Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שבהן הגרף הוא הנתון: לקרוא משוואה מפרבולה מוזזת, לספור פתרונות של ∣g(x)∣=k|g(x)| = k, שורש משוקף, וקיצון אחרי מתיחה.

מול גרף, קודם מסמנים את הנקודה המיוחדת: קודקוד, נקודת התחלה או פסגה של הקיפול. ממנה יוצאים כל המספרים.

Exercices

Exercice 1

הגרף של g
(1,4)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy

הגרף שלמטה הוא פרבולה שקודקודה (1, 4)(1,\,4), והיא מתקבלת מ-y=x2y = x^2 בהזזה ובשיקוף. מהי משוואת gg?

  1. g(x)=−(x+1)2+4g(x) = -(x + 1)^2 + 4
  2. g(x)=(x−1)2+4g(x) = (x - 1)^2 + 4
  3. g(x)=−(x−1)2−4g(x) = -(x - 1)^2 - 4
  4. g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4

Corrigé :

(1, 4) ⇒ p=1 k=4\begin{aligned}(1,\,4) \ \Rightarrow \ p &= 1 \\ \ k &= 4\end{aligned}

הקודקוד: 1 ימינה, 4 למעלה

∩ ⇒ a=−1\cap \ \Rightarrow \ a = -1

הזרועות כלפי מטה: שיקוף בציר ה-xx, מינוס לפני הסוגריים

g(0)=−1+4=3\begin{aligned}g(0) &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בנקודה נוספת

הנכונה: −(x−1)2+4-(x - 1)^2 + 4. המינוס לפני הסוגריים הופך את הפרבולה; (x−1)(x - 1) מזיז ימינה; +4+4 מעלה. שלוש קריאות, שלושה מספרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה g(x)=4−x+1g(x) = \sqrt{4 - x} + 1. מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≤x \leq 4 ; y=y = 1

Corrigé :

4−x≥0 ⇒ x≤44 - x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני xx: הגרף פונה שמאלה

g(4)=0+1=1\begin{aligned}g(4) &= \sqrt{0} + 1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההתחלה (4, 1)(4,\,1)

4−x=−(x−4)\sqrt{4 - x} = \sqrt{-(x - 4)}: שיקוף של x\sqrt{x} בציר ה-yy, ואז 4 ימינה ו-1 למעלה. הגרף מתחיל ב-(4, 1)(4,\,1) ופונה שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

h(x) = |x² − 4|
(-2,0)(2,0)(0,4)-4-3-2-101234-112345678xy

נתונה h(x)=∣x2−4∣h(x) = |x^2 - 4| (הגרף למטה). לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2−4: min⁡(0, −4)x^2 - 4: \ \min (0,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(0, 4)h: \ \max (0,\,4)

אחרי הקיפול: פסגה בגובה 4

k=4k = 4

הישר שנוגע בפסגה חותך 3 פעמים

k=4k = 4: הערך המוחלט של המינימום. מתחתיו 4 פתרונות, מעליו 2, ובדיוק שם 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

איך מתקבל הגרף של g(x)=−x−3g(x) = -\sqrt{x - 3} מהגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}?

  1. הזזה של 3 שמאלה ושיקוף בציר ה-xx
  2. הזזה של 3 למטה ושיקוף בציר ה-xx
  3. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-yy
  4. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx

Corrigé :

x−3 ⇒ 3 ימינהx - 3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

בתוך השורש

−f ⇒ שיקוף-f \ \Rightarrow \ \text{שיקוף}

מינוס מחוץ לשורש: בציר ה-xx

(3, 0), (4, −1), (7, −2)(3,\,0) ,\ (4,\,-1) ,\ (7,\,-2)

נקודות על gg: מתחילה ב-(3, 0)(3,\,0) ויורדת

הנכונה: 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx. הגרף מתחיל ב-(3, 0)(3,\,0) ופונה ימינה ולמטה. שיקוף בציר ה-yy היה מכניס את המינוס לתוך השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 3)(1,\,3) ונקודת מינימום (4, −2)(4,\,-2). מצאו את נקודת המינימום של h(x)=2f(x)h(x) = 2f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 4 , y=y = -4

Corrigé :

(4, 2⋅(−2))=(4, −4)(4,\,2 \cdot (-2)) = (4,\,-4)

מתיחה פי 2: ה-yy מוכפל

a=2>0a = 2 > 0

הסוג נשמר

מינימום (4, −4)(4,\,-4), ומקסימום (1, 6)(1,\,6). מתיחה מרחיקה את הגרף מציר ה-xx לשני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x4−4x2f(x) = x^4 - 4x^2. חשבו את f(−3)f(-3).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

(−3)4=81(−3)2=9\begin{aligned}(-3)^4 &= 81 \\ \quad (-3)^2 &= 9\end{aligned}

מעריכים זוגיים

81−36=4581 - 36 = 45

On remplace (מציבים)

4545. ff זוגית, ולכן f(−3)=f(3)f(-3) = f(3): המינוס לא משפיע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 היא זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(−x)=(−x−1)2=(x+1)2≠(x−1)2\begin{aligned}f(-x) &= (-x - 1)^2 \\ &= (x + 1)^2 \neq (x - 1)^2\end{aligned}

מציבים −x-x

f(1)=0f(−1)=4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(-1) &= 4\end{aligned}

דוגמה נגדית

לא נכון. הפרבולה סימטרית, אבל סביב הישר x=1x = 1, לא סביב ציר ה-yy. זוגיות דורשת סימטריה לציר ה-yy דווקא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפונקציה k(x)=f(x)−3k(x) = f(x) - 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

k: max⁡(1, 2), min⁡(3, −2)k: \ \max (1,\,2) ,\ \min (3,\,-2)

3 למטה

f(x)−3=0 ⇔ f(x)=3\begin{aligned}f(x) - 3 &= 0 \ \Leftrightarrow \ f(x) \\ &= 3\end{aligned}

או: כמה פעמים הישר y=3y = 3 חותך את ff

33

משמאל למקסימום, בין הקיצונים, ומימין למינימום

3 נקודות. הישר y=3y = 3 עובר בין המינימום 11 למקסימום 55, ולכן חותך את הגרף שלוש פעמים. אם היה עובר מעל 55 או מתחת ל-11: פעם אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה g(x)=(x+3)2−1g(x) = (x + 3)^2 - 1 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. מצאו את נקודת המקסימום של hh.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -3 , y=y = 1

Corrigé :

g: min⁡(−3, −1)g: \ \min (-3,\,-1)

הקודקוד: 3 שמאלה, 1 למטה

h: (−3, ∣−1∣)=(−3, 1)h: \ (-3,\,|-1|) = (-3,\,1)

הקיפול הופך אותו למקסימום

מקסימום (−3, 1)(-3,\,1). נקודות האפס (−4, 0)(-4,\,0) ו-(−2, 0)(-2,\,0) הן שני המינימום של hh.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x3∣=5|x^3| = 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x3=5 או x3=−5\begin{aligned}x^3 &= 5 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -5\end{aligned}

שתי משוואות

x=53 x=−53\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{5} \ \\ \quad x &= -\sqrt[3]{5}\end{aligned}

לכל אחת פתרון יחיד: מעריך אי-זוגי

2 פתרונות. ∣x3∣|x^3| היא x3x^3 שהחצי השמאלי שלה התקפל למעלה: גרף בצורת UU רחב, וכל ישר y=k>0y = k > 0 חותך אותו פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe