L’intégrale qui donne ln, et les aires

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק על הפונקציה המעריכית ראיתם אינטגרלים כמו ∫exex+3 dx\int \frac{e^x}{e^x + 3}\,dx, שהתשובה שלהם היא ln⁡\ln. כאן נראה את הכלל הכללי שמאחוריהם, ונחשב שטחים מתחת לגרפים כמו y=1xy = \frac{1}{x}.

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}

∫1b1x dx=ln⁡b\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \ln b

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}, בין 11 ל-bb, הוא ln⁡b\ln b.

בין x=1x = 1 ל-x=bx = b השטח מתחת ל-y=1xy = \frac{1}{x} שווה בדיוק ל-11. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

ln⁡b=1\ln b = 1, ולכן b=e≈2.718b = e \approx 2.718. זו דרך נוספת להכיר את המספר ee: הגבול שבו השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x} מגיע ל-11.

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

הפונקציה הקדומה של 1x\frac{1}{x}, עם ערך מוחלט.

למה ערך מוחלט? 1x\frac{1}{x} מוגדרת גם עבור x<0x < 0. שם ln⁡x\ln x לא מוגדר, אבל (ln⁡(−x))′=−1−x=1x\left(\ln(-x)\right)' = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

מונה שהוא הנגזרת של המכנה

לפי כלל השרשרת, (ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}. אם קוראים את השוויון הזה מימין לשמאל, מקבלים כלל לאינטגרל.

∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

כאשר המונה הוא הנגזרת של המכנה.

חשבו ∫2xx2+5 dx\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx

בודקים קודם: מהי הנגזרת של המכנה?

(x2+5)′=2x\left(x^2 + 5\right)' = 2x

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה.

∫2xx2+5 dx=ln⁡(x2+5)+C\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx = \ln\left(x^2 + 5\right) + C

אין צורך בערך מוחלט: x2+5>0x^2 + 5 > 0 תמיד.

חשבו ∫xx2+1 dx\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx

כאן המונה הוא רק חצי מהנגזרת של המכנה.

(x2+1)′=2x\left(x^2 + 1\right)' = 2x

הנגזרת של המכנה היא 2x2x, והמונה הוא xx.

xx2+1=12⋅2xx2+1\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1}

מוציאים את המקדם 12\frac{1}{2} החוצה.

∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+C\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

בדיקה: גוזרים, ומקבלים 12⋅2xx2+1=xx2+1\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x}{x^2+1}.

חשבו ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x}\,dx. רמז: מהי הנגזרת של ln⁡x\ln x?

Voir la réponse et le corrigé

הנגזרת של ln⁡x\ln x היא 1x\frac{1}{x}, ולכן הביטוי הוא ln⁡x\ln x כפול הנגזרת שלו. התשובה היא (ln⁡x)22+C\frac{(\ln x)^2}{2} + C. זה לא מקרה של מונה שהוא נגזרת המכנה: אין כאן מכנה שהוא פונקציה של xx חוץ מ-xx עצמו.

שטחים

השטח בין הגרף של y=2xx2+1y = \frac{2x}{x^2 + 1}, ציר ה-xx, והישר x=2x = 2

עבור x≥0x \ge 0 הגרף מעל ציר ה-xx, והוא חותך אותו ב-x=0x = 0.

S=∫022xx2+1 dxS = \int_0^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx

הגבולות: מנקודת החיתוך עם הציר עד הישר.

=[ln⁡(x2+1)]02=ln⁡5−ln⁡1= \left[\ln\left(x^2 + 1\right)\right]_0^2 = \ln 5 - \ln 1

המונה הוא הנגזרת של המכנה.

=ln⁡5≈1.609= \ln 5 \approx 1.609

ln⁡1=0\ln 1 = 0.

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

∫12x+1 dx=ln⁡∣2x+1∣+C\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \ln|2x+1| + C
∫12x+1 dx=12ln⁡∣2x+1∣+C\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C

הנגזרת של 2x+12x + 1 היא 22, והמונה הוא 11. חסר המקדם 12\frac{1}{2}.

∫1x2 dx=ln⁡(x2)+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln\left(x^2\right) + C
∫1x2 dx=−1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

הכלל של ln⁡\ln דורש שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. כאן המונה 11, והנגזרת של x2x^2 היא 2x2x. משתמשים בכלל החזקה.

בודקים בגזירה. אחרי כל אינטגרל, גוזרים את התשובה. אם מקבלים את הביטוי שבתוך האינטגרל, התשובה נכונה.

Exercices

Exercice 1

חשבו ∫1e21x dx\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫1e21x dx=[ln⁡x]1e2\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^{e^2}

הפונקציה הקדומה של 1x\frac{1}{x}

ln⁡e2−ln⁡1=2−0=2\begin{aligned}\ln e^2 - \ln 1 &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

ln⁡e2=2\ln e^2 = 2

22. התשובה e2−1e^2 - 1 מתקבלת ממי שמחסר את הגבולות בלי להפעיל את ln⁡\ln.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי פונקציה קדומה של f(x)=2xx2+3f(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}?

  1. ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C
  2. 2ln⁡(x2+3)+C2\ln\left(x^2 + 3\right) + C
  3. 1x2+3+C\frac{1}{x^2 + 3} + C
  4. ln⁡(2x)+C\ln(2x) + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C

Corrigé :

(x2+3)′=2x\left(x^2 + 3\right)' = 2x

המונה הוא הנגזרת של המכנה

(ln⁡(x2+3))′=2xx2+3\left(\ln\left(x^2+3\right)\right)' = \frac{2x}{x^2+3}

בדיקה בגזירה

ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C. ה-22 שבמונה כבר "נבלע" בנגזרת של המכנה: מי שמוסיף 22 לפני ה-ln⁡\ln סופר אותו פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי פונקציה קדומה של f(x)=12x−1f(x) = \frac{1}{2x - 1}, עבור x>12x > \frac{1}{2}?

  1. ln⁡(2x−1)+C\ln(2x - 1) + C
  2. 12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C
  3. −1(2x−1)2+C-\frac{1}{(2x-1)^2} + C
  4. 2ln⁡(2x−1)+C2\ln(2x - 1) + C
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C

Corrigé :

(2x−1)′=2(2x - 1)' = 2

הנגזרת של המכנה היא 22, והמונה הוא 11

12x−1=12⋅22x−1\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x-1}

מוציאים 12\frac{1}{2}

(12ln⁡(2x−1))′=12⋅22x−1=12x−1\begin{aligned}\left(\frac{1}{2}\ln(2x-1)\right)' &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x-1} \\ &= \frac{1}{2x-1}\end{aligned}

בדיקה בגזירה

12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C. בלי 12\frac{1}{2} הנגזרת יוצאת גדולה פי 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו ∫02xx2+1 dx\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.805

Corrigé :

∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)

המונה הוא חצי מהנגזרת של המכנה

12ln⁡5−12ln⁡1=12ln⁡5≈0.805\frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805

מציבים את הגבולות

12ln⁡5≈0.805\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805. מי ששוכח את 12\frac{1}{2} מקבל ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609, פי 22 מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו ∫1eln⁡xx dx\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

((ln⁡x)22)′=2ln⁡x2⋅1x=ln⁡xx\begin{aligned}\left(\frac{(\ln x)^2}{2}\right)' &= \frac{2\ln x}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x}{x}\end{aligned}

פונקציה קדומה, ובדיקה בגזירה

(ln⁡e)22−(ln⁡1)22=12−0\frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1}{2} - 0

מציבים את הגבולות

12\frac{1}{2}. זה לא מקרה של ln⁡\ln של המכנה: ln⁡x\ln x כפול הנגזרת שלו נותן חצי הריבוע של ln⁡x\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השטח שבין הגרף של y=1xy = \frac{1}{x}, ציר ה-xx, והישרים x=1x = 1 ו-x=ax = a (כאשר a>1a > 1) הוא 33. מצאו את aa. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20.086

Corrigé :

∫1a1x dx=ln⁡a\int_1^a \frac{1}{x}\,dx = \ln a

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}

ln⁡a=3⇒a=e3≈20.086\begin{aligned}\ln a &= 3 \Rightarrow a \\ &= e^3 \approx 20.086\end{aligned}

הפעולה ההפוכה של ln⁡\ln היא ee בחזקת

a=e3≈20.086a = e^3 \approx 20.086. התשובה a=3a = 3 מבלבלת בין השטח לבין הגבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

1234567123xyx = 0(2, 1.5)(6, 0.5)

בסרטוט הגרף של y=3xy = \frac{3}{x}. חשבו את השטח שבין הגרף, ציר ה-xx, והישרים x=2x = 2 ו-x=6x = 6. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.296

Corrigé :

S=∫263x dx=3[ln⁡x]26\begin{aligned}S &= \int_2^6 \frac{3}{x}\,dx \\ &= 3\left[\ln x\right]_2^6\end{aligned}

הגרף מעל הציר בתחום

=3(ln⁡6−ln⁡2)=3ln⁡3≈3.296= 3(\ln 6 - \ln 2) = 3\ln 3 \approx 3.296

חוק המנה: ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62\ln 6 - \ln 2 = \ln\frac{6}{2}

3ln⁡3≈3.2963\ln 3 \approx 3.296. הטעות הנפוצה: 3ln⁡(6−2)=3ln⁡43\ln(6 - 2) = 3\ln 4. ההפרש של שני ln⁡\ln הוא ln⁡\ln של המנה, לא של ההפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הטענה: ∫1x2 dx=ln⁡(x2)+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln\left(x^2\right) + C.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(ln⁡(x2))′=2xx2=2x\begin{aligned}\left(\ln\left(x^2\right)\right)' &= \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac{2}{x}\end{aligned}

גוזרים את התשובה המוצעת

2x≠1x2\frac{2}{x} \ne \frac{1}{x^2}

לא קיבלנו את הביטוי שבאינטגרל

∫x−2 dx=−x−1+C\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C

כלל החזקה

לא נכון. הכלל של ln⁡\ln דורש שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. התשובה הנכונה היא −1x+C-\frac{1}{x} + C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את הפונקציה הקדומה שלה (בלי +C+C).

  • 1x+4\frac{1}{x + 4}
  • 2xx2+4\frac{2x}{x^2 + 4}
  • 14x\frac{1}{4x}
  • 2x+4x2+4x+5\frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5}
  • 14ln⁡∣x∣\frac{1}{4}\ln|x|
  • ln⁡(x2+4)\ln\left(x^2 + 4\right)
  • ln⁡(x2+4x+5)\ln\left(x^2 + 4x + 5\right)
  • ln⁡∣x+4∣\ln|x + 4|
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1x+4\frac{1}{x + 4} — ln⁡∣x+4∣\ln|x + 4| · 2xx2+4\frac{2x}{x^2 + 4} — ln⁡(x2+4)\ln\left(x^2 + 4\right) · 14x\frac{1}{4x} — 14ln⁡∣x∣\frac{1}{4}\ln|x| · 2x+4x2+4x+5\frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5} — ln⁡(x2+4x+5)\ln\left(x^2 + 4x + 5\right)

Corrigé :

(x+4)′=1(x + 4)' = 1

המונה 11 הוא הנגזרת

14x=14⋅1x\frac{1}{4x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x}

מקדם קבוע יוצא החוצה

(x2+4x+5)′=2x+4\left(x^2 + 4x + 5\right)' = 2x + 4

שוב המונה הוא הנגזרת של המכנה

בכל מקרה גוזרים את המכנה ומשווים למונה. 14x\frac{1}{4x} איננו ln⁡∣4x∣\ln|4x| בלבד: (ln⁡∣4x∣)′=1x\left(\ln|4x|\right)' = \frac{1}{x}, פי 44 יותר מדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו ∫352x−2x2−2x dx\int_3^5 \frac{2x - 2}{x^2 - 2x}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.609

Corrigé :

(x2−2x)′=2x−2\left(x^2 - 2x\right)' = 2x - 2

המונה הוא הנגזרת של המכנה

[ln⁡∣x2−2x∣]35=ln⁡15−ln⁡3\left[\ln\left|x^2 - 2x\right|\right]_3^5 = \ln 15 - \ln 3

בתחום 3≤x≤53 \le x \le 5 המכנה חיובי

=ln⁡5≈1.609= \ln 5 \approx 1.609

חוק המנה

ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609. שימו לב לגבולות: בין 00 ל-22 המכנה מתאפס, ולכן אי אפשר היה לבחור שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

1234512345xyfgx = 0(1, 4)(4, 1)

בסרטוט הגרפים של y=4xy = \frac{4}{x} ושל y=5−xy = 5 - x. הם נחתכים בנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=4x = 4. חשבו את השטח הכלוא ביניהם. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.955

Corrigé :

4x=5−x⇒x2−5x+4=0⇒x=1 x=4\begin{aligned}\frac{4}{x} &= 5 - x \Rightarrow x^2 - 5x + 4 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך

S=∫14(5−x−4x)dxS = \int_1^4 \left(5 - x - \frac{4}{x}\right)dx

בין 11 ל-44 הישר מעל ההיפרבולה

=[5x−x22−4ln⁡x]14=7.5−4ln⁡4= \left[5x - \frac{x^2}{2} - 4\ln x\right]_1^4 = 7.5 - 4\ln 4
=7.5−8ln⁡2≈1.955= 7.5 - 8\ln 2 \approx 1.955

7.5−8ln⁡2≈1.9557.5 - 8\ln 2 \approx 1.955. מחסירים את הגרף התחתון מהעליון. בסדר הפוך יוצא מספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, והגרף שלה עובר בנקודה (0,3)(0, 3). חשבו את F(2)F(2). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.609

Corrigé :

F(x)=ln⁡(x2+1)+CF(x) = \ln\left(x^2 + 1\right) + C

המונה הוא הנגזרת של המכנה

F(0)=ln⁡1+C=C=3\begin{aligned}F(0) &= \ln 1 + C \\ &= C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

F(2)=ln⁡5+3≈4.609F(2) = \ln 5 + 3 \approx 4.609

ln⁡5+3≈4.609\ln 5 + 3 \approx 4.609. בלי הנקודה הנתונה יש אינסוף פונקציות קדומות. מוצאים את CC לפני שמציבים x=2x = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

סדרו את שלבי החישוב של ∫012x+1x2+x+1 dx\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx.

  • (x2+x+1)′=2x+1\left(x^2 + x + 1\right)' = 2x + 1: המונה הוא הנגזרת של המכנה
  • התוצאה: ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099
  • מציבים את הגבולות: ln⁡3−ln⁡1\ln 3 - \ln 1
  • פונקציה קדומה: ln⁡(x2+x+1)\ln\left(x^2 + x + 1\right), בלי ערך מוחלט כי המכנה חיובי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x2+x+1)′=2x+1\left(x^2 + x + 1\right)' = 2x + 1: המונה הוא הנגזרת של המכנה · פונקציה קדומה: ln⁡(x2+x+1)\ln\left(x^2 + x + 1\right), בלי ערך מוחלט כי המכנה חיובי · מציבים את הגבולות: ln⁡3−ln⁡1\ln 3 - \ln 1 · התוצאה: ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099

Corrigé :

[ln⁡(x2+x+1)]01=ln⁡3\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]_0^1 = \ln 3

בודקים את המונה, מוצאים קדומה, מציבים

בודקים קודם שהמונה הוא הנגזרת של המכנה. בלי הבדיקה הזאת, ה-ln⁡\ln הוא ניחוש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הפונקציה ln⁡∣x∣\ln|x| היא פונקציה קדומה של 1x\frac{1}{x}. באיזה תחום?

  1. רק עבור x<0x < 0
  2. עבור x>0x > 0, וגם עבור x<0x < 0
  3. רק עבור x>0x > 0
  4. לכל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B עבור x>0x > 0, וגם עבור x<0x < 0

Corrigé :

x>0:(ln⁡x)′=1xx > 0 : \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}
x<0:(ln⁡(−x))′=−1−x=1x\begin{aligned}x < 0 : \left(\ln(-x)\right)' &= \frac{-1}{-x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

כלל השרשרת

x=0x = 0

ב-x=0x = 0 שתי הפונקציות לא מוגדרות

בכל אחד משני התחומים בנפרד. "לכל xx" שגוי, כי 1x\frac{1}{x} ו-ln⁡∣x∣\ln|x| לא מוגדרות ב-x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

חשבו ∫−3−11x dx\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.099

Corrigé :

[ln⁡∣x∣]−3−1=ln⁡1−ln⁡3\left[\ln|x|\right]_{-3}^{-1} = \ln 1 - \ln 3

הערך המוחלט מאפשר להציב מספרים שליליים

=−ln⁡3≈−1.099= -\ln 3 \approx -1.099

−ln⁡3≈−1.099-\ln 3 \approx -1.099. התוצאה שלילית, כי בתחום הזה הגרף של 1x\frac{1}{x} מתחת לציר ה-xx. השטח עצמו הוא ln⁡3\ln 3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe