On résout ensemble · Technique algébrique, équations et inéquations · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים, מערכת של ישר ופרבולה, משוואה עם שני שורשים, $f(x) > g(x)$ מתוך גרף, ומשוואה דו-ריבועית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

Activité interactive

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. צמצמו את הביטוי. ג. פתרו את המשוואה $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = 5$ .

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}

לחצו «להתחיל». התחום נקבע לפי המכנה המקורי, לפני כל צמצום.

א. מכנה

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

זהות: ריבוע של הפרש.

א. תחום

(x - 3)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

ערך אחד אסור.

ב. מונה

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים.

ב. צמצום

\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים גורם $x - 3$ אחד.

ג. משוואה

\begin{aligned}\frac{x + 3}{x - 3} &= 5 \ \Rightarrow \ x + 3 \\ &= 5(x - 3)\end{aligned}

כופלים במכנה, מותר כי $x \neq 3$ .

ג. פתרון

\begin{aligned}x + 3 &= 5x - 15 \ \Rightarrow \ 18 \\ &= 4x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4.5\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה.

ג. בדיקה

\frac{7.5}{1.5} = 5 \ \checkmark

בתחום ( $4.5 \neq 3$ ), ומקיים.

סעיף ג משתמש בסעיף ב: פותרים עם הביטוי המצומצם, וזה חוקי כי התחום כבר נרשם. בלי סעיף א, פתרון $x = 3$ היה יכול להתגנב.

Faire l'activité sur elev

למה בסעיף ב מצמצמים רק גורם $x - 3$ אחד, כשבמכנה יש שניים?

Voir la réponse et le corrigé

כי במונה יש רק אחד. צמצום הוא חלוקה של המונה ושל המכנה באותו גורם: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$ , מחלקים פעם אחת ב- $x - 3$ , ונשאר $\frac{x+3}{x-3}$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מערכת של ישר ופרבולה

Activité interactive

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 3x + 2$ ו- $y = 2x - 4$

נתונות הפרבולה $y = x^2 - 3x + 2$ והישר $y = 2x - 4$ . מצאו את נקודות המפגש שלהם.

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$

$(2,\,0)$ בלבד

$(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$

אין נקודות מפגש

איך מתחילים?

משווים: $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$

Voir la réponse et le corrigé

בנקודת מפגש ה- $y$ של הפרבולה שווה ל- $y$ של הישר.

מציבים $x = 0$ בשתי המשוואות

Voir la réponse et le corrigé

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא נקודת מפגש בין הגרפים.

מחברים את שתי המשוואות

Voir la réponse et le corrigé

חיבור לא מבטל את $y$ כאן. הצבה היא הדרך.

x^2 - 3x + 2 = 2x - 4

אותו $y$ בשתי המשוואות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

$-3x - 2x = -5x$ , $2 + 4 = 6$ .

$x^2 - x - 2 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

טעות סימן: $-3x - 2x$ הוא $-5x$ , ו- $2 - (-4) = 6$ .

$x^2 - 5x - 2 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

$2 - (-4) = 6$ , לא $-2$ .

\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 2)(x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

$x = 2$ או $x = 3$

איך מוצאים את $y$ ?

מציבים כל $x$ בישר $y = 2x - 4$

Voir la réponse et le corrigé

החישוב הקצר. אפשר גם בפרבולה, התוצאה זהה.

$y$ הוא תמיד $0$ בנקודת מפגש

Voir la réponse et le corrigé

$y = 0$ רק בחיתוך עם ציר ה- $x$ . כאן מפגש בין שני גרפים.

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \qquad x \\ &= 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $4 - 6 + 2 = 0$ ✓, $9 - 9 + 2 = 2$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$ . שתי נקודות מפגש, כי למשוואה של ההצבה שני פתרונות. « $(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ » הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ : שאלה אחרת.

Faire l'activité sur elev

בלי לחשב: כמה נקודות מפגש יכולות להיות לישר ולפרבולה?

Voir la réponse et le corrigé

אפס, אחת או שתיים. משוואת ההצבה היא ריבועית, ולה לכל היותר שני פתרונות. נקודה אחת פירושה שהישר משיק לפרבולה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שני שורשים

Activité interactive

פתרו: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1$

\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1

לחצו «להתחיל». עם שני שורשים מעלים בריבוע פעמיים, ובודקים פעם אחת בסוף.

Domaine de définition

x \geq 0

שני השורשים מוגדרים כש- $x \geq 0$ .

מבודדים

\sqrt{2x + 1} = 1 + \sqrt{x}

שורש אחד לבד באגף שמאל.

ריבוע

2x + 1 = 1 + 2\sqrt{x} + x

$(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות: שלושה איברים.

מצמצמים

x = 2\sqrt{x}

נשאר שורש אחד.

ריבוע שוב

\begin{aligned}x^2 &= 4x \ \Rightarrow \ x(x - 4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

לא מחלקים ב- $x$ : הוא יכול להיות אפס.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 0: \ 1 - 0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 4: \ 3 - 2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

שני הפתרונות מתקבלים.

שני פתרונות, $x = 0$ ו- $x = 4$ . מי שחילק את $x = 2\sqrt{x}$ ב- $\sqrt{x}$ מצא רק $x = 4$ ואיבד פתרון נכון.

Faire l'activité sur elev

בשלב «ריבוע» הופיע איבר $2\sqrt{x}$ . מאיפה הוא בא?

Voir la réponse et le corrigé

מהזהות $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ עם $a = 1$ , $b = \sqrt{x}$ : האיבר האמצעי $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x}$ . מי שכותב $1 + x$ שוכח אותו, ומקבל $x = 0$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

f(x) = x² − 4x + 3 (כחול) ו-g(x) = −x + 3 (כתום)

שני הגרפים נפגשים ב-

(0,\,3)

וב-

(3,\,0)

. לפני שפותרים, אמרו במילים: באיזה קטע הכחול למעלה?

Activité interactive

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

בגרף: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות המפגש. ב. עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < 0$ או $x > 3$

$0 < x < 3$

$x > 3$

$1 < x < 3$

א. איך מוצאים את נקודות המפגש?

פותרים $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$

Voir la réponse et le corrigé

נקודת מפגש: אותו $y$ לשני הגרפים.

פותרים $x^2 - 4x + 3 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

זה החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ( $x = 1$ , $x = 3$ ), לא המפגש עם $g$ .

\begin{aligned}x^2 - 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x(x - 3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודות $(0,\,3)$ ו- $(3,\,0)$ , כמו בגרף

ב. בקטע $0 < x < 3$ , מי למעלה?

הישר $g$

Voir la réponse et le corrigé

בדיקה ב- $x = 1$ : $f(1) = 0$ , $g(1) = 2$ . הישר גבוה יותר.

הפרבולה $f$

Voir la réponse et le corrigé

ב- $x = 1$ : $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , ו- $g(1) = 2$ . הפרבולה מתחת.

0 < x < 3: \ g(x) > f(x)

בין נקודות המפגש הישר מעל הפרבולה

ב. אז איפה $f(x) > g(x)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

מחוץ לקטע שבין המפגשים הפרבולה למעלה.

$x > 3$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

גם משמאל ל- $0$ הפרבולה למעלה: $f(-1) = 8 > g(-1) = 4$ .

x^2 - 3x > 0 \ \Rightarrow \ x < 0 \ \text{או} \ x > 3

אימות באלגברה: פתוחה כלפי מעלה, חיובית מחוץ לשורשים ✓

Voir la réponse et le corrigé

$x < 0$ או $x > 3$ . « $1 < x < 3$ » ערבבה את השורשים של $f$ עם נקודות המפגש. השאלה היא על $f$ מול $g$ , לא על $f$ מול ציר ה- $x$ .

Faire l'activité sur elev

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) = g(x)$ ? ומה זה אומר על מספר הפתרונות של המשוואה $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

רק ב- $x = 0$ ו- $x = 3$ : נקודות המפגש. למשוואה שני פתרונות, בדיוק כמספר נקודות המפגש בגרף.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

Activité interactive

פתרו: $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

x^4 - 8x^2 - 9 = 0

לחצו «להתחיל». הפעם אחד מערכי $t$ ייפסל.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 8t - 9 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $t$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 9)(t + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 9 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מכפלה $-9$ , סכום $-8$ .

פוסלים

\begin{aligned}t &= -1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי.

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 3: \ 81 - 72 - 9 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

גם $x = -3$ , כי כל החזקות זוגיות.

שני פתרונות ולא ארבעה: $t$ שלילי לא נותן אף $x$ . בגרף, הפונקציה $y = x^4 - 8x^2 - 9$ חותכת את ציר ה- $x$ בשתי נקודות בלבד.

Faire l'activité sur elev

למה $x = -3$ בהכרח פתרון, אם $x = 3$ פתרון?

Voir la réponse et le corrigé

כי במשוואה מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ , חזקות זוגיות: $(-3)^4 = 3^4$ ו- $(-3)^2 = 3^2$ . פתרונות של משוואה דו-ריבועית תמיד באים בזוגות $\pm$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$ . א. איזה ערך של $x$ אסור? ב. פתרו: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} = 3$ .

א. $x \neq$ ____ , ב. $x =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : א. $x \neq$ 2 , ב. $x =$ 4

Corrigé :

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2

תחום ההגדרה

\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}

צמצום

\begin{aligned}\frac{x + 2}{x - 2} &= 3 \ \Rightarrow \ x + 2 \\ &= 3x - 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

On résout

\frac{6}{2} = 3

בתחום, ובדיקה ✓

הצמצום לפני המשוואה חוסך משוואה ריבועית. ותחום ההגדרה נרשם לפניו: $x = 2$ אסור גם אחרי הצמצום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 2x - 3$ ו- $y = x - 5$ . רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה- $x$ הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 1 , -4 ) ו-( 2 , -3 )

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x - 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

\begin{aligned}(x - 1)(x - 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 \\ \qquad x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

בדיקה בפרבולה: $1 - 2 - 3 = -4$ ✓ ו- $4 - 4 - 3 = -3$ ✓. שתי נקודות מפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים

\begin{aligned}x + 5 &= 1 + 2\sqrt{x} + x \ \Rightarrow \ 4 \\ &= 2\sqrt{x}\end{aligned}

מעלים בריבוע ומצמצמים

\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הפעם פתרון יחיד: אחרי הצמצום נשאר $\sqrt{x} = 2$ ולא $x = 2\sqrt{x}$ . האיבר האמצעי $2\sqrt{x}$ הוא לב החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

f(x) = x² − 1 (כחול) ו-g(x) = 2x + 2 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 - 1$ ו- $g(x) = 2x + 2$ . עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < -1$ או $x > 1$
$x > 3$
$-1 < x < 3$
$x < -1$ או $x > 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x < -1$ או $x > 3$

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 1 &= 2x + 2 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות המפגש: $x = -1$ , $x = 3$

x < -1 \ \text{או} \ x > 3

הפרבולה מעל הישר מחוץ לקטע שבין המפגשים

\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -1 < g(0) \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בתוך הקטע: שם הישר למעלה ✓

הנכונה: $x < -1$ או $x > 3$ . « $x < -1$ או $x > 1$ » ערבבה את שורשי $f$ ( $\pm 1$ ) עם נקודות המפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

$x = \pm 2$
$x = \pm 4$
$x = \pm 2$ או $x = \pm \sqrt{2}$
$x = 4$ או $x = -2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x = \pm 2$

Corrigé :

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 2t - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 2) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

t = -2 \ \text{נפסל}

ריבוע אינו שלילי

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ . « $x = 4$ או $x = -2$ » עצרה ב- $t$ . « $\pm 2$ או $\pm \sqrt{2}$ » לקחה שורש גם מ- $t = -2$ כאילו היה $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

2 — מערכת של ישר ופרבולה

3 — משוואה עם שני שורשים

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

Exercices

La suite se pratique sur elev