Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: כללי הגזירה, שיפוע המשיק בנקודה, ונקודות קיצון — מציאה וזיהוי מקסימום או מינימום.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

גזרו: f(x)=4x3f(x) = 4x^3

  1. 4x24x^2
  2. 12x212x^2
  3. 12x312x^3
  4. 7x27x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12x212x^2

Corrigé :

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

הכלל

4⋅3x2=12x24 \cdot 3x^2 = 12x^2

המעריך מכפיל את 4 ויורד באחד

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

עבור f(x)=x2+3x−10f(x) = x^2 + 3x - 10, חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3

גוזרים איבר-איבר, הקבוע נעלם

f′(1)=2+3=5\begin{aligned}f'(1) &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בנגזרת

שיפוע המשיק בנקודה x=1x = 1 הוא 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הנגזרת של f(x)=−3x+8f(x) = -3x + 8 שווה ל-−3-3 בכל נקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(−3x)′=−3  (8)′=0\begin{aligned}(-3x)' &= -3 \ \\ \ (8)' &= 0\end{aligned}

נגזרת של cxcx היא cc, ושל קבוע — אפס

נכון. לישר אותו שיפוע בכל מקום.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

גזרו: f(x)=x3−2x2+7x−1f(x) = x^3 - 2x^2 + 7x - 1

  1. 3x2−4x+63x^2 - 4x + 6
  2. x2−4x+7x^2 - 4x + 7
  3. 3x2−4x+73x^2 - 4x + 7
  4. 3x2−2x+73x^2 - 2x + 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3x2−4x+73x^2 - 4x + 7

Corrigé :

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

ראשון

(−2x2)′=−4x(-2x^2)' = -4x

שני

(7x)′=7  (−1)′=0\begin{aligned}(7x)' &= 7 \ \\ \ (-1)' &= 0\end{aligned}

שלישי ורביעי

הקבוע נעלם — הוא לא מוריד 1 מה-7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו שיפוע המשיק לגרף y=x3−5xy = x^3 - 5x בנקודה שבה x=2x = 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

y′=3x2−5y' = 3x^2 - 5

גוזרים

y′(2)=12−5=7\begin{aligned}y'(2) &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

שיפוע המשיק — ערך הנגזרת בנקודה

לא מציבים בפונקציה המקורית — היא נותנת גובה, לא שיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו ה-yy של נקודת הקיצון של f(x)=−x2+10x−3f(x) = -x^2 + 10x - 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22

Corrigé :

f′(x)=−2x+10f'(x) = -2x + 10

גוזרים

−2x+10=0⇒x=5\begin{aligned}-2x + 10 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

משווים לאפס

f(5)=−25+50−3=22\begin{aligned}f(5) &= -25 + 50 - 3 \\ &= 22\end{aligned}

מציבים במקורית

הנקודה (5, 22)(5,\, 22) היא מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי נקודת הקיצון של f(x)=2x2−8x+1f(x) = 2x^2 - 8x + 1, ומה סוגה?

  1. (2, 0)(2,\, 0) — מינימום
  2. (2, −7)(2,\, -7) — מקסימום
  3. (−2, 25)(-2,\, 25) — מינימום
  4. (2, −7)(2,\, -7) — מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (2, −7)(2,\, -7) — מינימום

Corrigé :

f′(x)=4x−8=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 8 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(2)=8−16+1=−7\begin{aligned}f(2) &= 8 - 16 + 1 \\ &= -7\end{aligned}

מציבים במקורית

f′(1)=−4<0  f′(3)=4>0\begin{aligned}f'(1) &= -4 < 0 \ \\ \ f'(3) &= 4 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס — מינימום

(2, 0)(2,\, 0) נותן את ערך הנגזרת במקום הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

באיזו נקודה (ערך xx) שיפוע המשיק לגרף y=x2−6x+1y = x^2 - 6x + 1 שווה ל-4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

y′=2x−6y' = 2x - 6

הנגזרת היא שיפוע המשיק

2x−6=42x - 6 = 4

משווים ל-4

x=5x = 5

On résout

בדיקה: 2⋅5−6=42 \cdot 5 - 6 = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x וקבעו את סוגן.

  1. מקסימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומינימום (2, −16)(2,\, -16)
  2. מינימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומקסימום (2, −16)(2,\, -16)
  3. מינימום (2, −16)(2,\, -16), ואין מקסימום
  4. מקסימום (−2, 0)(-2,\, 0) ומינימום (2, 0)(2,\, 0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומינימום (2, −16)(2,\, -16)

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(−2)=−8+24=16  f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16 \ \\ \ f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

מציבים במקורית

f′(−3)=15>0  f′(0)=−12<0  f′(3)=15>0\begin{aligned}f'(-3) &= 15 > 0 \ \\ \ f'(0) &= -12 < 0 \ \\ \ f'(3) &= 15 > 0\end{aligned}

סימן הנגזרת משני הצדדים

ב-x=−2x = -2 מפלוס למינוס — מקסימום. ב-x=2x = 2 ממינוס לפלוס — מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר שאפשר לקבל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

f(x)=x(20−x)=20x−x2\begin{aligned}f(x) &= x(20 - x) \\ &= 20x - x^2\end{aligned}

xx — מספר אחד, 20−x20 - x — השני

f′(x)=20−2x=0⇒x=10\begin{aligned}f'(x) &= 20 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(10)=10⋅10=100\begin{aligned}f(10) &= 10 \cdot 10 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים במקורית

הנגזרת עוברת מפלוס למינוס ב-x=10x = 10, ולכן זה מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe