Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שנים-עשר תרגילים על כל הפרק: ln⁡\ln כפונקציה הפוכה של exe^x, תחום הגדרה, גזירה, גבולות ואסימפטוטות, קיצון, פרמטרים, גרף של נגזרת, ואינטגרל ושטח. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

חשבו בלי מחשבון: ln⁡(e3)−ln⁡1\ln\left(e^3\right) - \ln 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

ln⁡(e3)=3\ln\left(e^3\right) = 3

ln⁡\ln ו-exe^x הן פונקציות הפוכות

ln⁡1=0\ln 1 = 0

התוצאה 33. ln⁡1=0\ln 1 = 0, ולא 11: ee בחזקת 00 שווה ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=ln⁡(4−x2)f(x) = \ln\left(4 - x^2\right)?

  1. x<2x < 2
  2. כל xx
  3. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  4. −2<x<2-2 < x < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −2<x<2-2 < x < 2

Corrigé :

4−x2>0⇒x2<44 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 4
−2<x<2-2 < x < 2

תחום ההגדרה הוא −2<x<2-2 < x < 2. התשובה x<−2x < -2 או x>2x > 2 היא התחום שבו 4−x24 - x^2 שלילי: בדיוק ההפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=ln⁡(3x+1)f(x) = \ln(3x + 1). חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f′(x)=33x+1f'(x) = \frac{3}{3x + 1}

הנגזרת של ln⁡u\ln u היא u′u\frac{u'}{u}

f′(1)=34=0.75\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

f′(1)=0.75f'(1) = 0.75. מי שכותב 13x+1\frac{1}{3x + 1} שוכח לכפול בנגזרת של הביטוי הפנימי, 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

טענה: הגרף של y=ln⁡xy = \ln x הוא השיקוף של הגרף של y=exy = e^x ביחס לישר y=xy = x. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(a,b)∈ex  ⟺  (b,a)∈ln⁡x(a, b) \in e^x \iff (b, a) \in \ln x

פונקציות הפוכות מחליפות בין xx ל-yy

הטענה נכונה. השיקוף הוא ביחס לישר y=xy = x, ולא ביחס לאחד הצירים: לכן (0,1)(0, 1) על exe^x הופכת ל-(1,0)(1, 0) על ln⁡x\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 5

לגרף של f(x)=ln⁡(2x−6)f(x) = \ln(2x - 6) יש אסימפטוטה אנכית x=cx = c. מצאו את cc.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−6>0⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3

תחום ההגדרה

x→3+:ln⁡(2x−6)→−∞x \to 3^+ : \ln(2x - 6) \to -\infty

בקצה התחום

c=3c = 3. האסימפטוטה האנכית של ln⁡\ln נמצאת איפה שהביטוי שבפנים מתאפס, ולא ב-x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה f(x)=2x2−ln⁡xf(x) = 2x^2 - \ln x יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.193

Corrigé :

f′(x)=4x−1x=0⇒x2=14\begin{aligned}f'(x) &= 4x - \frac{1}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}
x=12x = \frac{1}{2}

רק השורש החיובי בתחום x>0x > 0

f(12)=12−ln⁡12=12+ln⁡2≈1.193\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.193\end{aligned}

שיעור ה-yy הוא 12+ln⁡2≈1.193\frac{1}{2} + \ln 2 \approx 1.193. שימו לב לסימן: −ln⁡12=+ln⁡2-\ln\frac{1}{2} = +\ln 2. והפתרון x=−12x = -\frac{1}{2} נפסל, כי הוא מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: ∫013x2x3+1 dx\int_0^1 \frac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.693

Corrigé :

(x3+1)′=3x2\left(x^3 + 1\right)' = 3x^2

המונה הוא הנגזרת של המכנה

[ln⁡(x3+1)]01=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}\Big[\ln\left(x^3 + 1\right)\Big]_0^1 &= \ln 2 - \ln 1 \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

התוצאה ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693. לפני שמחפשים שיטה מסובכת, בודקים אם המונה הוא הנגזרת של המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הגבול lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}?

  1. 11
  2. הגבול לא קיים
  3. +∞+\infty
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 00

Corrigé :

x→+∞: ln⁡x→+∞ , x→+∞x \to +\infty : \ \ln x \to +\infty \ , \ x \to +\infty

שניהם גדלים

ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר הרבה יותר מ-ln⁡x\ln x

הגבול הוא 00. «אינסוף חלקי אינסוף» הוא לא 11: השאלה היא מי גדל מהר יותר, ו-xx מנצח את ln⁡x\ln x.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=aln⁡x−xf(x) = a\ln x - x, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=3x = 3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=ax−1f'(x) = \frac{a}{x} - 1
f′(3)=0⇒a3=1⇒a=3\begin{aligned}f'(3) &= 0 \Rightarrow \frac{a}{3} \\ &= 1 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. מציבים את xx של נקודת הקיצון בנגזרת ומשווים ל-00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=1xy = \frac{1}{x}, ציר ה-xx והישרים x=1x = 1 ו-x=e2x = e^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∫1e21x dx=[ln⁡x]1e2\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^{e^2}
ln⁡e2−ln⁡1=2\ln e^2 - \ln 1 = 2

השטח הוא 22. בין 11 ל-ee השטח הוא 11, ובין ee ל-e2e^2 עוד 11: הקטע השני רחב יותר, אבל הגרף נמוך יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

xyy = 0x = 0I
xyy = 1x = 0II
xyy = 1x = 0III
xyy = 0x = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x, המוגדרת כאשר x>0x > 0. איזה מבין הגרפים מתאר את הנגזרת f′f'?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף IV
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גרף III

Corrigé :

f′(x)=1−1xf'(x) = 1 - \frac{1}{x}
f′(1)=0f'(1) = 0

רק בגרף III הנגזרת חותכת את ציר ה-xx, ב-x=1x = 1

x→+∞:f′→1x \to +\infty : f' \to 1

ומימין היא מתקרבת ל-y=1y = 1

גרף III. ל-ff יש מינימום ב-x=1x = 1, ולכן הגרף של f′f' חייב לחתוך שם את ציר ה-xx: שלושת הגרפים האחרים לא חותכים אותו כלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

טענה: למשוואה ln⁡x=−x\ln x = -x יש פתרון אחד בדיוק. האם הטענה נכונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

h(x)=ln⁡x+xh(x) = \ln x + x

מעבירים לאגף אחד

h′(x)=1x+1>0h'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0

hh עולה בכל התחום, ולכן מתאפסת לכל היותר פעם אחת

h(e−1)=e−1−1<0 ; h(1)=1>0\begin{aligned}h(e^{-1}) &= e^{-1} - 1 < 0 \ ; \ h(1) \\ &= 1 > 0\end{aligned}

והיא מחליפה סימן: יש פתרון בין 1e\frac{1}{e} ל-11

הטענה נכונה: פונקציה עולה שמחליפה סימן מתאפסת פעם אחת בדיוק. צריך את שני החלקים: «עולה» לבד לא מבטיח שיש פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe