Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה מלאה של פולינום, שני פרמטרים מנקודת קיצון, קריאת הגרף של f′f', וערכים גדול וקטן ביותר בקטע סגור. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: נגזרת מלאה, נקודות חשודות, סימנים משני הצדדים, גבהים מ-ff, וקצוות כשהתחום סגור.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר yy: (0,(0, -4 )) ; עם ציר xx: x=x= 1 (הקטן) ו-x=x= 4 (הגדול)

Corrigé :

f(0)=−4f(0) = -4

ציר yy

x3−6x2+9x−4=(x−1)2(x−4)=0 ⇒ x=1 x=4\begin{aligned}x^3 - 6x^2 + 9x - 4 &= (x-1)^2(x-4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

ציר xx; בדיקה: f(1)=1−6+9−4=0f(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 ✓, f(4)=64−96+36−4=0f(4) = 64 - 96 + 36 - 4 = 0 ✓

הגורם (x−1)2(x-1)^2 אומר שהגרף נוגע בציר ב-x=1x = 1 ולא חוצה אותו: זו תהיה גם נקודת קיצון בסעיף ב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (( 1 ,, 0 )) ; מינימום: (( 3 ,, -4 ))

Corrigé :

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=9>0f′(2)=−3<0f′(4)=9>0\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \\ \quad f'(2) &= -3 < 0 \\ \quad f'(4) &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(1)=0f(3)=27−54+27−4=−4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(3) &= 27 - 54 + 27 - 4 \\ &= -4\end{aligned}

הגבהים מ-ff

מקסימום (1, 0)(1,\,0), מינימום (3, −4)(3,\,-4). המקסימום יושב על ציר ה-xx, כמו שסעיף א רמז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ג. מהו תחום הירידה של הפונקציה?

  1. 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<41 < x < 4
  3. x<1x < 1 או x>3x > 3
  4. x<3x < 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1<x<31 < x < 3

Corrigé :

f′(x)<0 ⇔ 3(x−1)(x−3)<0 ⇔ 1<x<3f'(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ 3(x-1)(x-3) < 0 \ \Leftrightarrow \ 1 < x < 3

בין שתי הנקודות החשודות

הנכונה: 1<x<31 < x < 3. 1<x<41 < x < 4 ערבב את החיתוך עם ציר xx (x=4x = 4) עם הקיצון (x=3x = 3). תחומי עלייה וירידה נקבעים מ-f′f', לא מהשורשים של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ד. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yy?

  1. y=9x−4y = 9x - 4
  2. y=−3x−4y = -3x - 4
  3. y=−4x+9y = -4x + 9
  4. y=9x+4y = 9x + 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=9x−4y = 9x - 4

Corrigé :

x=0: f(0)=−4 ⇒ (0, −4)\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -4 \ \Rightarrow \ (0,\,-4)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(0)=9f'(0) = 9

השיפוע

y+4=9(x−0) ⇒ y=9x−4\begin{aligned}y + 4 &= 9(x - 0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 9x - 4\end{aligned}

משוואת המשיק

הנכונה: y=9x−4y = 9x - 4. כשנקודת ההשקה על ציר ה-yy, המספר החופשי של המשיק הוא הגובה שלה. «y=−3x−4y = -3x - 4» לקח את f′(2)f'(2) במקום f′(0)f'(0).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2. לפונקציה נקודת קיצון ב-(2, 4)(2,\,4). א. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= -1 , b=b= 3

Corrigé :

f′(x)=3ax2+2bx ⇒ f′(2)=12a+4b=0 ⇒ b=−3a\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + 2bx \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12a + 4b \\ &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3a\end{aligned}

קיצון ב-x=2x = 2

f(2)=8a+4b=4\begin{aligned}f(2) &= 8a + 4b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה על הגרף

8a−12a=4 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}8a - 12a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(x)=−x3+3x2: f′(2)=−12+12=0 f(2)=−8+12=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x^2: \ f'(2) \\ &= -12 + 12 \\ &= 0 \\ \ f(2) &= -8 + 12 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

נקודת קיצון עם שני שיעורים היא שני תנאים: f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f(2)=4f(2) = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2 עם aa ו-bb שמצאתם, כלומר f(x)=−x3+3x2f(x) = -x^3 + 3x^2. ב. מהי נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה, ומה סוגה?

  1. (0, 0)(0,\,0) — מינימום
  2. (0, 0)(0,\,0) — מקסימום
  3. אין נקודת קיצון שנייה
  4. (−2, 20)(-2,\,20) — מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (0, 0)(0,\,0) — מינימום

Corrigé :

f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 6x \\ &= -3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−1)=−9<0f′(1)=3>0\begin{aligned}f'(-1) &= -9 < 0 \\ \quad f'(1) &= 3 > 0\end{aligned}

סביב 00: ממינוס לפלוס

f(0)=0f(0) = 0

מינימום (0, 0)(0,\,0)

הנכונה: (0, 0)(0,\,0) — מינימום. ואז (2, 4)(2,\,4) הוא מקסימום: f′(3)=−9<0f'(3) = -9 < 0. הנקודה (−2, 20)(-2,\,20) על הגרף, אבל f′(−2)=−24≠0f'(-2) = -24 \ne 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1. א. מהם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של ff, ומה סוגן?

  1. מקסימום ב-x=−3x = -3 בלבד
  2. מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1
  3. מינימום ב-x=−1x = -1
  4. מינימום ב-x=−3x = -3 ומקסימום ב-x=1x = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1

Corrigé :

x<−3: f′>0−3<x<1: f′<0x>1: f′>0x < -3: \ f' > 0 \qquad -3 < x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

הפרבולה פונה כלפי מעלה: מעל, מתחת, מעל

x=−3: +→− ⇒ max⁡x=1: −→+ ⇒ min⁡\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \qquad x \\ &= 1: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min\end{aligned}

לפי החלפת הסימן

הנכונה: מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1. «מינימום ב-x=−1x = -1» קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1). ב. בתחום x>1x > 1 הפונקציה ff:

  1. עולה
  2. עולה ואז יורדת
  3. אי אפשר לדעת בלי הגרף של ff
  4. יורדת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A עולה

Corrigé :

x>1: f′(x)>0x > 1: \ f'(x) > 0

הפרבולה מעל הציר מימין לשורש 11

f′>0 ⇒ f עולהf' > 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{עולה}

בכל התחום x>1x > 1

הנכונה: עולה. הגרף של f′f' מספיק לגמרי: הסימן שלו הוא כל מה שצריך לדעת על הכיוון של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1, וקודקודה ב-x=−1x = -1). ג. הוכיחו או הפריכו: ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=−1x = -1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(−1)=−4≠0f'(-1) = -4 \ne 0

בקודקוד f′f' שלילית, לא אפס

−3<x<1: f′<0-3 < x < 1: \ f' < 0

ff יורדת לאורך כל הקטע, גם ב-x=−1x = -1

הטענה לא נכונה. ב-x=−1x = -1 הנגזרת בשיא השליליות שלה: ff יורדת שם הכי מהר, ולא מתהפכת. קיצון של ff נמצא רק איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

הערך הגדול ביותר: ____ , מתקבל ב-x=x= ____ ; הערך הקטן ביותר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערך הגדול ביותר: 17 , מתקבל ב-x=x= 4 ; הערך הקטן ביותר: -3

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שתי חשודות, שתיהן בקטע

f(0)=1f(2)=8−12+1=−3\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 1 \\ &= -3\end{aligned}

בחשודות

f(−1)=−1−3+1=−3f(4)=64−48+1=17\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 1 \\ &= -3 \\ \quad f(4) &= 64 - 48 + 1 \\ &= 17\end{aligned}

בקצוות

max⁡=17 (x=4)min⁡=−3 (x=−1, x=2)\begin{aligned}\max &= 17 \ (x = 4) \qquad \min \\ &= -3 \ (x = -1 ,\ x = 2)\end{aligned}

הגדול ביותר בקצה; הקטן ביותר מתקבל פעמיים

הערך הקטן ביותר, −3-3, מתקבל גם בקצה x=−1x = -1 וגם במינימום הפנימי x=2x = 2. זה מותר: הערך אחד, והמקומות שניים. והמקסימום המקומי (0, 1)(0,\,1) אינו הגדול ביותר בקטע.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe