Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמחברות שני רעיונות: משיק לפונקציה מורכבת, משיקים אופקיים, שלושה פרמטרים, קריאת סקיצה, קטע סגור, שגיאה בחקירה, ושטח שהמשיק יוצר עם הצירים.

כל תנאי בשאלה הוא משוואה אחת. ספרו את הנעלמים, ספרו את התנאים, ורק אז התחילו לפתור.

Exercices

Exercice 1

המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1 חותך את ציר ה-yy. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

f(1)=13=1 ⇒ (1, 1)\begin{aligned}f(1) &= 1^3 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ (1,\,1)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2 ⇒ f′(1)=6\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-1)^2 \cdot 2 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע, בשני שלבים

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0 ⇒ y=−5\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy

בלי הכפל ב-22 השיפוע יוצא 33, המשיק y=3x−2y = 3x - 2, והחיתוך −2-2. שלב אחד חסר משנה את כל התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באילו נקודות המשיק לגרף f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 הוא אופקי?

  1. (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)
  2. (1, 0)(1,\,0)
  3. (0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)
  4. (0, 2)(0,\,2) בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

f(0)=2f(2)=8−12+2=−2\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 2 \\ &= -2\end{aligned}

הגבהים מ-ff

הנכונה: (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2). «(0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)» כתב את ערכי f′f' במקום הגבהים. «(1, 0)(1,\,0)» הוא נקודה על הגרף, אבל שם f′(1)=−3f'(1) = -3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 55, ו-f(1)=3f(1) = 3. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2ax+b ⇒ 2a+b=5\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ 2a + b \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע ב-x=1x = 1

f(1)=a+b=3\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ב-x=1x = 1

(2a+b)−(a+b)=5−3 ⇒ a=2b=1\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 5 - 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2 \\ \quad b &= 1\end{aligned}

מחסרים

f(x)=2x2+x: f′(1)=5 f(1)=3 ✓\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 + x: \ f'(1) \\ &= 5 \\ \ f(1) &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

תנאי אחד על f′f' ותנאי אחד על ff, מאותה נקודה. אין לבלבל ביניהם: f′(1)=5f'(1) = 5 אינו אומר f(1)=5f(1) = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−2x = -2 וב-x=2x = 2, והגרף עובר בנקודה (0, 5)(0,\,5). מצאו את aa, bb ו-cc.

a=a= ____ , b=b= ____ , c=c= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a= 0 , b=b= -12 , c=c= 5

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−2)=12−4a+b=0f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(-2) &= 12 - 4a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(2) &= 12 + 4a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני קיצונים

8a=0 ⇒ a=0b=−12\begin{aligned}8a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 0 \\ \quad b &= -12\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f(0)=c=5\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה (0, 5)(0,\,5)

f(x)=x3−12x+5: f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2) ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 12x + 5: \ f'(x) \\ &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x-2)(x+2) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

a=0a = 0 היא תשובה לגיטימית: קיצונים סימטריים סביב 00 אומרים שאין איבר x2x^2. שלושה נעלמים, שלושה תנאים, ואף אחד לא מיותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סקיצה של f
-4-3-2-10123-15-10-5510xy

בשרטוט נתונה סקיצה של ff, עם נקודת מינימום ב-x=−2x = -2 ונקודת מקסימום ב-x=1x = 1. מה נכון לגבי f′f'?

  1. f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx
  2. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1
  3. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x>1x > 1
  4. f′(−2)>0f'(-2) > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1

Corrigé :

−2<x<1: f עולה ⇒ f′>0-2 < x < 1: \ f \ \text{עולה} \ \Rightarrow \ f' > 0

מהמינימום למקסימום

x>1: f יורדת ⇒ f′<0x > 1: \ f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f' < 0

אחרי המקסימום

f′(−2)=0f'(-2) = 0

בקיצון המשיק אופקי

הנכונה: f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1. f′f' חיובית איפה ש-ff עולה, ובנקודות הקיצון עצמן היא אפס, לא חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. א. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

f′(x)=4x3−16x=4x(x−2)(x+2)=0 ⇒ x=0 x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 - 16x \\ &= 4x(x-2)(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות; x=−2x = -2 מחוץ לקטע

f(0)=0f(2)=16−32=−16\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 16 - 32 \\ &= -16\end{aligned}

החשודות שבקטע

f(−1)=1−8=−7f(3)=81−72=9\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 8 \\ &= -7 \\ \quad f(3) &= 81 - 72 \\ &= 9\end{aligned}

הקצוות

min⁡=−16 (x=2)\min = -16 \ (x = 2)

בנקודה פנימית

ארבעה מועמדים: שתי חשודות בקטע ושני קצוות. x=−2x = -2 הייתה נותנת גם −16-16, אבל היא מחוץ לקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. ב. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

f(0)=0f(2)=−16f(−1)=−7f(3)=9\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(-1) &= -7 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

אותם ארבעה מועמדים

max⁡=9 (x=3)\max = 9 \ (x = 3)

בקצה הימני

x=0x = 0 הוא מקסימום מקומי (f′f' עוברת מפלוס למינוס), אבל הערך 00 שם קטן מ-99 בקצה. מקומי ומוחלט הם שני דברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x אין נקודות קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1

גוזרים

3x2+1≥1>03x^2 + 1 \ge 1 > 0

הנגזרת חיובית לכל xx

הטענה נכונה. ל-f′(x)=0f'(x) = 0 אין פתרון, ולכן אין אף נקודה חשודה. ff עולה בכל התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מוצאים את נקודות הקיצון של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
3x2−12=0⇒x=2\begin{aligned}3x^2 - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3x2−12=0⇒x=23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 → 3x2−12=0⇒x=2 או x=−23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 \ \text{או} \ x = -2

Corrigé :

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

למשוואה ריבועית שני פתרונות

f(−2)=−8+24=16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16\end{aligned}

הקיצון שאבד: מקסימום (−2, 16)(-2,\,16)

השורה השנייה איבדה את x=−2x = -2, ואיתו את המקסימום. x2=4x^2 = 4 הוא שני מספרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המשיק לגרף f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בנקודה שבה x=3x = 3 יוצר עם שני הצירים משולש. מהו שטח המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(3)=9−12+7=4f′(3)=2⋅3−4=2\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 7 \\ &= 4 \\ \quad f'(3) &= 2 \cdot 3 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−4=2(x−3) ⇒ y=2x−2\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 2\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−2y=0⇒x=1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -2 \qquad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם שני הצירים

S=1⋅22=1\begin{aligned}S &= \frac{1 \cdot 2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

ניצבים 11 ו-22

אורכי הניצבים הם מרחקים, ולכן חיוביים: 22 ולא −2-2. אחרי משוואת המשיק, השאלה היא גאומטריה אנליטית רגילה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe