Fonctions ln à paramètre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה הפונקציה מגיעה לפעמים עם פרמטר: אות, כמו aa, שעומדת במקום מספר.

כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת. יחד הן משפחה של פונקציות, וחוקרים את כולן בבת אחת.

משפחה ראשונה: f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x

כאן a>0a > 0. התחום הוא x>0x > 0 לכל aa, כי הפרמטר לא נוגע במה שבתוך ה-ln⁡\ln.

גזרו: איפה נמצא הקיצון של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, ומאיזה סוג הוא?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=1−ax=x−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x} = \frac{x - a}{x}. הנגזרת מתאפסת ב-x=ax = a, ועוברת משלילית לחיובית: מינימום ב-x=ax = a, וערכו a−aln⁡aa - a\ln a.

f(a)=a(1−ln⁡a)f(a) = a(1 - \ln a)

הסימן של ערך המינימום קובע כמה פעמים הגרף חותך את ציר ה-xx.

0<a<e0 < a < e

המינימום חיובי: אין נקודות חיתוך.

a=ea = e

המינימום אפס: הגרף משיק לציר בנקודה אחת, (e,0)(e, 0).

a>ea > e

המינימום שלילי: שתי נקודות חיתוך.

בשביל אילו ערכי aa הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצא כולו מעל ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

0<a<e0 < a < e. ערך המינימום a(1−ln⁡a)a(1 - \ln a) חיובי בדיוק כאשר ln⁡a<1\ln a < 1, כלומר a<ea < e.

משפחה שנייה: g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax

כאן הקיצון הוא מקסימום, ב-x=1ax = \frac{1}{a}, וערכו −ln⁡a−1-\ln a - 1. יש שתי נקודות חיתוך כאשר הוא חיובי, כלומר כאשר a<1ea < \frac{1}{e}.

למצוא את הפרמטר מנתון

לפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2 יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

נקודת קיצון היא מקום שבו הנגזרת מתאפסת. לכן גוזרים עם הפרמטר, ורק אחר כך מציבים.

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x

גוזרים, ו-aa נשאר אות.

f′(2)=a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בנגזרת.

a=8a = 8

בדיקה: f′(x)=8x−2x=2(4−x2)xf'(x) = \frac{8}{x} - 2x = \frac{2(4 - x^2)}{x}, ואכן מתאפסת ב-x=2x = 2.

הטעות של הנגזרת שנשכחה.

f(2)=0⇒aln⁡2−4=0\begin{aligned}f(2) &= 0 \Rightarrow a\ln 2 - 4 \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0⇒a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה. המשוואה הראשונה מחפשת נקודת חיתוך עם ציר ה-xx.

בשאלה עם פרמטר, כתבו את הנגזרת עם הפרמטר, ומצאו את הקיצון כביטוי ב-aa. רק בסוף מציבים את הנתון.

Exercices

Exercice 1

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=3x = 3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=1−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x}
f′(3)=1−a3=0⇒a=3\begin{aligned}f'(3) &= 1 - \frac{a}{3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. במשפחה הזאת הקיצון נמצא תמיד ב-x=ax = a. מי שמציב x=3x = 3 ב-ff ומשווה ל-00 פותר שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x
a2−4=0⇒a=8\begin{aligned}\frac{a}{2} - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8. הנגזרת של aln⁡xa\ln x היא ax\frac{a}{x}: הפרמטר הוא מקדם, והוא נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=4x = 4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

g′(x)=1x−ag'(x) = \frac{1}{x} - a
14−a=0⇒a=14\begin{aligned}\frac{1}{4} - a &= 0 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

a=0.25a = 0.25. הטעות היא a=4a = 4: הקיצון נמצא ב-x=1ax = \frac{1}{a}, ולא ב-x=ax = a כמו במשפחה x−aln⁡xx - a\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=x−5ln⁡xf(x) = x - 5\ln x. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר ה-xx?

  1. 22
  2. 33
  3. 00
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 22

Corrigé :

f(5)=5−5ln⁡5=5(1−ln⁡5)\begin{aligned}f(5) &= 5 - 5\ln 5 \\ &= 5(1 - \ln 5)\end{aligned}

ערך המינימום

ln⁡5>1⇒f(5)<0\ln 5 > 1 \Rightarrow f(5) < 0

המינימום מתחת לציר

x→0+:f→+∞ ; x→+∞:f→+∞x \to 0^+ : f \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f \to +\infty

משני הצדדים הגרף עולה מעל הציר

שתיים: הגרף יורד מ-+∞+\infty אל מינימום שלילי, ועולה שוב ל-+∞+\infty. מינימום שלילי לבדו לא מספיק — צריך גם לדעת שבשני הקצוות הפונקציה חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

טענה: הגרף של f(x)=x−2ln⁡xf(x) = x - 2\ln x לא חותך את ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(2)=2−2ln⁡2≈0.614>0f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614 > 0

המינימום חיובי

2<e2 < e

הטענה נכונה, כי a=2<ea = 2 < e. בלי לחשב את ערך המינימום אי אפשר לדעת: גרף שיורד ואחר כך עולה יכול גם לחתוך את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. בשביל ערך אחד של aa הגרף משיק לציר ה-xx. מצאו אותו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

f(a)=a(1−ln⁡a)=0\begin{aligned}f(a) &= a(1 - \ln a) \\ &= 0\end{aligned}

המינימום נוגע בציר

a>0⇒ln⁡a=1⇒a=e≈2.718\begin{aligned}a > 0 \Rightarrow \ln a &= 1 \Rightarrow a \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

a=e≈2.718a = e \approx 2.718. מי שכותב a=0a = 0 שוכח שהנתון הוא a>0a > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. ידוע ש-f(0)=2f(0) = 2. מצאו את aa. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.389

Corrigé :

f(0)=ln⁡a=2\begin{aligned}f(0) &= \ln a \\ &= 2\end{aligned}
a=e2≈7.389a = e^2 \approx 7.389

מעלים את ee בחזקת שני האגפים

e2≈7.389e^2 \approx 7.389. הטעות הנפוצה היא a=2a = 2: ה-ln⁡\ln לא «נעלם» — הופכים אותו בעזרת ee.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. מהו תחום ההגדרה שלה?

  1. x>ax > \sqrt{a}
  2. כל xx
  3. x>0x > 0
  4. x>−ax > -a
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כל xx

Corrigé :

x2≥0 , a>0⇒x2+a>0x^2 \ge 0 \ , \ a > 0 \Rightarrow x^2 + a > 0

מה שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי תמיד

כל xx. הפרמטר כאן עוזר: בגלל a>0a > 0 הביטוי x2+ax^2 + a לעולם לא מתאפס. בלי הנתון a>0a > 0 התשובה הייתה תלויה ב-aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 12\frac{1}{2}. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2xx2+af'(x) = \frac{2x}{x^2 + a}

כלל השרשרת

f′(1)=21+a=12⇒a=3\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{1 + a} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, לא ערך הפונקציה. ובנגזרת של ln⁡(x2+a)\ln(x^2 + a) צריך את המונה 2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המינימום של ff שווה ל-11.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(a)=a−aln⁡a=1\begin{aligned}f(a) &= a - a\ln a \\ &= 1\end{aligned}

ערך המינימום כביטוי ב-aa

m(a)=a−aln⁡a ; m′(a)=−ln⁡a\begin{aligned}m(a) &= a - a\ln a \ ; \ m'(a) \\ &= -\ln a\end{aligned}

גוזרים לפי aa

m(1)=1=max⁡m\begin{aligned}m(1) &= 1 \\ &= \max m\end{aligned}

ל-mm יש מקסימום 11 ב-a=1a = 1, ולכן זה הפתרון היחיד

a=1a = 1. את המשוואה a−aln⁡a=1a - a\ln a = 1 אי אפשר לפתור באלגברה. מנחשים a=1a = 1, ומוכיחים שזה הפתרון היחיד: 11 הוא הערך הגדול ביותר של mm.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

123456123xyx = 0M

בסרטוט הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. הנקודה MM היא נקודת המינימום שלו. מהו aa?

  1. ee
  2. 44
  3. 11
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 22

Corrigé :

f′(x)=0⇒x=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= a\end{aligned}

המינימום נמצא ב-x=ax = a

M≈(2, 0.614)M \approx (2,\ 0.614)

בסרטוט שיעור ה-xx של MM הוא 22

a=2a = 2. אפשר לבדוק: f(2)=2−2ln⁡2≈0.614f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614, הגובה של MM. מי שבוחר ee קורא את הגרף כאילו הוא משיק לציר — אבל MM מעל הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x−a)f(x) = \ln(2x - a). האסימפטוטה האנכית שלה היא x=1.5x = 1.5. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−a=0⇒x=a2\begin{aligned}2x - a &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{a}{2}\end{aligned}

הקיר: מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a2=1.5⇒a=3\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 1.5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. הטעות היא a=1.5a = 1.5: הקיר נמצא ב-x=a2x = \frac{a}{2}, לא ב-x=ax = a.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

טענה: לכל a>0a > 0, נקודת המינימום של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצאת על הגרף של y=x−xln⁡xy = x - x\ln x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

M=(a, a−aln⁡a)M = (a,\ a - a\ln a)

נקודת המינימום

y(a)=a−aln⁡ay(a) = a - a\ln a

מציבים x=ax = a ב-y=x−xln⁡xy = x - x\ln x: אותו ערך

הטענה נכונה. כל המינימומים של המשפחה נמצאים על עקומה אחת. בודקים זאת לכל aa, באותיות — דוגמה מספרית אחת אינה הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x. התאימו לכל ערך של aa את מספר נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

  • a=1a = 1
  • a=ea = e
  • a=4a = 4
  • אין נקודות חיתוך
  • נקודה אחת
  • שתי נקודות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=1a = 1 — אין נקודות חיתוך · a=ea = e — נקודה אחת · a=4a = 4 — שתי נקודות

Corrigé :

f(1)=1>0 ; f(e)=0 ; f(4)=4(1−ln⁡4)<0\begin{aligned}f(1) &= 1 > 0 \ ; \ f(e) \\ &= 0 \ ; \ f(4) \\ &= 4(1 - \ln 4) < 0\end{aligned}

ערך המינימום בכל מקרה

הסימן של ערך המינימום קובע. ב-a=ea = e הגרף רק נוגע בציר: נקודה אחת, ולא שתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה המשפחה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המקסימום של gg הוא 00. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.368

Corrigé :

g′(x)=1x−a=0⇒x=1a\begin{aligned}g'(x) &= \frac{1}{x} - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}
g(1a)=−ln⁡a−1=0\begin{aligned}g\left(\frac{1}{a}\right) &= -\ln a - 1 \\ &= 0\end{aligned}
ln⁡a=−1⇒a=1e≈0.368\begin{aligned}\ln a &= -1 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. שימו לב לסימן: ln⁡1a=−ln⁡a\ln\frac{1}{a} = -\ln a. מי שמאבד את המינוס מקבל a=ea = e.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe