Série 3 — exigeant

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שלושה-ארבעה צעדים: משיק ששיפועו נתון, משיק וחיתוכו עם ציר ה-yy, מכפלה שכתובה כגורמים, פרמטר, קריאת הגרף של f′f', וערכי קיצון בקטע סגור.

כשנותנים שיפוע, כותבים f′(x)=mf'(x) = m ופותרים ל-xx. כשנותנים נקודה, מציבים ב-ff. וכשהתחום סגור, הקצוות תמיד ברשימה.

Exercices

Exercice 1

באיזו נקודה (שיעור xx) שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x שווה ל-66?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2

הנגזרת היא השיפוע

2x+2=6 ⇒ x=2\begin{aligned}2x + 2 &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משווים ל-66

הפעם השיפוע נתון וה-xx מבוקש: משווים את הנגזרת ל-66, לא את הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המשיק לגרף f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x בנקודה שבה x=1x = 1 חותך את ציר ה-yy. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f(1)=1−4=−3 ⇒ (1, −3)\begin{aligned}f(1) &= 1 - 4 \\ &= -3 \ \Rightarrow \ (1,\,-3)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(x)=3x2−4 ⇒ f′(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 4 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

y+3=−(x−1) ⇒ y=−x−2\begin{aligned}y + 3 &= -(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x - 2\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0 ⇒ y=−2\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy

אחרי שיש משוואת ישר, ממשיכים כמו בגאומטריה אנליטית. השיפוע שלילי: המשיק יורד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גזרו: f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2 (x + 1)

  1. (x−2)2+2(x−2)(x - 2)^2 + 2(x - 2)
  2. 2(x−2)(x+1)2(x - 2)(x + 1)
  3. 3x(x−2)3x(x - 2)
  4. 2(x−2)2(x - 2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3x(x−2)3x(x - 2)

Corrigé :

f′=2(x−2)⋅(x+1)+(x−2)2⋅1f' = 2(x-2) \cdot (x+1) + (x-2)^2 \cdot 1

כלל המכפלה, עם ((x−2)2)′=2(x−2)\big((x-2)^2\big)' = 2(x-2)

=(x−2)(2(x+1)+(x−2))=(x−2)(3x)= (x-2)\big(2(x+1) + (x-2)\big) = (x-2)(3x)

מוציאים גורם משותף (x−2)(x-2)

f(x)=x3−3x2+4 ⇒ f′(x)=3x2−6x=3x(x−2) ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 3x^2 + 4 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 3x(x−2)3x(x - 2). 2(x−2)(x+1)2(x-2)(x+1) שוכח את האיבר השני של הכלל; 2(x−2)2(x-2) גזר רק גורם אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2 (x + 1), ונגזרתה f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x - 2). מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון.

מקסימום ב-x=x= ____ ; מינימום ב-x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום ב-x=x= 0 ; מינימום ב-x=x= 2

Corrigé :

3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−1)=9>0f′(1)=−3<0f′(3)=9>0\begin{aligned}f'(-1) &= 9 > 0 \\ \quad f'(1) &= -3 < 0 \\ \quad f'(3) &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(0)=4f(2)=0\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \quad f(2) &= 0\end{aligned}

מקסימום (0, 4)(0,\,4), מינימום (2, 0)(2,\,0)

כשהנגזרת כבר מפורקת לגורמים, הנקודות החשודות נקראות ישירות. הסוג עדיין דורש את הסימנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3+ax2−15xf(x) = x^3 + ax^2 - 15x. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x = 1. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=3x2+2ax−15f'(x) = 3x^2 + 2ax - 15

גוזרים

f′(1)=3+2a−15=0 ⇒ a=6\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a - 15 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

קיצון ב-x=1x = 1

f′(x)=3x2+12x−15=3(x+5)(x−1) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 12x - 15 \\ &= 3(x+5)(x-1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: הקיצון השני ב-x=−5x = -5

התנאי הולך ל-f′f'. מי שהציב f(1)=0f(1) = 0 קיבל 1+a−15=01 + a - 15 = 0, כלומר a=14a = 14, וזה חיתוך עם ציר xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x4f(x) = x^4 יש נקודת מינימום ב-(0, 0)(0,\,0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=4x3=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(−1)=−4<0f′(1)=4>0\begin{aligned}f'(-1) &= -4 < 0 \\ \quad f'(1) &= 4 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

הטענה נכונה. בניגוד ל-x3x^3, כאן הסימן מתחלף, ולכן (0, 0)(0,\,0) הוא מינימום. אותה נקודה חשודה, שתי תשובות שונות: רק הטבלה מכריעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של f′
-3-2-1012345-5-4-3-2-112345f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−1x = -1 וב-x=3x = 3. באיזה xx יש ל-ff נקודת מינימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x<−1: f′<0−1<x<3: f′>0x>3: f′<0x < -1: \ f' < 0 \qquad -1 < x < 3: \ f' > 0 \qquad x > 3: \ f' < 0

הפרבולה מתחת, מעל, מתחת

x=−1: −→+ ⇒ min⁡x = -1: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min

מינימום

x=3: +→− ⇒ max⁡x = 3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

מקסימום

הפרבולה של f′f' פונה כלפי מטה, ולכן שלילית מחוץ לשורשים. מי שענה x=1x = 1 קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא קיצון של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 מקביל לישר y=4x+1y = 4x + 1. מהי משוואת המשיק?

  1. y=4x−8y = 4x - 8
  2. y=4x−4y = 4x - 4
  3. y=4x+4y = 4x + 4
  4. y=4x+1y = 4x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=4x−4y = 4x - 4

Corrigé :

m=4 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}m &= 4 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקבילים: אותו שיפוע; פותרים f′(x)=4f'(x) = 4

f(2)=4 ⇒ (2, 4)f(2) = 4 \ \Rightarrow \ (2,\,4)

נקודת ההשקה

y−4=4(x−2) ⇒ y=4x−4\begin{aligned}y - 4 &= 4(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x - 4\end{aligned}

משוואת המשיק

הנכונה: y=4x−4y = 4x - 4. «y=4x+1y = 4x + 1» הוא הישר הנתון עצמו, והוא לא נוגע בפרבולה. הפעם השיפוע נתון, ונקודת ההשקה היא מה שמחפשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+1f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 בקטע −2≤x≤2-2 \le x \le 2. א. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות; x=3x = 3 מחוץ לקטע

f(−1)=−1−3+9+1=6\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 1 \\ &= 6\end{aligned}

בנקודה החשודה שבקטע

f(−2)=−8−12+18+1=−1f(2)=8−12−18+1=−21\begin{aligned}f(-2) &= -8 - 12 + 18 + 1 \\ &= -1 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 - 18 + 1 \\ &= -21\end{aligned}

הקצוות

max⁡=6 (x=−1)\max = 6 \ (x = -1)

בנקודה פנימית

x=3x = 3 היא נקודת מינימום של ff, אבל היא מחוץ לקטע, ולכן לא משתתפת. משווים רק את מה שבתוך הקטע ואת הקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+1f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 בקטע −2≤x≤2-2 \le x \le 2. ב. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -21

Corrigé :

f(−1)=6f(−2)=−1f(2)=−21\begin{aligned}f(-1) &= 6 \\ \quad f(-2) &= -1 \\ \quad f(2) &= -21\end{aligned}

אותה רשימה: חשודה בקטע ושני קצוות

min⁡=−21 (x=2)\min = -21 \ (x = 2)

בקצה הימני

ff יורדת מ-x=−1x = -1 עד x=3x = 3, ולכן בתוך הקטע היא יורדת עד הקצה x=2x = 2. המינימום «האמיתי» ב-x=3x = 3 נמצא מחוץ לקטע, והקצה תופס את מקומו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe