Règles des logarithmes et changement de variable

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלושה חוקים

log⁡a(mn)=log⁡am+log⁡an\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n

לוגריתם של מכפלה

log⁡amn=log⁡am−log⁡an\log_a \tfrac{m}{n} = \log_a m - \log_a n

לוגריתם של מנה

log⁡a(mk)=klog⁡am\log_a(m^k) = k \log_a m

לוגריתם של חזקה

החוקים נכונים כאשר m>0m > 0 ו-n>0n > 0. בעזרתם מאחדים סכום של לוגריתמים ללוגריתם אחד, וחוזרים לשיטה של היחידה הקודמת.

קובעים את התחום רק אחרי שמאחדים.

log⁡2x+log⁡2(x−2)<3⇒−2<x<4\log_2 x + \log_2(x-2) < 3 \Rightarrow -2 < x < 4
log⁡2x+log⁡2(x−2)<3⇒2<x<4\log_2 x + \log_2(x-2) < 3 \Rightarrow 2 < x < 4

עבור x=−1x = -1 אין log⁡2(−1)\log_2(-1), ולכן גם אין סכום. המעבר ללוגריתם אחד הרחיב את התחום, ולא את הפתרון.

סכום לוגריתמים בבסיס קטן מ-1

נפתור את log⁡13x+log⁡13(x+2)≥−1\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}}(x + 2) \geq -1.

x>0x > 0

Domaine de définition

x(x+2)≤3x(x + 2) \leq 3

−1=log⁡133-1 = \log_{\frac{1}{3}} 3, והסימן מתהפך

x2+2x−3≤0⇒−3≤x≤1x^2 + 2x - 3 \leq 0 \Rightarrow -3 \leq x \leq 1
0<x≤10 < x \leq 1

חותכים עם התחום

הצבה: אי-שוויון ריבועי בתחפושת

כשאותו לוגריתם מופיע גם בריבוע וגם בחזקה ראשונה, מסמנים t=log⁡axt = \log_a x. מקבלים אי-שוויון ריבועי ב-tt.

נניח שקיבלנו t≤−1t \leq -1 או t≥2t \geq 2, כאשר t=ln⁡xt = \ln x. מה הפתרון ב-xx?

Voir la réponse et le corrigé

0<x≤e−10 < x \leq e^{-1} או x≥e2x \geq e^2. הבסיס ee גדול מ-11, ולכן הסימנים נשארים. ואת x>0x > 0 מוסיפים מהתחום.

בבסיס קטן מ-11 גם החזרה מ-tt ל-xx הופכת את הסימנים: −1<log⁡12x<1-1 < \log_{\frac{1}{2}} x < 1 נותן 12<x<2\frac{1}{2} < x < 2.

Exercices

Exercice 1

הפתרון של log⁡3x+log⁡3(x+8)<2\log_3 x + \log_3(x + 8) < 2 הוא 0<x<a0 < x < a. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x>0x > 0

Domaine de définition

x(x+8)<9x(x + 8) < 9

2=log⁡392 = \log_3 9

x2+8x−9<0⇒−9<x<1x^2 + 8x - 9 < 0 \Rightarrow -9 < x < 1
0<x<10 < x < 1

החלק −9<x≤0-9 < x \leq 0 נופל: שם log⁡3x\log_3 x אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הפתרון של log⁡2(x+1)+log⁡2(x−1)≥3\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) \geq 3?

  1. x≥3x \geq 3
  2. x>1x > 1
  3. 1<x≤31 < x \leq 3
  4. x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x≥3x \geq 3

Corrigé :

x>1x > 1

Domaine de définition

(x+1)(x−1)≥8⇒x2≥9(x + 1)(x - 1) \geq 8 \Rightarrow x^2 \geq 9
x≤−3 או x≥3x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 3
x≥3x \geq 3

עם התחום

x=−4x = -4 מקיים x2≥9x^2 \geq 9, אבל log⁡2(−3)\log_2(-3) אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה מספרים שלמים מקיימים (log⁡3x)2−5log⁡3x+6≤0(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x + 6 \leq 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19

Corrigé :

t=log⁡3x⇒t2−5t+6≤0t = \log_3 x \Rightarrow t^2 - 5t + 6 \leq 0
2≤t≤32 \leq t \leq 3
9≤x≤279 \leq x \leq 27

32≤x≤333^2 \leq x \leq 3^3

27−9+1=1927 - 9 + 1 = 19

שני הקצוות נכללים, כי הסימן הוא ≤\leq.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לכל x≠0x \neq 0 מתקיים log⁡2(x2)=2log⁡2x\log_2(x^2) = 2\log_2 x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x=−2: log⁡24=2\begin{aligned}x &= -2: \ \log_2 4 \\ &= 2\end{aligned}

אגף שמאל מוגדר

2log⁡2(−2)2\log_2(-2)

אגף ימין אינו מוגדר

החוק log⁡a(mk)=klog⁡am\log_a(m^k) = k\log_a m דורש m>0m > 0. הנכון לכל x≠0x \neq 0 הוא log⁡2(x2)=2log⁡2∣x∣\log_2(x^2) = 2\log_2|x|.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

השלימו את הפתרון של log⁡2x−log⁡2(x−1)>1\log_2 x - \log_2(x - 1) > 1.

____ <x<< x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1 <x<< x < 2

Corrigé :

x>1x > 1

Domaine de définition

log⁡2xx−1>1⇒xx−1>2\log_2 \tfrac{x}{x - 1} > 1 \Rightarrow \tfrac{x}{x - 1} > 2

לוגריתם של מנה

x>2(x−1)⇒x<2x > 2(x - 1) \Rightarrow x < 2

מותר לכפול ב-x−1x - 1: הוא חיובי בתחום

1<x<21 < x < 2

הכפל ב-x−1x - 1 בלי הפיכת סימן מותר רק כי התחום מבטיח x−1>0x - 1 > 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שורה אחת שגויה בפתרון של log⁡2x+log⁡2(x−3)<2\log_2 x + \log_2(x - 3) < 2. מצאו אותה.

log⁡2(x(x−3))<2\log_2\big(x(x - 3)\big) < 2
x2−3x<4x^2 - 3x < 4
(x−4)(x+1)<0⇒−1<x<4(x - 4)(x + 1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 4
−1<x<4-1 < x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : −1<x<4-1 < x < 4 → 3<x<43 < x < 4

Corrigé :

x>0 , x>3⇒x>3x > 0 \ , \ x > 3 \Rightarrow x > 3

התחום של הביטוי המקורי

3<x<43 < x < 4

השורה האחרונה שכחה את התחום. x=1x = 1 נותן log⁡2(−2)\log_2(-2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים (ln⁡x)2−3ln⁡x≤0(\ln x)^2 - 3\ln x \leq 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

t=ln⁡x⇒t(t−3)≤0t = \ln x \Rightarrow t(t - 3) \leq 0
0≤t≤30 \leq t \leq 3
1≤x≤e3≈20.091 \leq x \leq e^3 \approx 20.09

e3≈20.09e^3 \approx 20.09, ולכן 2121 כבר מחוץ לפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו הפתרון של (log⁡12x)2−1<0(\log_{\frac{1}{2}} x)^2 - 1 < 0?

  1. 12<x<2\frac{1}{2} < x < 2
  2. 0<x<20 < x < 2
  3. x<12x < \frac{1}{2} או x>2x > 2
  4. −1<x<1-1 < x < 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 12<x<2\frac{1}{2} < x < 2

Corrigé :

t=log⁡12x⇒t2<1t = \log_{\frac{1}{2}} x \Rightarrow t^2 < 1
−1<t<1-1 < t < 1
(12)1<x<(12)−1\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1} < x < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}

בסיס קטן מ-11: הסדר מתהפך

12<x<2\tfrac{1}{2} < x < 2

−1<x<1-1 < x < 1 הוא הפתרון ב-tt, לא ב-xx. אל תשכחו לחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡12x+log⁡12(x−6)≥−4\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}}(x - 6) \geq -4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x>6x > 6

Domaine de définition

x(x−6)≤16x(x - 6) \leq 16

−4=log⁡1216-4 = \log_{\frac{1}{2}} 16, והסימן מתהפך

x2−6x−16≤0⇒−2≤x≤8x^2 - 6x - 16 \leq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 8
6<x≤8⇒x∈{7,8}6 < x \leq 8 \Rightarrow x \in \{7, 8\}

בלי התחום הייתם סופרים 1111 שלמים, מ-−2-2 עד 88.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

עבור m>0m > 0 ו-n>0n > 0: איזה שוויון נכון?

  • נכון
  • לא נכון
  • (log⁡m)2=2log⁡m(\log m)^2 = 2\log m
  • log⁡mlog⁡n=log⁡(m−n)\frac{\log m}{\log n} = \log(m - n)
  • log⁡mn=log⁡m−log⁡n\log \frac{m}{n} = \log m - \log n
  • log⁡(m+n)=log⁡m+log⁡n\log(m + n) = \log m + \log n
  • log⁡(m3)=3log⁡m\log(m^3) = 3\log m
  • log⁡(mn)=log⁡m+log⁡n\log(mn) = \log m + \log n
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : log⁡(mn)=log⁡m+log⁡n\log(mn) = \log m + \log n — נכון · log⁡mn=log⁡m−log⁡n\log \frac{m}{n} = \log m - \log n — נכון · log⁡(m3)=3log⁡m\log(m^3) = 3\log m — נכון · log⁡(m+n)=log⁡m+log⁡n\log(m + n) = \log m + \log n — לא נכון · (log⁡m)2=2log⁡m(\log m)^2 = 2\log m — לא נכון · log⁡mlog⁡n=log⁡(m−n)\frac{\log m}{\log n} = \log(m - n) — לא נכון

Corrigé :

m=10: (log⁡10)2=1≠2=2log⁡10\begin{aligned}m &= 10: \ (\log 10)^2 \\ &= 1 \neq 2 \\ &= 2\log 10\end{aligned}

חזקה של הלוגריתם

log⁡(1+1)=log⁡2≠0=log⁡1+log⁡1\begin{aligned}\log(1 + 1) &= \log 2 \neq 0 \\ &= \log 1 + \log 1\end{aligned}

אין חוק לסכום בתוך לוגריתם. וחזקה של הלוגריתם אינה חזקה בתוך הלוגריתם: m=10m = 10 נותן (log⁡10)2=1(\log 10)^2 = 1, אבל 2log⁡10=22\log 10 = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מהו הפתרון של 2log⁡3x<log⁡3(2x+3)2\log_3 x < \log_3(2x + 3)?

  1. x>3x > 3
  2. −1<x<3-1 < x < 3
  3. x<3x < 3
  4. 0<x<30 < x < 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0<x<30 < x < 3

Corrigé :

x>0 , x>−1.5⇒x>0x > 0 \ , \ x > -1.5 \Rightarrow x > 0

Domaine de définition

log⁡3(x2)<log⁡3(2x+3)\log_3(x^2) < \log_3(2x + 3)

לוגריתם של חזקה

x2−2x−3<0⇒−1<x<3x^2 - 2x - 3 < 0 \Rightarrow -1 < x < 3
0<x<30 < x < 3

2log⁡3x2\log_3 x מוגדר רק עבור x>0x > 0, גם אם log⁡3(x2)\log_3(x^2) מוגדר גם לשליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שמקיים (log⁡2x)2−log⁡2x−6>0(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 > 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

t=log⁡2x⇒(t−3)(t+2)>0t = \log_2 x \Rightarrow (t - 3)(t + 2) > 0
t<−2 או t>3t < -2 \ \text{או} \ t > 3
0<x<14 או x>80 < x < \tfrac{1}{4} \ \text{או} \ x > 8
x=9x = 9

אין שלם חיובי בין 00 ל-14\frac{1}{4}

x=8x = 8 נותן t=3t = 3 ושוויון לאפס, לא אי-שוויון חזק.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe