On résout ensemble · Lignes remarquables du triangle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: תיכונים במערכת צירים, חוצה זווית במשולש ישר זווית, התיכון ליתר, המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית, ואנך אמצעי כמקום גאומטרי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שלב של גאומטריה כותבים את שם המשפט: «לפי משפט חוצה הזווית», «התיכון ליתר שווה למחצית היתר». תשובה בלי נימוק מאבדת נקודות גם כשהמספר נכון.

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

A(2,\,6)

B(-4,\,0)

C(8,\,0)

D

אמצע

BC

E

אמצע

AC

Activité interactive

נתון משולש $A(2,\,6)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . א. מצאו את משוואת התיכון $AD$ לצלע $BC$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $BE$ לצלע $AC$ . ג. מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים. ד. חשבו את $AG$ ואת $GD$ ובדקו את היחס ביניהם.

A(2,\,6) ,\quad B(-4,\,0) ,\quad C(8,\,0)

לחצו «להתחיל». תיכון מתחיל באמצע צלע, ולכן קודם אמצעים.

א. אמצע BC

D\left(\frac{-4 + 8}{2},\ 0\right) = D(2,\,0)

נוסחת אמצע קטע.

א. התיכון AD

\begin{aligned}x_A &= x_D \\ &= 2 \ \Rightarrow \ AD: \ x \\ &= 2\end{aligned}

ל- $A$ ול- $D$ אותו שיעור $x$ : הישר אנכי, ואין לו שיפוע.

ב. אמצע AC

E\left(\frac{2 + 8}{2},\ \frac{6 + 0}{2}\right) = E(5,\,3)

נוסחת אמצע קטע.

ב. התיכון BE

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{3 - 0}{5 - (-4)} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}(x + 4)\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $B(-4,\,0)$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3} \cdot 6 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(2,\,2)\end{aligned}

מציבים $x = 2$ במשוואת $BE$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \qquad GD &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

על ישר אנכי המרחק הוא הפרש שיעורי ה- $y$ .

ד. היחס

\begin{aligned}\frac{AG}{GD} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ , החלק הגדול ליד הקודקוד ✓

המדידה מאשרת את המשפט, והמשפט מאשר את החישוב: אם היה יוצא יחס אחר, הייתה טעות בדרך.

Faire l'activité sur elev

מצאו את התיכון השלישי, $CF$ , ובדקו שהוא עובר דרך $G$ .

Voir la réponse et le corrigé

$F$ אמצע $AB$ : $F(-1,\,3)$ . $m_{CF} = \frac{3 - 0}{-1 - 8} = -\frac{1}{3}$ , ולכן $y = -\frac{1}{3}(x - 8)$ . ב- $x = 2$ : $y = -\frac{1}{3} \cdot (-6) = 2$ ✓. שלושת התיכונים נפגשים ב- $G(2,\,2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

Activité interactive

חוצה זווית, כשאחת הצלעות ביחס היא היתר

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). א. מצאו את $AC$ . ב. מצאו את $BD$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABD$ .

$BD = 4.5$ , $S_{ABD} = 20.25$

$BD = 6$ , $S_{ABD} = 27$

$BD = \frac{36}{7}$ , $S_{ABD} = \frac{162}{7}$

$BD = 7.5$ , $S_{ABD} = 33.75$

א. איך מוצאים את $AC$ ?

משפט פיתגורס: $AC^2 = 9^2 + 12^2$

Voir la réponse et le corrigé

$AC$ הוא היתר מול הזווית הישרה $B$ .

$AC = 9 + 12 = 21$

Voir la réponse et le corrigé

צלעות לא מתחברות. היתר קצר מסכום הניצבים.

\begin{aligned}AC &= \sqrt{81 + 144} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס.

ב. מהו היחס של משפט חוצה הזווית כאן?

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{15}$

Voir la réponse et le corrigé

הצלעות הכולאות את הזווית $A$ הן $AB$ ו- $AC$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

$BC$ היא הצלע שמחולקת, לא צלע ביחס. היחס הוא בין שתי הצלעות שיוצאות מ- $A$ .

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{9}{15} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית.

ב. איך עוברים מהיחס אל $BD$ ?

