Question 6 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 6 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x<−1x < -1 או x>1x > 1
  2. x≠1x \ne 1
  3. −1<x<1-1 < x < 1
  4. x>1x > 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<−1x < -1 או x>1x > 1

Corrigé :

x+1x−1>0\frac{x+1}{x-1} > 0

בתוך ln⁡\ln צריך ביטוי חיובי

x<−1:(−)(−)>0 ; −1<x<1:(+)(−)<0 ; x>1:(+)(+)>0x < -1 : \frac{(-)}{(-)} > 0 \ ; \ -1 < x < 1 : \frac{(+)}{(-)} < 0 \ ; \ x > 1 : \frac{(+)}{(+)} > 0

טבלת סימנים של המונה והמכנה

תחום ההגדרה הוא x<−1x < -1 או x>1x > 1. מי שדורש x+1>0x + 1 > 0 וגם x−1>0x - 1 > 0 מאבד את החלק x<−1x < -1: שבר חיובי גם כששני האגפים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ב. טענה: לכל xx בתחום ההגדרה, f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=ln⁡(−x+1−x−1)=ln⁡(x−1x+1)\begin{aligned}f(-x) &= \ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) \\ &= \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\end{aligned}

מוציאים מינוס מהמונה ומהמכנה

ln⁡(x−1x+1)=ln⁡((x+1x−1)−1)=−f(x)\begin{aligned}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) &= \ln\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{-1}\right) \\ &= -f(x)\end{aligned}

ln⁡1u=−ln⁡u\ln\frac{1}{u} = -\ln u

הטענה נכונה: הפונקציה אי-זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים. שימו לב שגם תחום ההגדרה סימטרי, אחרת הטענה לא הייתה יכולה להתקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ג. מצאו את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה.

  1. x=1x = 1 בלבד
  2. אין אסימפטוטות אנכיות
  3. x=1x = 1 ו-x=−1x = -1
  4. x=−1x = -1 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=1x = 1 ו-x=−1x = -1

Corrigé :

x→1+: x+1x−1→+∞⇒f→+∞x \to 1^+ : \ \frac{x+1}{x-1} \to +\infty \Rightarrow f \to +\infty

המכנה שואף ל-00

x→−1−: x+1x−1→0+⇒f→−∞x \to -1^- : \ \frac{x+1}{x-1} \to 0^+ \Rightarrow f \to -\infty

המונה שואף ל-00, ו-ln⁡\ln של מספר חיובי קטן שואף ל-−∞-\infty

שתי אסימפטוטות אנכיות, x=1x = 1 ו-x=−1x = -1. הקיר ב-x=−1x = -1 נוצר דווקא מהמונה: כש-ln⁡\ln מקבל מספר שקרוב ל-00, הוא יורד בלי גבול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ד. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית y=cy = c, גם כאשר x→+∞x \to +\infty וגם כאשר x→−∞x \to -\infty. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x→±∞: x+1x−1→1x \to \pm\infty : \ \frac{x+1}{x-1} \to 1

מחלקים מונה ומכנה ב-xx

f(x)→ln⁡1=0f(x) \to \ln 1 = 0

c=0c = 0. הטעות הנפוצה היא c=1c = 1: 11 הוא הגבול של הביטוי שבתוך ln⁡\ln, והגבול של ff הוא ln⁡1\ln 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ה. מהי הנגזרת של ff?

  1. f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}
  2. f′(x)=2x2−1f'(x) = \frac{2}{x^2 - 1}
  3. f′(x)=1x+1+1x−1f'(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}
  4. f′(x)=x−1x+1f'(x) = \frac{x-1}{x+1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}

Corrigé :

f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1)

בתחום x>1x > 1 מותר לפרק (בתחום x<−1x < -1 מקבלים אותה נגזרת בעזרת ln⁡∣u∣\ln|u|)

f′(x)=1x+1−1x−1=(x−1)−(x+1)x2−1=−2x2−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \\ &= \frac{(x-1) - (x+1)}{x^2 - 1} \\ &= \frac{-2}{x^2 - 1}\end{aligned}

f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}. התשובה x−1x+1\frac{x-1}{x+1} היא ההפכי של מה שבתוך ln⁡\ln: היא שוכחת לכפול בנגזרת של הביטוי הפנימי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ו. טענה: ff יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x∈D⇒∣x∣>1⇒x2−1>0x \in D \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x^2 - 1 > 0

בשני חלקי התחום

f′(x)=−2x2−1<0f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1} < 0

מונה שלילי, מכנה חיובי

הטענה נכונה. אבל אי אפשר לומר ש-ff יורדת «בכל התחום» כמקשה אחת: f(−2)<0<f(2)f(-2) < 0 < f(2), למרות ש-−2<2-2 < 2. ירידה נבדקת בכל קטע של התחום בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ז. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הצירים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f(x)=0⇒x+1x−1=1⇒x+1=x−1\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} \\ &= 1 \Rightarrow x + 1 \\ &= x - 1\end{aligned}

אין פתרון: 1=−11 = -1

x=0∉Dx = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה-yy

אין נקודות חיתוך. הגרף לא חותך את ציר ה-xx, ו-x=0x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן גם לא את ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ח. טענה: כאשר x>1x > 1, f(x)>0f(x) > 0. האם הטענה נכונה? (אפשר לענות בלי נגזרת.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x>1: x+1>x−1>0⇒x+1x−1>1x > 1 : \ x + 1 > x - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} > 1

המונה גדול מהמכנה, ושניהם חיוביים

u>1⇒ln⁡u>0u > 1 \Rightarrow \ln u > 0

הטענה נכונה. מספיק להשוות את המונה למכנה: שבר חיובי שגדול מ-11 נותן ln⁡\ln חיובי. ומהטענה של סעיף ב נובע שכאשר x<−1x < -1, f(x)<0f(x) < 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ט. נתון ש-f(3)=ln⁡2f(3) = \ln 2. בלי להציב בפונקציה, מצאו את f(−3)f(-3). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.693

Corrigé :

f(−3)=−f(3)f(-3) = -f(3)

סעיף ב: הפונקציה אי-זוגית

−ln⁡2≈−0.693-\ln 2 \approx -0.693

f(−3)=−ln⁡2≈−0.693f(-3) = -\ln 2 \approx -0.693. בדיקה: −3+1−3−1=−2−4=12\frac{-3+1}{-3-1} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, ו-ln⁡12=−ln⁡2\ln\frac{1}{2} = -\ln 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). י. למשוואה f(x)=1f(x) = 1 יש פתרון אחד. מצאו אותו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.164

Corrigé :

x+1x−1=e\frac{x+1}{x-1} = e

מעלים את ee בחזקת שני האגפים

x+1=ex−e⇒x(e−1)=e+1\begin{aligned}x + 1 &= ex - e \Rightarrow x(e - 1) \\ &= e + 1\end{aligned}
x=e+1e−1≈2.164x = \frac{e+1}{e-1} \approx 2.164

בתחום: x>1x > 1

x=e+1e−1≈2.164x = \frac{e+1}{e-1} \approx 2.164. פתרון אחד בלבד, כמו שהגרף אומר: כאשר x<−1x < -1 הפונקציה שלילית ולא מגיעה ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe