Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמחברות כמה כלים: מותנית לתוך נוסחת האיחוד, טבלה חסרה, עץ של שלושה שלבים, בייס עם מספרים קטנים ו«לפחות פעמיים».

כשהנתון הוא הסתברות מותנית, הפכו אותה קודם לחיתוך. רק החיתוך נכנס לנוסחת האיחוד.

Exercices

Exercice 1

P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∣B)=0.25P(A \mid B)=0.25. מה P(A∪B)P(A \cup B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

P(A∩B)=0.4⋅0.25=0.1\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.25 \\ &= 0.1\end{aligned}

כלל הכפל

P(A∪B)=0.5+0.4−0.1=0.8\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5+0.4-0.1 \\ &= 0.8\end{aligned}

נוסחת האיחוד

את P(A∣B)P(A \mid B) אי אפשר להציב ישר בנוסחת האיחוד. קודם הופכים אותה לחיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

P(A∣B)=0.6P(A \mid B)=0.6, P(B∣A)=0.4P(B \mid A)=0.4 ו-P(A∩B)=0.12P(A \cap B)=0.12. מה P(A∪B)P(A \cup B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.38

Corrigé :

P(B)=0.120.6=0.2\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

מ-P(A∣B)P(A \mid B)

P(A)=0.120.4=0.3\begin{aligned}P(A) &= \frac{0.12}{0.4} \\ &= 0.3\end{aligned}

מ-P(B∣A)P(B \mid A)

P(A∪B)=0.3+0.2−0.12=0.38\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.2-0.12 \\ &= 0.38\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כל הסתברות מותנית נותנת את התנאי שלה: P(A∣B)P(A \mid B) נותנת את P(B)P(B), לא את P(A)P(A).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

עובדיםסטודנטיםגמלאיםסה״כ
מנויים0.15?0.050.3
לא מנויים?0.10.25?
סה״כ0.5??1

בעיר נבדקו מנויי חדר הכושר. הטבלה נותנת את ההסתברויות לכל צירוף של מנוי ותעסוקה. בוחרים תושב באקראי. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה האחרונה.

ההסתברות לסטודנט: ____ ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: ____ ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ההסתברות לסטודנט: 0.2 ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: 0.5 ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: 0.357

Corrigé :

0.3−0.15−0.05=0.10.3-0.15-0.05=0.1

המשבצת החסרה: סטודנטים מנויים

0.1+0.1=0.20.1+0.1=0.2

עמודת הסטודנטים

0.10.2=0.5\frac{0.1}{0.2}=0.5

מנויים מבין הסטודנטים

1−0.3=0.70.250.7=514≈0.357\begin{aligned}1-0.3 &= 0.7 \\ \quad \frac{0.25}{0.7} &= \frac{5}{14} \approx 0.357\end{aligned}

גמלאים מבין הלא מנויים

בכל סעיף, המכנה הוא מה שידוע: עמודת הסטודנטים, 0.20.2, ואחר כך שורת הלא מנויים, 0.70.7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

26⋅45⋅34=24120\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

לבן-אדום-אדום

46⋅25⋅34=24120\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

אדום-לבן-אדום

46⋅35⋅24=24120\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{24}{120}

אדום-אדום-לבן

3⋅24120=72120=0.6\begin{aligned}3 \cdot \frac{24}{120} &= \frac{72}{120} \\ &= 0.6\end{aligned}

שלושה מסלולים זרים

הלבן יכול לצאת בכל אחת משלוש ההוצאות. מי שחישב רק את המסלול הראשון קיבל 0.20.2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שהכדור השני לבן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.333

Corrigé :

46⋅25+26⋅15\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5}

הסתברות שלמה על הכדור הראשון

=830+230=13≈0.333=\frac{8}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{3} \approx 0.333

בדיוק כמו בהוצאה הראשונה

בלי לדעת מה יצא ראשון, לכדור השני אותה הסתברות כמו לראשון, 26\frac{2}{6}. 25\frac{2}{5} נכון רק אם ידוע שהראשון אדום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשלוח טלפונים 2% פגומים. מכונת בדיקה מסמנת טלפון פגום כ«פגום» בהסתברות 0.9, ומסמנת בטעות טלפון תקין כ«פגום» בהסתברות 0.05. טלפון סומן כ«פגום». מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.269

Corrigé :

0.02⋅0.9=0.0180.02 \cdot 0.9=0.018

פגום וסומן

0.98⋅0.05=0.0490.98 \cdot 0.05=0.049

תקין וסומן בטעות

P(סומן)=0.018+0.049=0.067\begin{aligned}P(\text{סומן}) &= 0.018+0.049 \\ &= 0.067\end{aligned}

הסתברות שלמה

0.0180.067=1867≈0.269\frac{0.018}{0.067}=\frac{18}{67} \approx 0.269

בייס

0.90.9 היא ההסתברות לסמן בהינתן שהטלפון פגום. כיוון שרוב הטלפונים תקינים, רוב הסימונים באים מטעויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בטבלה דו-ממדית של הסתברויות: P(A∩B)=0.12P(A \cap B)=0.12, P(A∩Bˉ)=0.28P(A \cap \bar{B})=0.28 ו-P(Aˉ∩B)=0.18P(\bar{A} \cap B)=0.18. האם AA ו-BB בלתי תלויים?

  1. אי אפשר לדעת בלי P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar{A} \cap \bar{B})
  2. כן: P(A)⋅P(B)=0.4⋅0.3=0.12P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12
  3. לא: P(A)+P(B)≠1P(A)+P(B) \neq 1
  4. לא: 0.12≠0.280.12 \neq 0.28
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן: P(A)⋅P(B)=0.4⋅0.3=0.12P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12

Corrigé :

P(A)=0.12+0.28=0.4\begin{aligned}P(A) &= 0.12+0.28 \\ &= 0.4\end{aligned}

שורת AA

P(B)=0.12+0.18=0.3\begin{aligned}P(B) &= 0.12+0.18 \\ &= 0.3\end{aligned}

עמודת BB

P(A)⋅P(B)=0.12=P(A∩B)\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.12 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. P(Aˉ∩Bˉ)=1−0.58=0.42P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-0.58=0.42 מתקבל מהשאר, ולא צריך אותו. P(A)+P(B)=1P(A)+P(B)=1 אינו קשור לאי-תלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(A∪B)=0.65P(A \cup B)=0.65. מה P(B)P(B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

0.65=0.3+p−0.3p0.65=0.3+p-0.3p

נסמן p=P(B)p=P(B)

0.35=0.7p ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.35 &= 0.7p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

On résout

0.350.35 היא התשובה למאורעות זרים. כאן החיתוך הוא 0.3p0.3p.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

אם A⊆BA \subseteq B ו-0<P(A)<P(B)<10<P(A)<P(B)<1, אז AA ו-BB תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

A∩B=AA \cap B=A

AA מוכל ב-BB

P(A∣B)=P(A)P(B)>P(A)P(A \mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}>P(A)

מחלקים במספר קטן מ-1

נכון. אם BB קרה, AA נעשה סביר יותר, כי AA נמצא כולו בתוך BB. המבחן הראשון אינו מתקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שחקנית כדורסל זורקת שלוש זריקות עונשין. בכל זריקה היא קולעת בהסתברות 0.7, ואין קשר בין הזריקות. מה ההסתברות שתקלע לפחות פעמיים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.784

Corrigé :

3⋅0.72⋅0.3=0.4413 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3=0.441

בדיוק פעמיים: שלושה מסלולים

0.73=0.3430.7^3=0.343

שלוש פעמים

0.441+0.343=0.7840.441+0.343=0.784

«לפחות פעמיים» הוא «פעמיים» או «שלוש»

«לפחות פעמיים» כולל גם את שלוש הקליעות. מי ששכח אותן קיבל 0.4410.441.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe