Graphes de fonctions avec ln

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה מופיעות שתי שאלות גרפים. בראשונה נותנים פונקציה וארבעה גרפים, ושואלים איזה גרף מתאים לה. בשנייה נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים מה הוא אומר על הפונקציה.

איזה גרף מתאים לפונקציה?

u(x)>0u(x) > 0

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי.

u(x)→0+u(x) \to 0^+

אסימפטוטה אנכית: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שואף ל-00, הגרף יורד ל-−∞-\infty.

ln⁡u=0  ⟺  u=1\begin{aligned}\ln u &= 0 \iff u \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שווה ל-11.

ln⁡u>0  ⟺  u>1\ln u > 0 \iff u > 1

הסימן: הגרף מעל ציר ה-xx איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln גדול מ-11.

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=ln⁡(4−x2)f(x) = \ln\left(4 - x^2\right)? אפשר לענות בלי נגזרת.

Voir la réponse et le corrigé

4−x2≤44 - x^2 \le 4, והשוויון רק כאשר x=0x = 0. הפונקציה ln⁡\ln עולה, ולכן גם ln⁡(4−x2)≤ln⁡4\ln\left(4 - x^2\right) \le \ln 4. הערך הגדול ביותר הוא ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386, כאשר x=0x = 0.

ln⁡\ln שומר על הסדר. איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מקבל מקסימום, גם ln⁡\ln שלו מקבל מקסימום, באותו xx.

לגרף II יש אסימפטוטה אופקית y=0y = 0 מימין. למה?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר x→+∞x \to +\infty, גם ln⁡x\ln x וגם xx גדלים בלי גבול. אבל xx גדל הרבה יותר מהר מ-ln⁡x\ln x, ולכן המנה ln⁡xx\frac{\ln x}{x} שואפת ל-00.

הגרף של הנגזרת

איפה שהגרף של f′f' מעל ציר ה-xx, הפונקציה ff עולה. איפה שהוא מתחת לציר, ff יורדת.

איפה ש-f′f' חוצה את ציר ה-xx, ל-ff יש קיצון. ואיפה שלגרף של f′f' יש קיצון, ל-ff יש נקודת פיתול.

בין x=−1x = -1 ל-x=1x = 1 הגרף של f′f' עולה. מה זה אומר על הקעירות של ff בתחום הזה?

Voir la réponse et le corrigé

כאשר f′f' עולה, f′′>0f'' > 0, ולכן לגרף של ff יש קעירות כלפי מעלה. ובאמת f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}, וזה חיובי כאשר −1<x<1-1 < x < 1.

הטעות הנפוצה: לבלבל בין הסימן של f′f' לבין הכיוון שלה.

f′↘ ⇒ f↘f' \searrow \ \Rightarrow \ f \searrow
f′<0 ⇒ f↘f' < 0 \ \Rightarrow \ f \searrow

כאשר x>1x > 1 הגרף של f′f' יורד, אבל הוא עדיין מעל הציר: ff עדיין עולה, רק לאט יותר. מה שקובע עלייה וירידה הוא הסימן של f′f', ולא הכיוון שלה.

Exercices

Exercice 1

xyx = −3I
xyx = 3II
xyx = 3III
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x+3)f(x) = \ln(x + 3)?

  1. גרף II
  2. גרף IV
  3. גרף III
  4. גרף I
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף I

Corrigé :

x+3>0⇒x>−3x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק מימין ל-x=−3x = -3. גרפים II ו-III נפסלים

ln⁡(x+3)=0⇒x+3=1⇒x=−2\begin{aligned}\ln(x+3) &= 0 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx הוא ב-(−2,0)(-2, 0). בגרף IV החיתוך הוא ב-(e−3,0)(e^{-3}, 0), כמעט ב-00

גרף I. גרף IV הוא ln⁡x+3\ln x + 3: הוספנו 33 אחרי ה-ln⁡\ln, וזו הזזה למעלה ולא שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

xyx = −1x = 1I
xyx = 0II
xyIII
xyIV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף III
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D גרף III

Corrigé :

x2+1>0x^2 + 1 > 0

הביטוי חיובי לכל xx: אין קירות. גרפים I ו-II נפסלים

x2+1≥1⇒ln⁡(x2+1)≥0x^2 + 1 \ge 1 \Rightarrow \ln\left(x^2+1\right) \ge 0

הגרף לא יורד מתחת לציר ה-xx. גרף IV נפסל

גרף III. מינימום (0,0)(0, 0), והגרף עולה לשני הצדדים. גרף IV הוא −ln⁡(x2+1)-\ln\left(x^2+1\right): הסימן שלו הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

1234567−2−112xyx = 2(3, 0)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=ln⁡(x−a)f(x) = \ln(x - a), כאשר aa פרמטר. לגרף יש אסימפטוטה אנכית x=2x = 2. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x−a>0⇒x>ax - a > 0 \Rightarrow x > a

הקיר נמצא איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a=2a = 2

לפי הסרטוט הקיר הוא x=2x = 2

a=2a = 2. הקיר הוא בדיוק הגבול של תחום ההגדרה, ולא המקום שבו הגרף חותך את ציר ה-xx (שם x=3x = 3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

123456−2−1123xyx = 0(e, 2)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=aln⁡xf(x) = a\ln x, כאשר aa פרמטר. הגרף עובר בנקודה (e,2)(e, 2). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(e)=aln⁡e=a⋅1=a\begin{aligned}f(e) &= a \ln e \\ &= a \cdot 1 \\ &= a\end{aligned}

מציבים x=ex = e, ו-ln⁡e=1\ln e = 1

a=2a = 2

הנקודה (e,2)(e, 2) על הגרף

a=2a = 2. בנקודה x=ex = e קוראים את הפרמטר ישר מהגרף, כי ln⁡e=1\ln e = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. מה אפשר לומר על ff ב-x=2x = 2?

  1. ל-ff יש מקסימום ב-x=2x = 2
  2. ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2
  3. ל-ff אין שום דבר מיוחד ב-x=2x = 2
  4. ל-ff יש נקודת פיתול ב-x=2x = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2

Corrigé :

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

משמאל ל-22 הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת

x>2:f′(x)>0x > 2 : f'(x) > 0

מימין ל-22 הגרף מעל הציר: ff עולה

מינימום. ירידה ואחריה עלייה. נקודת פיתול הייתה במקום שבו לגרף של f′f' יש קיצון, לא במקום שבו הוא חוצה את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. הטענה: הפונקציה ff יורדת בתחום 0<x<20 < x < 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

בתחום הזה הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

נכון. אסור להתבלבל: הגרף של f′f' עולה בתחום הזה, אבל הוא שלילי, ולכן ff יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

xyI
xyII
xyIII
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים הוא הגרף של הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A גרף I

Corrigé :

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}

כלל השרשרת: הנגזרת של הביטוי הפנימי חלקי הביטוי

x<0:f′<0 ; x>0:f′>0x < 0 : f' < 0 \ ; \ x > 0 : f' > 0

הסימן הוא הסימן של xx. גרפים II ו-III נפסלים

f′(0)=0f'(0) = 0

גרף IV (1x\frac{1}{x}) לא מוגדר ב-x=0x = 0, ולכן נפסל

גרף I. ff יורדת משמאל ל-00 ועולה מימין, ולכן f′f' שלילית משמאל וחיובית מימין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

−2−1123412xy

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(x2−2x+2)f(x) = \ln\left(x^2 - 2x + 2\right). לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2x−2x2−2x+2f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}

כלל השרשרת

f′(x)=0⇒2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה (x−1)2+1(x-1)^2 + 1 חיובי תמיד

f(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת המינימום היא (1,0)(1, 0)

x=1x = 1. אפשר גם בלי נגזרת: x2−2x+2=(x−1)2+1x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 קטן ביותר כאשר x=1x = 1, ו-ln⁡\ln שומר על הסדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

−2−112345−2−112xyx = 5(4, 0)

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5 - x). באיזה תחום f(x)>0f(x) > 0?

  1. x<4x < 4
  2. 4<x<54 < x < 5
  3. x>4x > 4
  4. x<5x < 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<4x < 4

Corrigé :

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

תחום ההגדרה

ln⁡(5−x)>0  ⟺  5−x>1  ⟺  x<4\ln(5 - x) > 0 \iff 5 - x > 1 \iff x < 4

ln⁡u>0\ln u > 0 בדיוק כאשר u>1u > 1

x<4x < 4. התשובה x<5x < 5 היא תחום ההגדרה, ולא התחום שבו הפונקציה חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

xyfgx = 0

בסרטוט הגרפים של f(x)=ln⁡(x2)f(x) = \ln\left(x^2\right) ושל g(x)=2ln⁡xg(x) = 2\ln x. הטענה: לשתי הפונקציות יש אותו גרף, כי ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln\left(x^2\right) = 2\ln x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2>0  ⟺  x≠0x^2 > 0 \iff x \ne 0

תחום ההגדרה של ff: כל xx חוץ מ-00

x>0x > 0

תחום ההגדרה של gg: רק xx חיובי

ln⁡(x2)=2ln⁡∣x∣\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x|

הכלל הנכון, עם ערך מוחלט

לא נכון. עבור x>0x > 0 הגרפים מתלכדים, אבל ל-ff יש גם ענף משמאל לציר ה-yy. הכלל ln⁡(a2)=2ln⁡a\ln\left(a^2\right) = 2\ln a נכון רק עבור a>0a > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האנכית שלה.

  • f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)
  • f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2)
  • f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x)
  • f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x)
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1) — x=1x = 1 · f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2) — x=−2x = -2 · f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x) — x=3x = 3 · f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x) — x=0x = 0

Corrigé :

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בכל פונקציה: הקיר איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

3−x=0⇒x=3\begin{aligned}3 - x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

הקיר של ln⁡(3−x)\ln(3-x) הוא 33, והגרף משמאל לו

2x=0⇒x=0\begin{aligned}2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המקדם 22 לא מזיז את הקיר

את הקיר מוצאים מהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln, ולא מהנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

−4−3−2−11234−11xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right). ל-ff יש נקודת פיתול שבה x>0x > 0. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2\begin{aligned}f''(x) &= \frac{2\left(x^2+1\right) - 2x \cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\ &= \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′′(x)=0⇒x=±1\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

המכנה חיובי

x>0⇒x=1x > 0 \Rightarrow x = 1

זו הנקודה הכי גבוהה של הגרף של f′f'

x=1x = 1. נקודת פיתול של ff היא קיצון של f′f': בסרטוט, הנקודה הכי גבוהה של הגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

xyy = 0x = 0

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. ערך המקסימום שלה הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡xx=0.2\frac{\ln x}{x} = 0.2?

  1. 00
  2. 22
  3. 11
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 22

Corrigé :

0<0.2<1e0 < 0.2 < \frac{1}{e}

הישר y=0.2y = 0.2 נמצא בין ציר ה-xx לבין המקסימום

1<x<e ; x>e1 < x < e \ ; \ x > e

הישר חותך את הגרף פעם אחת בעלייה ופעם אחת בירידה

שני פתרונות. מימין הגרף יורד אל 00 אבל לא מגיע אליו, ולכן הוא חוצה את y=0.2y = 0.2 בדרך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

121xy

בסרטוט הגרף של f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x. לפונקציה יש נקודת מינימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.368

Corrigé :

f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\begin{aligned}f'(x) &= \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \ln x + 1\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(x)=0⇒ln⁡x=−1⇒x=1e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}
f(1e)=1e⋅(−1)=−1e≈−0.368\begin{aligned}f\left(\frac{1}{e}\right) &= \frac{1}{e} \cdot (-1) \\ &= -\frac{1}{e} \approx -0.368\end{aligned}

מציבים בפונקציה, ולא בנגזרת

−1e≈−0.368-\frac{1}{e} \approx -0.368. שיעור ה-xx הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368: אותו מספר בלי הסימן, ולכן קל להתבלבל ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe