Équations de types divers · Technique algébrique, équations et inéquations · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש משוואות שנראות מפחידות: $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1$ , $\sqrt{x+7} = x+1$ , $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . בכל אחת מהן צעד אחד הופך אותה למשוואה שכבר פתרתם. ובכל אחת מהן יש צעד אחרון שאסור לדלג עליו: הבדיקה.

משוואה עם שברים אלגבריים

ארבעה צעדים, תמיד באותו סדר: תחום הגדרה (המכנים אינם אפס), מכנה משותף, כפל של כל המשוואה במכנה המשותף, ופתרון. בסוף משווים לתחום: פתרון שמאפס מכנה נפסל.

Activité interactive

פתרו: $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x} = 1$

\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון אינו חישוב: הוא תחום ההגדרה.

Domaine de définition

x \neq 1 ,\quad x \neq 0

שני המכנים אסור שיתאפסו.

מכנה משותף

x(x - 1)

המכנים זרים, ולכן המכנה המשותף הוא המכפלה.

כופלים

x \cdot x - 2(x - 1) = x(x - 1)

כל איבר מוכפל במכנה המשותף, גם ה- $1$ באגף ימין.

פותחים

x^2 - 2x + 2 = x^2 - x

המינוס חל על כל $(x - 1)$ .

On résout

\begin{aligned}-2x + 2 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x^2$ מצטמצם: משוואה ממעלה ראשונה.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2 \in \text{תחום} \\ \qquad \frac{2}{1} - \frac{2}{2} &= 2 - 1 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בתחום, ומקיים.

הפתרון $x = 2$ . שימו לב לצעד «כופלים»: ה- $1$ באגף ימין הפך ל- $x(x-1)$ , לא נשאר $1$ .

Faire l'activité sur elev

פתרו: $\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}$

Voir la réponse et le corrigé

תחום: $x \neq 3$ . אותו מכנה, ולכן $x^2 = 9$ , כלומר $x = 3$ או $x = -3$ . $x = 3$ נפסל, הוא מחוץ לתחום. הפתרון היחיד: $x = -3$ .

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה שבה הנעלם מתחת לשורש. מבודדים את השורש באגף אחד, מעלים את שני האגפים בריבוע, ופותרים. ההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שלא היה: $(-2)^2 = 2^2$ , אבל $-2 \neq 2$ . לכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

Activité interactive

פתרו: $\sqrt{x + 7} = x + 1$

פתרו את המשוואה $\sqrt{x + 7} = x + 1$ . בכל שלב בחרו את הצעד הנכון.

$x = 2$

$x = 2$ או $x = -3$

$x = -3$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בריבוע

Voir la réponse et le corrigé

השורש לבד באגף שמאל, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בריבוע רק את אגף שמאל

Voir la réponse et le corrigé

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

מוציאים שורש מ- $x + 1$

Voir la réponse et le corrigé

זה מוסיף שורש במקום להוריד.

x + 7 = x^2 + 2x + 1

$(x + 1)^2$ לפי הזהות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 + x - 6 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

מעבירים $x + 7$ לאגף ימין: $2x - x = x$ , $1 - 7 = -6$ .

$x^2 + 3x - 6 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

$2x - x = x$ , לא $3x$ .

$x^2 + x + 8 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

$1 - 7 = -6$ , לא $+8$ .

\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים: $x = -3$ , $x = 2$

מה עכשיו?

בודקים את שני המועמדים במשוואה המקורית

Voir la réponse et le corrigé

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x = 2$ או $x = -3$

Voir la réponse et le corrigé

ההעלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

$x = -3$ נפסל

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון: $x = 2$ . בדיקה מהירה שחוסכת עבודה: אגף ימין $x + 1$ חייב להיות אי-שלילי כי שורש אינו שלילי, ולכן $x \geq -1$ ו- $x = -3$ לא יכול להתאים.

Faire l'activité sur elev

שני שורשים: מבודדים אחד, מעלים בריבוע, ושוב

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$ .

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע: $(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}4 &= 2\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x$ מצטמצם, נשאר שורש אחד

x = 4

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

למה חייבים לבדוק במשוואה אי-רציונלית, גם כשהחישוב נכון?

Voir la réponse et le corrigé

כי העלאה בריבוע היא פעולה שאינה הפיכה: $-3 = 3$ הוא שקר, אבל $(-3)^2 = 3^2$ אמת. המשוואה החדשה יכולה להכיל פתרון שהמקורית לא הכילה.

משוואה דו-ריבועית — הצבה

ב- $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ . מציבים $t = x^2$ , ואז $x^4 = t^2$ , והמשוואה נהיית ריבועית ב- $t$ . פותרים, וחוזרים ל- $x$ : כל $t$ חיובי נותן שני ערכי $x$ , ו- $t$ שלילי נפסל, כי ריבוע אינו שלילי.

Activité interactive

פתרו: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

לחצו «להתחיל». ההצבה הופכת מעלה רביעית למעלה שנייה.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

$x^4 = (x^2)^2 = t^2$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מכפלה $4$ , סכום $5$ .

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

כל $t$ חיובי נותן שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2: \ 16 - 20 + 4 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

ארבעה פתרונות: $-2, -1, 1, 2$ .

ארבעה פתרונות, וזה המקסימום למשוואה ממעלה רביעית. הטעות הנפוצה: לענות $x = 1$ או $x = 4$ , כלומר לשכוח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

Faire l'activité sur elev

פתרו: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

$t = x^2$ : $t^2 - 10t + 9 = 0$ , $(t - 1)(t - 9) = 0$ , $t = 1$ או $t = 9$ . חוזרים: $x = \pm 1$ או $x = \pm 3$ . ארבעה פתרונות.

שלוש משוואות, כלל אחד: הצעד שמשנה את המשוואה (כפל במכנה, העלאה בריבוע, הצבה) דורש בדיקה בסוף. כתבו את הבדיקה כשורה בפתרון, לא בראש.

שלוש הטעויות של הפרק.

\begin{aligned}\frac{x^2}{x - 3} &= \frac{9}{x - 3} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

x = -3

$x = 3$ מאפס את המכנה. תחום ההגדרה נכתב לפני הכפל במכנה, ונבדק אחרי.

\begin{aligned}\sqrt{x + 7} &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

x = 2

$x = -3$ נותן $2 = -2$ . בלי בדיקה, פתרון זר נכנס לתשובה.

\begin{aligned}t^2 - 5t + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm 1 \ \text{או} \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

$t$ אינו $x$ . חוזרים דרך $x^2 = t$ , ולכל $t$ חיובי שני ערכי $x$ .

Exercices

Exercice 1

פתרו: $\dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{10}{x + 2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x \neq 1 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה

5(x + 2) = 10(x - 1)

כופלים במכנה המשותף $(x-1)(x+2)$

\begin{aligned}5x + 10 &= 10x - 10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

On résout

\frac{5}{3} = \frac{10}{6}

בתחום, ובדיקה ✓

כשיש שבר מכל צד, הכפל במכנה המשותף הוא «כפל בהצלבה». ואחרי הפתרון משווים לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום ההגדרה של המשוואה $\dfrac{3}{x^2 - 4x} = \dfrac{1}{x}$ ?

$x \neq 0$
$x \neq 0$ וגם $x \neq 4$
$x \neq 4$
$x \neq 0$ וגם $x \neq -4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$

Corrigé :

x^2 - 4x = x(x - 4) \neq 0

המכנה הראשון: מפרקים

x \neq 0 ,\quad x \neq 4

שני הגורמים, וגם המכנה השני $x \neq 0$

הנכונה: $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$ . כדי לראות את $4$ חייבים לפרק את המכנה: $x^2 - 4x$ לא מגלה אותו במבט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו: $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$

$x = -4$
$x = 4$ או $x = -4$
$x = 4$
אין פתרון

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x = -4$

Corrigé :

x \neq 4

תחום ההגדרה

\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x = 4 \ \text{נפסל}

מחוץ לתחום

הנכונה: $x = -4$ . « $x = 4$ או $x = -4$ » היא תשובה בלי תחום הגדרה: ב- $x = 4$ המכנה הוא אפס, והשבר אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו: $\sqrt{2x + 3} = 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

2x + 3 = 25

מעלים בריבוע

\begin{aligned}2x &= 22 \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

On résout

\sqrt{25} = 5

בדיקה ✓

מי שכתב $2x + 3 = 5$ שכח להעלות בריבוע ומקבל $x = 1$ , ושם $\sqrt{5} \neq 5$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו: $\sqrt{x + 2} = x$

$x = 2$
$x = -1$
אין פתרון
$x = 2$ או $x = -1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x = 2$

Corrigé :

\begin{aligned}x + 2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x - 2)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x = 2$ . $x = -1$ נפסל: אגף ימין שלילי ואגף שמאל, שורש, אינו שלילי לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו: $\sqrt{3x - 2} = x - 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

3x - 2 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: $(x - 2)^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}x^2 - 7x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 6) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים $1$ ו- $6$

\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה: $x = 1$ נפסל

אגף ימין $x - 2$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 2$ . $x = 1$ נפסל עוד לפני ההצבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו: $\sqrt{x + 8} - \sqrt{x} = 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\sqrt{x + 8} = 2 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 8 = 4 + 4\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע

\begin{aligned}4 &= 4\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מצמצמים ומעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{1} &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה ✓

בהעלאה בריבוע של $2 + \sqrt{x}$ יש איבר אמצעי $4\sqrt{x}$ . מי ששכח אותו כתב $x + 8 = 4 + x$ ומצא סתירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

$x = \pm 4$ או $x = \pm 9$
$x = 4$ או $x = 9$
$x = \pm 2$ או $x = \pm 3$
$x = 2$ או $x = 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$

Corrigé :

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 13t + 36 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t - 4)(t - 9) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

מכפלה $36$ , סכום $13$

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$ . « $x = 4$ או $x = 9$ » עצרה ב- $t$ . « $x = 2$ או $x = 3$ » שכחה את הפתרונות השליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 3t - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

\begin{aligned}t &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad t \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x^2 = -1$ אין לה פתרון

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

מי שענה $4$ ספר גם את $t = -1$ . ריבוע אינו שלילי, ולכן $t$ שלילי לא נותן אף $x$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $\sqrt{x - 1} = -3$ אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\sqrt{x - 1} \geq 0

שורש ריבועי אינו שלילי לעולם

\begin{aligned}x - 1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \\ \qquad \sqrt{9} &= 3 \neq -3\end{aligned}

גם מי שהעלה בריבוע: הבדיקה פוסלת

הטענה נכונה. אפשר לראות את זה בלי חישוב: אגף שמאל אי-שלילי, אגף ימין שלילי. ההעלאה בריבוע מייצרת מועמד, והבדיקה פוסלת אותו.

Vérifier la réponse sur elev

משוואה עם שברים אלגבריים

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה דו-ריבועית — הצבה

Exercices

La suite se pratique sur elev