$BD = \frac{3}{3 + 5} \cdot 12$

Voir la réponse et le corrigé

$BC$ מחולק לשמונה חלקים, ו- $BD$ הוא שלושה מהם.

$BD = \frac{3}{5} \cdot 12$

Voir la réponse et le corrigé

«חלק על חלק» איננו «חלק על שלם». $\frac{3}{5}$ הוא היחס בין $BD$ ל- $DC$ , לא בין $BD$ ל- $BC$ .

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{8} \cdot 12 \\ &= 4.5 \\ \qquad DC &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: $\frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}$ ✓

ג. מהו הגובה של המשולש $ABD$ לבסיס $BD$ ?

$AB = 9$ , כי $\angle B = 90^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

$AB$ מאונך ל- $BC$ , ולכן גם ל- $BD$ .

$AD$

Voir la réponse et le corrigé

$AD$ הוא חוצה זווית, לא גובה. הוא לא מאונך ל- $BD$ .

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AB}{2} \\ &= \frac{4.5 \cdot 9}{2} \\ &= 20.25\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים.

Voir la réponse et le corrigé

$BD = 4.5$ ו- $S_{ABD} = 20.25$ . התשובה $BD = 7.5$ היא $DC$ ; $BD = 6$ מניחה שחוצה הזווית הוא תיכון; ו- $\frac{36}{7}$ באה מהיחס $\frac{9}{12}$ עם הניצב במקום היתר.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

Activité interactive

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 6.5$ ו- $AC = 5$ . א. מצאו את $AB$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}\angle C &= 90^\circ \\ \quad CM &= 6.5 \\ \quad AC &= 5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». תיכון ליתר פירושו: היתר ידוע.

א.

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

ב.

\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 - AC^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ .

ג.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים. $CM$ לא משתתף כאן.

שלושה משפטים בשלוש שורות: התיכון ליתר, פיתגורס, ושטח. כל שורה נושאת את שמה.

Faire l'activité sur elev

האם אפשר היה לחשב את השטח כ- $\frac{AB \cdot CM}{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $CM$ הוא תיכון, לא גובה: הוא לא מאונך ל- $AB$ . השטח בעזרת היתר דורש את הגובה ליתר, $CH$ , ואותו מוצאים דווקא מהשטח: $\frac{13 \cdot CH}{2} = 30$ , כלומר $CH = \frac{60}{13}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

Activité interactive

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 20$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 8$ . א. הוכיחו ש- $AD$ חוצה את הזווית $A$ . ב. נתון $\angle BAC \approx 81^\circ$ . מצאו את $\angle BAD$ .

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית כי $BD < DC$ , ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 81^\circ$

אי אפשר להוכיח בלי זוויות

מה מחשבים קודם?

$DC = BC - BD = 12$

Voir la réponse et le corrigé

ליחס $\frac{BD}{DC}$ צריך את שני הקטעים.

$\angle BAD$ מהשרטוט

Voir la réponse et le corrigé

שרטוט אינו הוכחה, ואף זווית לא נתונה.

\begin{aligned}DC &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}

הקטע השני.

אילו שני יחסים משווים?

$\frac{BD}{DC} = \frac{8}{12}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

Voir la réponse et le corrigé

כל קטע מול הצלע הצמודה לו.

$\frac{BD}{BC} = \frac{8}{20}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

Voir la réponse et le corrigé

המשפט מדבר על היחס בין שני הקטעים $BD$ ו- $DC$ , לא על חלק מהצלע השלמה.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3} \\ \qquad \frac{AB}{AC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני היחסים שווים.

מה הנימוק למסקנה?

Voir la réponse et le corrigé

מיחס שווה אל חציית זווית: זה הכיוון ההפוך.

משפט חוצה הזווית

Voir la réponse et le corrigé

המשפט הישיר מניח שהקטע חוצה זווית ומסיק את היחס. כאן מוכיחים את ההפך.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \ \Rightarrow \ \angle BAD \\ &= \angle DAC\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית.

ב. מהי $\angle BAD$ ?

$\frac{81^\circ}{2} = 40.5^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

$81^\circ \cdot \frac{2}{5} = 32.4^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

היחס $2:3$ הוא בין הקטעים על $BC$ , לא בין הזוויות. חוצה זווית תמיד מחלק את הזווית לשניים שווים.

\begin{aligned}\angle BAD &= \frac{81^\circ}{2} \\ &= 40.5^\circ\end{aligned}

הגדרת חוצה הזווית.

Voir la réponse et le corrigé

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$ . «כי $BD < DC$ » אינו נימוק: הרבה קטעים מחלקים את $BC$ לחלק קטן וגדול בלי לחצות את הזווית. רק השוויון בין היחסים מוכיח.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

Activité interactive

נתונות $A(1,\,1)$ ו- $B(5,\,3)$ . א. מצאו את אמצע $AB$ . ב. מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ . ג. כתבו את משוואת האנך האמצעי. ד. הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי ושיעור ה- $x$ שלה הוא $2$ . מצאו את $P$ והראו ש- $PA = PB$ .

A(1,\,1) ,\quad B(5,\,3)

לחצו «להתחיל». שני תנאים לאנך האמצעי: דרך האמצע, ומאונך.

א.

M\left(\frac{1 + 5}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = M(3,\,2)

נוסחת אמצע קטע.

ב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$ .

ג.

\begin{aligned}y - 2 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $M$ .

ד. P

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 + 8 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ P(2,\,4)\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי.

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \\ \qquad PB &= \sqrt{9 + 1} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

$PA = PB$ : נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע ✓

התוצאה $\sqrt{10}$ נשארת כשורש. תשובה מדויקת, לא $3.16$ .

Faire l'activité sur elev

נקודה $Q$ מקיימת $QA = QB$ ושיעור ה- $y$ שלה הוא $0$ . מצאו את $Q$ בלי לחשב מרחקים.

Voir la réponse et le corrigé

לפי המשפט ההפוך, $Q$ על האנך האמצעי $y = -2x + 8$ . מציבים $y = 0$ : $x = 4$ , ולכן $Q(4,\,0)$ . בדיקה: $QA = \sqrt{9 + 1}$ ו- $QB = \sqrt{1 + 9}$ , שווים ✓

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

המשפטים של הפרק, לניסוח הנימוקים. הקלידו תיכון, חוצה או אנך והרשימה תצטמצם.

Exercices

Exercice 1

נתון משולש $A(4,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים, ואת $AG$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$ , $AG =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $G($ 4 $,$ 2 $)$ , $AG =$ 4

Corrigé :

D(4,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x = 4

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי

E(6,\,3) \ \Rightarrow \ BE: \ y = \tfrac{1}{2}x

אמצע $AC$ ; ישר דרך הראשית

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(4,\,2)\end{aligned}

חיתוך

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad GD &= 2\end{aligned}

יחס $2:1$ ✓

$G(4,\,2)$ ו- $AG = 4$ . הבדיקה בסוף היא לא קישוט: יחס שאינו $2:1$ מגלה טעות בחישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 8$ ו- $BC = 6$ . $CD$ חוצה את הזווית $C$ ( $D$ על $AB$ ). מצאו את $DB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס: היתר

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{10}{6} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית מהקודקוד $C$ : הצלעות הכולאות הן $CA$ ו- $CB$

\begin{aligned}DB &= \frac{3}{5 + 3} \cdot 8 \\ &= 3\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$DB = 3$ , ו- $AD = 5$ . הפעם החוצה יוצא מ- $C$ , ולכן הצלע המחולקת היא $AB$ , והצלעות ביחס הן $CA$ ו- $CB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 12$ . מצאו את $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC^2 &= 20^2 - 12^2 \\ &= 400 - 144 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 16\end{aligned}

משפט פיתגורס

$BC = 16$ . מי שהציב $CM = 10$ כצלע בפיתגורס טעה: $CM$ אינו צלע של המשולש $ABC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ , ו- $D$ על $BC$ כך ש- $BD = 6$ ו- $DC = 9$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הקטעים

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הצלעות

\Rightarrow \ \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. שני היחסים שווים ל- $\frac{2}{3}$ . הנימוק הוא המשפט ההפוך, ולא המשפט הישיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות $A(2,\,3)$ ו- $B(6,\,5)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

M(4,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 3}{6 - 2} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 12\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$12$ . חיתוך עם ציר ה- $y$ : מציבים $x = 0$ . מי שקיבל $6$ השתמש בשיפוע $-\frac{1}{2}$ במקום $-2$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

Exercices

La suite se pratique sur elev