Question 7 au format de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלה 7 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. א. מעבירים משיק לגרף של gg בנקודה שבה x=ex = e. מהו שיפוע המשיק? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.368

Corrigé :

g′(x)=1xg'(x) = \frac{1}{x}
g′(e)=1e≈0.368g'(e) = \frac{1}{e} \approx 0.368

שיפוע המשיק הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. טעות נפוצה: להציב x=ex = e בפונקציה ולקבל 11, שהוא שיעור ה-yy של נקודת ההשקה ולא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. א. טענה: המשיק לגרף של gg בנקודה שבה x=ex = e עובר דרך ראשית הצירים. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

y−1=1e(x−e)y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)

נקודת ההשקה (e,1)(e, 1)

y=xe−1+1=xe\begin{aligned}y &= \frac{x}{e} - 1 + 1 \\ &= \frac{x}{e}\end{aligned}

אין איבר חופשי

x=0⇒y=0\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 0\end{aligned}

הטענה נכונה: המשיק הוא y=xey = \frac{x}{e}. זה המשיק היחיד לגרף של ln⁡x\ln x שעובר דרך הראשית, ובסעיפים הבאים נראה מה הוא אומר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ב. מצאו את תחום ההגדרה של ff.

  1. x>0x > 0
  2. x≠0x \ne 0
  3. כל xx
  4. x>ex > e
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x>0x > 0

Corrigé :

ln⁡x: x>0\ln x : \ x > 0

האיבר xe\frac{x}{e} מוגדר לכל xx

תחום ההגדרה הוא x>0x > 0, בגלל ln⁡x\ln x. האיבר xe\frac{x}{e} הוא סתם קו ישר: ee הוא מספר, לא משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ג. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.718

Corrigé :

f′(x)=1e−1xf'(x) = \frac{1}{e} - \frac{1}{x}

הנגזרת של xe\frac{x}{e} היא 1e\frac{1}{e}

f′(x)=0⇒x=e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
0<x<e:f′<0 ; x>e:f′>00 < x < e : f' < 0 \ ; \ x > e : f' > 0

מינימום

מינימום כאשר x=e≈2.718x = e \approx 2.718. מי שגוזר את xe\frac{x}{e} ומקבל 1e2\frac{1}{e^2} מתייחס ל-ee כאילו היה משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ג. לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר x=ex = e. מהו שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f(e)=ee−ln⁡e=1−1=0\begin{aligned}f(e) &= \frac{e}{e} - \ln e \\ &= 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת המינימום היא (e,0)(e, 0): הגרף נוגע בציר ה-xx בנקודה אחת. זו בדיוק נקודת ההשקה של סעיף א.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ד. טענה: לכל x>0x > 0 מתקיים ln⁡x≤xe\ln x \le \frac{x}{e}. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(x)≥f(e)=0f(x) \ge f(e) = 0

המינימום של ff בכל התחום הוא 00

xe−ln⁡x≥0⇒ln⁡x≤xe\frac{x}{e} - \ln x \ge 0 \Rightarrow \ln x \le \frac{x}{e}

הטענה נכונה. כך מוכיחים אי-שוויון בעזרת חקירה: מעבירים הכול לאגף אחד, ומראים שהמינימום של הפונקציה החדשה הוא 00. בגרף: הישר y=xey = \frac{x}{e} נמצא מעל הגרף של ln⁡x\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ד. עבור אילו ערכים של xx מתקיים השוויון ln⁡x=xe\ln x = \frac{x}{e}?

  1. x=1x = 1 ו-x=ex = e
  2. אין אף ערך
  3. כל x>0x > 0
  4. רק x=ex = e
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D רק x=ex = e

Corrigé :

f(x)=0f(x) = 0

שוויון קורה רק במינימום

0<x<e:f↘ ; x>e:f↗0 < x < e : f \searrow \ ; \ x > e : f \nearrow

בכל מקום אחר f(x)>0f(x) > 0

רק x=ex = e. בדיקה של x=1x = 1: ln⁡1=0\ln 1 = 0 אבל 1e≠0\frac{1}{e} \ne 0, ולכן אין שם שוויון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ה. טענה: לגרף של ff יש קעירות כלפי מעלה בכל תחום ההגדרה. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′′(x)=1x2>0f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0

הטענה נכונה. זה מתאים לתמונה: ln⁡x\ln x עם קעירות כלפי מטה, והמשיק שלו מעליו. לכן ההפרש בין המשיק לבין ln⁡x\ln x, כלומר ff, הוא בעל קעירות כלפי מעלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ו. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡x=xe\ln x = \frac{x}{e}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

ln⁡x=xe  ⟺  f(x)=0\begin{aligned}\ln x &= \frac{x}{e} \iff f(x) \\ &= 0\end{aligned}
f(x)=0  ⟺  x=e\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}

סעיף ד

פתרון אחד. משוואה שאי אפשר לפתור בדרך אלגברית נפתרת כאן בעזרת החקירה: מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של ff עם ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

xygx = 0

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. ז. ישר שעובר דרך ראשית הצירים, עם שיפוע mm, חותך את הגרף של gg פעמיים כאשר 0<m<1e0 < m < \frac{1}{e}. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡x=0.2x\ln x = 0.2x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

0.2<1e≈0.3680.2 < \frac{1}{e} \approx 0.368

השיפוע קטן משיפוע המשיק מהראשית

ln⁡x−0.2x=0: x1≈1.30  x2≈12.71\begin{aligned}\ln x - 0.2x &= 0 : \ x_1 \approx 1.30 \ \\ \ x_2 \approx 12.71\end{aligned}

בדיקה מספרית

שני פתרונות. ישר מהראשית עם שיפוע 1e\frac{1}{e} נוגע בגרף; שיפוע קטן יותר נכנס מתחת לגרף וחותך אותו פעמיים, ושיפוע גדול יותר עובר מעליו ולא פוגש אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe