Affirmations sur ln : démontrer sans calculer

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה יש סעיפים כמו "הראו כי…" או "האם הטענה נכונה? נמקו". לעתים קרובות לא צריך חישוב ארוך. צריך סיבה: סימן של נגזרת, אי-שוויון ידוע, או דוגמה נגדית.

הסימן של הנגזרת מספיק

כדי להראות שפונקציה עולה בכל התחום שלה, לא צריך טבלה. מספיק להראות ש-f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx בתחום.

הראו כי f(x)=ln⁡x+xf(x) = \ln x + x עולה, ושיש לה נקודת חיתוך אחת בדיוק עם ציר ה-xx

תחום ההגדרה הוא x>0x > 0.

f′(x)=1x+1f'(x) = \frac{1}{x} + 1

גוזרים.

x>0⇒1x>0⇒f′(x)>1>0x > 0 \Rightarrow \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow f'(x) > 1 > 0

בתחום ההגדרה שני המחוברים חיוביים: ff עולה.

f(1e)=−1+1e<0 ; f(1)=1>0\begin{aligned}f\left(\frac{1}{e}\right) &= -1 + \frac{1}{e} < 0 \ ; \ f(1) \\ &= 1 > 0\end{aligned}

הפונקציה מחליפה סימן בין 1e\frac{1}{e} ל-11: יש לפחות נקודת חיתוך אחת.

x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

פונקציה עולה לא חוזרת לאותו גובה, ולכן יש בדיוק נקודת חיתוך אחת.

האם למשוואה ln⁡x=x\ln x = x יש פתרון? רמז: הסתכלו על g(x)=x−ln⁡xg(x) = x - \ln x.

Voir la réponse et le corrigé

לא. g′(x)=1−1xg'(x) = 1 - \frac{1}{x} מתאפסת רק ב-x=1x = 1, ושם יש מינימום: g(1)=1g(1) = 1. לכן g(x)≥1>0g(x) \ge 1 > 0 לכל x>0x > 0, כלומר x−ln⁡xx - \ln x אף פעם לא 00.

אי-שוויון ששווה לזכור: ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1

(ln⁡x)′′=−1x2<0(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0

לגרף של ln⁡x\ln x יש קעירות כלפי מטה בכל התחום.

y=x−1y = x - 1

זה המשיק לגרף של ln⁡x\ln x בנקודה (1,0)(1, 0).

ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1

גרף עם קעירות כלפי מטה נמצא מתחת למשיקים שלו. השוויון רק ב-x=1x = 1.

הוכיחו כי ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1 לכל x>0x > 0

מעבירים הכול לאגף אחד, ובודקים את המינימום.

g(x)=x−1−ln⁡xg(x) = x - 1 - \ln x

צריך להראות ש-g(x)≥0g(x) \ge 0.

g′(x)=1−1x=x−1x\begin{aligned}g'(x) &= 1 - \frac{1}{x} \\ &= \frac{x - 1}{x}\end{aligned}

שלילית עבור 0<x<10 < x < 1, חיובית עבור x>1x > 1.

g(1)=0g(1) = 0

ב-x=1x = 1 יש מינימום, והערך שלו 00.

g(x)≥g(1)=0 ⇒ ln⁡x≤x−1g(x) \ge g(1) = 0 \ \Rightarrow \ \ln x \le x - 1

כל ערך של gg גדול מהמינימום או שווה לו.

השתמשו באי-השוויון כדי להראות ש-ln⁡2<1\ln 2 < 1, בלי מחשבון.

Voir la réponse et le corrigé

מציבים x=2x = 2: ln⁡2≤2−1=1\ln 2 \le 2 - 1 = 1. השוויון קורה רק ב-x=1x = 1, ו-2≠12 \ne 1, ולכן ln⁡2<1\ln 2 < 1.

כמה פתרונות יש למשוואה?

מחליפים סימן: יש לפחות פתרון אחד. הפונקציה גם עולה (או גם יורדת) בכל התחום: יש בדיוק פתרון אחד.

שתי טעויות בנימוק.

f(a)⋅f(b)<0⇒פתרון יחידf(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \text{פתרון יחיד}
f(a)⋅f(b)<0⇒לפחות פתרון אחדf(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \text{לפחות פתרון אחד}

החלפת סימן נותנת לפחות פתרון אחד, ולא פתרון יחיד. בלי מונוטוניות, יכולים להיות שלושה.

f(x)=x3: f′(0)=0\begin{aligned}f(x) &= x^3 : \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}
f′(x)=3x2≥0f'(x) = 3x^2 \ge 0

נגזרת שמתאפסת לא מספיקה לקיצון: f′(0)=0f'(0) = 0, אבל x3x^3 עולה בכל מקום. צריך שהנגזרת תחליף סימן בנקודה.

טענה שגויה? דוגמה נגדית אחת מספיקה. טענה נכונה? צריך נימוק שמתאים לכל xx בתחום, ולא רק לכמה מספרים שבדקתם.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=ln⁡x−1xf(x) = \ln x - \frac{1}{x}. הטענה: ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=1x+1x2f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

הנגזרת של −1x-\frac{1}{x} היא +1x2+\frac{1}{x^2}

x>0⇒f′(x)>0x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0

שני המחוברים חיוביים

נכון. הסימן של כל מחובר ידוע, ואין צורך לפתור f′(x)=0f'(x) = 0. הטעות הנפוצה: לגזור את −1x-\frac{1}{x} ל-−1x2-\frac{1}{x^2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הטענה: לכל x>0x > 0 מתקיים ln⁡x<x\ln x < x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1

אי-השוויון שהוכחנו

x−1<xx - 1 < x

תמיד

ln⁡x≤x−1<x\ln x \le x - 1 < x

שרשרת

נכון. אפשר גם לבדוק את המינימום של x−ln⁡xx - \ln x, שהוא 11. בדיקה של כמה מספרים לבד אינה הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הטענה: למשוואה ln⁡x=x−1\ln x = x - 1 יש שני פתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

g(x)=x−1−ln⁡x≥0g(x) = x - 1 - \ln x \ge 0

ראינו: gg מגיעה ל-00 רק במינימום

g(x)=0  ⟺  x=1\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

המינימום היחיד הוא ב-x=1x = 1

לא נכון: יש פתרון אחד, x=1x = 1. הישר y=x−1y = x - 1 משיק לגרף של ln⁡x\ln x, ולא חותך אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡x=−x\ln x = -x?

  1. אינסוף
  2. 11
  3. 22
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 11

Corrigé :

h(x)=ln⁡x+xh(x) = \ln x + x

מעבירים לאגף אחד

h′(x)=1x+1>0h'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0

hh עולה בכל התחום

h(1e)<0 , h(1)>0h\left(\frac{1}{e}\right) < 0 \ , \ h(1) > 0

מחליפה סימן

פתרון אחד. עולה ומחליפה סימן: בדיוק אחד. מי שמנסה לפתור באלגברה נתקע, כי אין כאן נוסחה. מספיק לנמק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סדרו את שורות ההוכחה של הטענה: x−ln⁡x≥1x - \ln x \ge 1 לכל x>0x > 0.

  • g′(x)<0g'(x) < 0 עבור 0<x<10 < x < 1, ו-g′(x)>0g'(x) > 0 עבור x>1x > 1
  • g′(x)=1−1x=x−1xg'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}
  • לכן g(x)≥1g(x) \ge 1 לכל x>0x > 0
  • לכן ל-gg יש מינימום ב-x=1x = 1, ו-g(1)=1g(1) = 1
  • נגדיר g(x)=x−ln⁡xg(x) = x - \ln x, בתחום x>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נגדיר g(x)=x−ln⁡xg(x) = x - \ln x, בתחום x>0x > 0 · g′(x)=1−1x=x−1xg'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x} · g′(x)<0g'(x) < 0 עבור 0<x<10 < x < 1, ו-g′(x)>0g'(x) > 0 עבור x>1x > 1 · לכן ל-gg יש מינימום ב-x=1x = 1, ו-g(1)=1g(1) = 1 · לכן g(x)≥1g(x) \ge 1 לכל x>0x > 0

Corrigé :

g′(x)=x−1xg'(x) = \frac{x-1}{x}

הגדרה, נגזרת, סימן, מינימום, מסקנה

המסקנה באה אחרונה, אחרי המינימום. מי שמתחיל ב-"g(x)≥1g(x) \ge 1" מניח את מה שצריך להוכיח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=ln⁡x−ln⁡(x−1)f(x) = \ln x - \ln(x - 1), בתחום x>1x > 1. הטענה: ff עולה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=1x−1x−1f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1}
=(x−1)−xx(x−1)=−1x(x−1)= \frac{(x - 1) - x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)}

מכנה משותף

x>1⇒x(x−1)>0⇒f′(x)<0x > 1 \Rightarrow x(x-1) > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

לא נכון: ff יורדת. שני ה-ln⁡\ln עולים, אבל ההפרש שלהם יכול לרדת. בודקים את הסימן של הנגזרת, לא את הסימן של כל חלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

איזה מבין אי-השוויונות נכון לכל x>0x > 0?

  1. ln⁡x>0\ln x > 0
  2. ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1
  3. ln⁡x≤1−x\ln x \le 1 - x
  4. ln⁡x≥x−1\ln x \ge x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1

Corrigé :

x=2:ln⁡2≈0.693<1x = 2 : \ln 2 \approx 0.693 < 1

דוגמה נגדית לאפשרות הראשונה

x=2:0.693>−1x = 2 : 0.693 > -1

דוגמה נגדית לאפשרות השלישית

x=12:ln⁡12<0x = \tfrac{1}{2} : \ln \tfrac{1}{2} < 0

דוגמה נגדית לאפשרות הרביעית

ln⁡x≤x−1\ln x \le x - 1. כל אחת מהאחרות נפסלת בדוגמה נגדית אחת, וזה כל מה שצריך כדי לפסול טענה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right). הטענה: ל-ff יש מקסימום ב-x=0x = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x2+1≥1⇒f(x)≥ln⁡1=0x^2 + 1 \ge 1 \Rightarrow f(x) \ge \ln 1 = 0

ln⁡\ln שומר על הסדר

f(0)=0f(0) = 0

הערך הקטן ביותר

לא נכון: ב-x=0x = 0 יש מינימום. אמנם f′(0)=0f'(0) = 0, אבל הנגזרת עוברת שם משלילית לחיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x), בתחום −1<x<1-1 < x < 1. הטענה: הגרף של ff סימטרי ביחס לראשית הצירים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)f(-x) = \ln(1 - x) - \ln(1 + x)

מציבים −x-x

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

אותם שני מחוברים, בסדר הפוך

−1<x<1  ⟺  −1<−x<1-1 < x < 1 \iff -1 < -x < 1

גם התחום סימטרי

נכון: ff אי-זוגית. צריך לבדוק גם את התחום. פונקציה עם f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) אבל עם תחום לא סימטרי לא נחשבת אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

עבור איזה xx מתקיים ln⁡x=x−1\ln x = x - 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

g(x)=x−1−ln⁡x≥0g(x) = x - 1 - \ln x \ge 0
g(1)=0−ln⁡1=0\begin{aligned}g(1) &= 0 - \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

השוויון רק במינימום

x=1x = 1. זו נקודת ההשקה של הישר y=x−1y = x - 1 עם הגרף של ln⁡x\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

תלמיד חישב: f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}, f(1)=0f(1) = 0 ו-f(e)=1ef(e) = \frac{1}{e}. הוא כתב: "לכן ff עולה לכל x>1x > 1". מה נכון?

  1. אי אפשר לדעת בלי מחשבון
  2. הנימוק לא נכון: f′(x)<0f'(x) < 0 לכל x>ex > e
  3. הנימוק נכון
  4. הנימוק לא נכון: ff לא מוגדרת ב-x=1x = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הנימוק לא נכון: f′(x)<0f'(x) < 0 לכל x>ex > e

Corrigé :

f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

כלל המנה

x>e⇒ln⁡x>1⇒f′(x)<0x > e \Rightarrow \ln x > 1 \Rightarrow f'(x) < 0

אחרי ee הפונקציה יורדת

הנימוק לא נכון. שני ערכים לא אומרים מה קורה ביניהם ואחריהם. מונוטוניות מוכיחים בסימן של הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הפונקציה ff גזירה, f(x)>0f(x) > 0 ו-f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx. הטענה: גם g(x)=ln⁡f(x)g(x) = \ln f(x) עולה לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g′(x)=f′(x)f(x)g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}

כלל השרשרת

(+)(+)>0\frac{(+)}{(+)} > 0

מונה חיובי ומכנה חיובי

נכון, בלי לדעת מהי ff. התנאי f(x)>0f(x) > 0 חשוב פעמיים: בלעדיו gg לא מוגדרת, והסימן של המנה לא ידוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה f(x)=x−3ln⁡xf(x) = x - 3\ln x. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=1−3x=x−3x\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{x} \\ &= \frac{x - 3}{x}\end{aligned}

מינימום ב-x=3x = 3

f(3)=3−3ln⁡3≈−0.296<0f(3) = 3 - 3\ln 3 \approx -0.296 < 0

המינימום מתחת לציר

f(1)=1>0  f(10)=10−3ln⁡10>0\begin{aligned}f(1) &= 1 > 0 \ \\ \ f(10) &= 10 - 3\ln 10 > 0\end{aligned}

משני צדדי המינימום הפונקציה חיובית

שתי נקודות: אחת בירידה ואחת בעלייה. לא מספיק לראות שהמינימום שלילי: צריך גם נקודה חיובית בכל צד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

סדרו את שורות ההוכחה של הטענה: למשוואה ln⁡x+x=2\ln x + x = 2 יש פתרון אחד בדיוק.

  • h′(x)=1x+1>0h'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0, ולכן hh עולה
  • h(1)=−1<0h(1) = -1 < 0 ו-h(2)=ln⁡2>0h(2) = \ln 2 > 0
  • hh עולה, ולכן האפס הזה יחיד
  • hh רציפה ומחליפה סימן, ולכן יש לה אפס בין 11 ל-22
  • נגדיר h(x)=ln⁡x+x−2h(x) = \ln x + x - 2, בתחום x>0x > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נגדיר h(x)=ln⁡x+x−2h(x) = \ln x + x - 2, בתחום x>0x > 0 · h′(x)=1x+1>0h'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0, ולכן hh עולה · h(1)=−1<0h(1) = -1 < 0 ו-h(2)=ln⁡2>0h(2) = \ln 2 > 0 · hh רציפה ומחליפה סימן, ולכן יש לה אפס בין 11 ל-22 · hh עולה, ולכן האפס הזה יחיד

Corrigé :

h′>0 , h(1)<0<h(2)h' > 0 \ , \ h(1) < 0 < h(2)

מונוטוניות ואחריה החלפת סימן

שני חלקים: קיום (החלפת סימן) ויחידות (מונוטוניות). בלי החלק השני, הוכחנו רק "לפחות אחד".

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

כדי להוכיח ש-2ln⁡x<x2\ln x < x לכל x>0x > 0, בודקים את המינימום של g(x)=x−2ln⁡xg(x) = x - 2\ln x. מהו ערך המינימום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.614

Corrigé :

g′(x)=1−2x=0⇒x=2\begin{aligned}g'(x) &= 1 - \frac{2}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מינימום, כי g′g' עוברת משלילית לחיובית

g(2)=2−2ln⁡2≈0.614g(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614

2−2ln⁡2≈0.6142 - 2\ln 2 \approx 0.614. המינימום חיובי, ולכן g(x)>0g(x) > 0, כלומר 2ln⁡x<x2\ln x < x. מספיק שהמינימום חיובי; הערך המדויק שלו לא משנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe