Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: כלל המכפלה ופונקציה מורכבת, משוואת משיק, נקודות קיצון של פולינום ממעלה שלישית, פרמטר אחד, וקריאת הגרף של f′f'.

בכל נקודת קיצון: הנגזרת נותנת את ה-xx, הפונקציה נותנת את ה-yy, וסימני הנגזרת משני הצדדים נותנים את הסוג.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=(x2+2)(x−1)f(x) = (x^2 + 2)(x - 1). חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=2x(x−1)+(x2+2)⋅1f'(x) = 2x(x-1) + (x^2+2) \cdot 1

כלל המכפלה

f′(2)=4⋅1+6=10\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot 1 + 6 \\ &= 10\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(x)=x3−x2+2x−2 ⇒ f′(2)=12−4+2=10 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x^2 + 2x - 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 - 4 + 2 \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מכפלת הנגזרות, 2x⋅1=42x \cdot 1 = 4, היא הטעות הצפויה. הכלל הוא סכום של שתי מכפלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x2−3)3f(x) = (x^2 - 3)^3. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

f′(x)=3(x2−3)2⋅2xf'(x) = 3(x^2-3)^2 \cdot 2x

החיצונית, ואז הפנימית

f′(2)=3⋅12⋅4=12\begin{aligned}f'(2) &= 3 \cdot 1^2 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

4−3=14 - 3 = 1, ו-2⋅2=42 \cdot 2 = 4

בלי הכפל ב-2x2x מקבלים 33. הפנימית ריבועית, והנגזרת שלה 2x2x תלויה ב-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=x+4y = x + 4
  2. y=x−2y = x - 2
  3. y=x−4y = x - 4
  4. y=−2x+2y = -2x + 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=x−4y = x - 4

Corrigé :

f(2)=4−6=−2\begin{aligned}f(2) &= 4 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההשקה (2, −2)(2,\,-2)

f′(x)=2x−3 ⇒ f′(2)=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 3 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y+2=1⋅(x−2) ⇒ y=x−4\begin{aligned}y + 2 &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 4\end{aligned}

שיפוע ונקודה

הנכונה: y=x−4y = x - 4. בדיקה: ב-x=2x = 2 הישר נותן −2-2 ✓. «y=x−2y = x - 2» כתב את הגובה במקום המספר החופשי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הערך המינימלי של f(x)=x2−6x+2f(x) = x^2 - 6x + 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

f′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3)=9−18+2=−7\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 2 \\ &= -7\end{aligned}

הערך מ-ff

f′(0)=−6<0f′(4)=2>0\begin{aligned}f'(0) &= -6 < 0 \\ \quad f'(4) &= 2 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס: מינימום

שואלים על הערך, כלומר ה-yy. 33 הוא ה-xx של המינימום, לא הערך שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. מצאו את נקודת המקסימום.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= -2 , y=y= 16

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−3)=15>0f′(0)=−12<0\begin{aligned}f'(-3) &= 15 > 0 \\ \quad f'(0) &= -12 < 0\end{aligned}

סביב −2-2: מפלוס למינוס, מקסימום

f(−2)=−8+24=16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

המקסימום ב-x=−2x = -2, לא ב-x=2x = 2: שם f′f' עוברת ממינוס לפלוס, וזה מינימום (2, −16)(2,\,-16).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −1<x<1-1 < x < 1
  • 2<x<42 < x < 4
  • x<−1x < -1
  • x>1x > 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<−1x < -1 — ff עולה · −1<x<1-1 < x < 1 — ff יורדת · x>1x > 1 — ff עולה · 2<x<42 < x < 4 — ff עולה

Corrigé :

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

נקודות חשודות ±1\pm 1

f′(−2)=9>0f′(0)=−3<0f′(2)=9>0\begin{aligned}f'(-2) &= 9 > 0 \\ \quad f'(0) &= -3 < 0 \\ \quad f'(2) &= 9 > 0\end{aligned}

עולה, יורדת, עולה

2<x<42 < x < 4 נמצא בתוך x>1x > 1, ולכן ff עולה שם. הסימן של f′f' קבוע בכל קטע בין שתי נקודות חשודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2+axf(x) = x^2 + ax. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=−2x = -2. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים

f′(−2)=−4+a=0 ⇒ a=4\begin{aligned}f'(-2) &= -4 + a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

בדיקה: f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x, קודקוד ב-x=−42=−2x = -\frac{4}{2} = -2 ✓. מי שהציב ב-ff קיבל 4−2a=04 - 2a = 0, כלומר a=2a = 2, וזה חיתוך עם ציר xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x אי-זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= -x^3 + x \\ &= -(x^3 - x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

כל איבר מחליף סימן

הטענה נכונה. חזקות אי-זוגיות בלבד, והגרף סימטרי ביחס לראשית: f(1)=0f(1) = 0 ו-f(−1)=0f(-1) = 0, f(2)=6f(2) = 6 ו-f(−2)=−6f(-2) = -6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f′
-4-3-2-101234-5-4-3-2-1123456f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−2x = -2 וב-x=2x = 2. מה נכון לגבי ff?

  1. מינימום ב-x=0x = 0
  2. מינימום ב-x=−2x = -2 ומקסימום ב-x=2x = 2
  3. ל-ff אין נקודות קיצון
  4. מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2

Corrigé :

x<−2: f′>0−2<x<2: f′<0x>2: f′>0x < -2: \ f' > 0 \qquad -2 < x < 2: \ f' < 0 \qquad x > 2: \ f' > 0

מעל, מתחת, מעל

x=−2: +→− ⇒ max⁡x=2: −→+ ⇒ min⁡\begin{aligned}x &= -2: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \qquad x \\ &= 2: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min\end{aligned}

לפי החלפת הסימן

הנכונה: מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2. «מינימום ב-x=0x = 0» קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא קיצון של ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x בקטע 0≤x≤40 \le x \le 4. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=2x−2=0 ⇒ x=1f(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \quad f(1) &= -1\end{aligned}

נקודה חשודה: מינימום

f(0)=0f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(4) &= 16 - 8 \\ &= 8\end{aligned}

הקצוות

max⁡=8 (x=4)\max = 8 \ (x = 4)

בקצה הימני

הנגזרת מוצאת רק את המינימום. הערך הגדול ביותר בקטע סגור נמצא בקצה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe