln\frac{3 - x}{x}$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 3 \quad \\ \quad x &= 0\end{aligned}

נקודות האיפוס.

0 < x < 3

רק בתחום הזה למונה ולמכנה יש אותו סימן (שניהם חיוביים).

1, 2

המספרים השלמים.

$2$ . בשבר אי אפשר "לכפול במכנה" בלי לדעת את הסימן שלו. טבלת סימנים חוסכת את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - 3\right)$ הוא $x > k$ . מצאו את $k$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.099

Corrigé :

e^{x} - 3 > 0 \Rightarrow e^{x} > 3

הביטוי שבפנים חיובי.

x > \ln 3 \approx 1.099

מפעילים $\ln$ על שני האגפים. $\ln$ עולה, ולכן הסימן נשמר.

$k = \ln 3 \approx 1.099$ . כאן $\ln$ משמשת כלי (כמו במשוואות עם $e^x$ ), והגבול של התחום הוא $\ln 3$ , ולא $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

$x = -5$ שייך לתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{-5 + 1}{-5 - 3} &= \frac{-4}{-8} \\ &= \frac{1}{2} > 0\end{aligned}

מציבים ובודקים את הסימן.

נכון. מונה שלילי ומכנה שלילי נותנים שבר חיובי. אין צורך שכל אחד מהם יהיה חיובי בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

סדרו את השלבים למציאת תחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 2}{x + 1}$ .

בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים
דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$
מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$ · מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$ · בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים · כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$

Corrigé :

\frac{x-2}{x+1} > 0

התנאי.

x < -1 \;\text{או}\; x > 2

התוצאה של טבלת הסימנים.

קודם התנאי, אחר כך הנקודות, אחר כך הסימנים. מי שקופץ לכתוב $x > 2$ בלי טבלה מאבד את התחום השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

ביטוי קווי בפנים

ביטוי ריבועי בפנים

שבר בפנים

exe^xex בפנים, ושני תנאים יחד

Exercices

La suite se pratique sur elev

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד