Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות עם פרמטרים ועם שני שלבים מוסתרים: למצוא aa ו-bb מהתחום ומנקודה, מקדם של פרבולה, השלמה לריבוע לפני ערך מוחלט, וזוגיות ככלי לפתרון משוואה.

פרמטר נמצא ממשוואה: כל נתון (תחום, נקודה, קודקוד) הוא משוואה אחת. ספרו נתונים, ספרו נעלמים.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=ax+bf(x) = \sqrt{ax + b}. תחום ההגדרה של ff הוא x≥2x \geq 2, והגרף עובר בנקודה (6, 2)(6,\,2). מצאו את aa ואת bb.

a=a = ____ , b=b = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a = 1 , b=b = -2

Corrigé :

2a+b=02a + b = 0

הגרף מתחיל ב-x=2x = 2: שם מה שמתחת לשורש מתאפס

6a+b=2 ⇒ 6a+b=4\begin{aligned}\sqrt{6a + b} &= 2 \ \Rightarrow \ 6a + b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה (6, 2)(6,\,2)

4a=4 ⇒ a=1 b=−2\begin{aligned}4a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

x−2: x≥2 ✓\sqrt{x - 2}: \ x \geq 2 \ \checkmark

בדיקה: וגם a>0a > 0 מתאים לגרף שפונה ימינה

f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2}. התחום נותן משוואה אחת, הנקודה נותנת את השנייה. a>0a > 0 חייב לצאת, כי התחום הוא x≥2x \geq 2 ולא x≤2x \leq 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פרבולה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k שקודקודה (2, −3)(2,\,-3) עוברת בנקודה (0, 5)(0,\,5). מהו aa?

  1. a=12a = \frac{1}{2}
  2. a=2a = 2
  3. a=4a = 4
  4. a=−2a = -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B a=2a = 2

Corrigé :

y=a(x−2)2−3y = a(x - 2)^2 - 3

הקודקוד נותן p=2p = 2, k=−3k = -3

5=a(0−2)2−3 ⇒ 4a=8 ⇒ a=2\begin{aligned}5 &= a(0 - 2)^2 - 3 \ \Rightarrow \ 4a \\ &= 8 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנכונה: a=2a = 2. a>0a > 0 הגיוני: הנקודה (0, 5)(0,\,5) מעל הקודקוד, ולכן הפרבולה פונה למעלה, ומתוחה פי 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה g(x)=x2−6x+5g(x) = x^2 - 6x + 5 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2−6x+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

משלימים לריבוע: קודקוד (3, −4)(3,\,-4)

h: max⁡(3, 4)h: \ \max (3,\,4)

הקיפול

k=4k = 4

בגובה הפסגה

k=4k = 4. כאן צריך קודם למצוא את המינימום: g(3)=9−18+5=−4g(3) = 9 - 18 + 5 = -4. הערך המוחלט שלו הוא הגובה המבוקש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ff פונקציה זוגית, f(−1)=3f(-1) = 3 ו-f(2)=−1f(2) = -1. נתונה g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2. השלימו.

g(1)=g(1) = ____ ; g(−2)=g(-2) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : g(1)=g(1) = 5 ; g(−2)=g(-2) = 1

Corrigé :

f(1)=f(−1)=3 ⇒ g(1)=5\begin{aligned}f(1) &= f(-1) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ g(1) \\ &= 5\end{aligned}

זוגיות, ואז 2 למעלה

f(−2)=f(2)=−1 ⇒ g(−2)=1\begin{aligned}f(-2) &= f(2) \\ &= -1 \ \Rightarrow \ g(-2) \\ &= 1\end{aligned}

אותו דבר בצד השני

g(1)=5g(1) = 5, g(−2)=1g(-2) = 1. שני שלבים: הזוגיות מעבירה את הערך לצד השני, וההזזה מוסיפה 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. x3+x2x^3 + x^2
  2. x4x^4
  3. x3+1x^3 + 1
  4. x5−x3x^5 - x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x5−x3x^5 - x^3

Corrigé :

(−x)5−(−x)3=−x5+x3=−(x5−x3)\begin{aligned}(-x)^5 - (-x)^3 &= -x^5 + x^3 \\ &= -(x^5 - x^3)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)3+1=−x3+1(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1

לא −(x3+1)-(x^3 + 1): המספר החופשי מקלקל

הנכונה: x5−x3x^5 - x^3. x4x^4 זוגית; x3+x2x^3 + x^2 ו-x3+1x^3 + 1 מעורבות, לא זו ולא זו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 4)(2,\,4) ונקודת מינימום (5, −1)(5,\,-1). מצאו את נקודת המקסימום של h(x)=−2f(x)+1h(x) = -2f(x) + 1.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 5 , y=y = 3

Corrigé :

−2f: (2, −8), (5, 2)-2f: \ (2,\,-8) ,\ (5,\,2)

כפל ב-−2-2: מתיחה ושיקוף, הסוגים מתהפכים

+1: (2, −7) min⁡,(5, 3) max⁡+1: \ (2,\,-7) \ \min ,\quad (5,\,3) \ \max

1 למעלה

מקסימום (5, 3)(5,\,3): המינימום הישן, אחרי כפל ב-−2-2 ותוספת 1. קודם הכפל, אחר כך החיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

אם ff פונקציה זוגית, אז הגרפים של y=f(x)y = f(x) ושל y=f(−x)y = f(-x) מתלכדים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

ההגדרה של זוגיות

y=x2: (−x)2=x2\begin{aligned}y &= x^2: \ (-x)^2 \\ &= x^2\end{aligned}

דוגמה: שיקוף הפרבולה בציר ה-yy לא משנה כלום

נכון. שיקוף בציר ה-yy של גרף שכבר סימטרי לציר ה-yy מחזיר את אותו גרף. זו בדיוק המשמעות הגרפית של f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

h(x) = |(x − 1)² − 4|
(-1,0)(3,0)(1,4)-3-2-1012345-112345678xy

נתונה h(x)=∣(x−1)2−4∣h(x) = |(x - 1)^2 - 4| (הגרף למטה). לאילו ערכי kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 4 פתרונות?

  1. 0<k<40 < k < 4
  2. k>4k > 4
  3. k<0k < 0
  4. k=4k = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0<k<40 < k < 4

Corrigé :

(x−1)2−4: min⁡(1, −4)(x - 1)^2 - 4: \ \min (1,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(1, 4)h: \ \max (1,\,4)

הפסגה אחרי הקיפול

0<k<40 < k < 4

ישר מתחת לפסגה ומעל הציר: 4 חיתוכים

הנכונה: 0<k<40 < k < 4. מעל 4: שניים. בדיוק 4: שלושה. k=0k = 0: שניים, נקודות האפס. שלילי: אף אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה g(x)=x−1−2g(x) = \sqrt{x - 1} - 2, ו-h(x)=g(−x)h(x) = g(-x). מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה של hh, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה של הגרף שלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x≤x \leq -1 ; y=y = -2

Corrigé :

h(x)=−x−1−2h(x) = \sqrt{-x - 1} - 2

מציבים −x-x

−x−1≥0 ⇒ x≤−1-x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq -1

תחום ההגדרה: הצד השמאלי

h(−1)=0−2=−2\begin{aligned}h(-1) &= 0 - 2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה (−1, −2)(-1,\,-2)

שיקוף בציר ה-yy: נקודת ההתחלה (1, −2)(1,\,-2) של gg עברה ל-(−1, −2)(-1,\,-2), והגרף פונה שמאלה. הגובה −2-2 לא השתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2. מצאו את סכום כל הפתרונות של המשוואה f(x)=8f(x) = 8.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x4−2x2−8=0 ⇒ (x2−4)(x2+2)=0\begin{aligned}x^4 - 2x^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x^2 - 4)(x^2 + 2) \\ &= 0\end{aligned}

Décomposition

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

x2=−2x^2 = -2 אין פתרון

2+(−2)=02 + (-2) = 0

הסכום

00. אפשר גם בלי לפתור: ff זוגית, ולכן הפתרונות באים בזוגות xx ו-−x-x, וסכומם תמיד 00.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe