Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שבהן צריך לבנות את הכלי בעצמכם: טבלה 2 על 2 מתוך נתונים מותנים, העברת כדור בין קופסאות, עץ הפוך, והוכחה שהמשלים שומר על אי-תלות.

כשהשאלה נראית מבולבלת, ציירו טבלה 2 על 2 של הסתברויות ומלאו אותה משבצת אחרי משבצת.

Exercices

Exercice 1

P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∣B)=0.8P(A \mid B)=0.8. מה P(B∣Aˉ)P(B \mid \bar{A})?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

P(A∩B)=0.5⋅0.8=0.4\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 \cdot 0.8 \\ &= 0.4\end{aligned}

כלל הכפל

P(Aˉ∩B)=0.5−0.4=0.1\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.5-0.4 \\ &= 0.1\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)=0.4P(\bar{A})=0.4

ציירו טבלה 2 על 2 ומלאו אותה. התנאי Aˉ\bar{A} הוא המכנה: 0.40.4, לא 0.50.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

AA ו-BB בלתי תלויים, P(Aˉ)=0.5P(\bar{A})=0.5 ו-P(A∪B)=0.9P(A \cup B)=0.9. מה P(B)P(B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

P(A)=0.5P(A)=0.5

המשלים

0.9=0.5+p−0.5p ⇒ 0.4=0.5p\begin{aligned}0.9 &= 0.5+p-0.5p \ \Rightarrow \ 0.4 \\ &= 0.5p\end{aligned}

נסמן p=P(B)p=P(B)

p=0.8p=0.8

On résout

דרך נוספת: P(A∪B‾)=P(Aˉ)⋅P(Bˉ)P(\overline{A \cup B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}), כלומר 0.1=0.5⋅P(Bˉ)0.1=0.5 \cdot P(\bar{B}), ולכן P(Bˉ)=0.2P(\bar{B})=0.2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.8P(B)=0.8. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של P(A∩B)P(A \cap B)?

  1. 0.10.1
  2. 0.240.24
  3. 00
  4. 0.30.3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0.10.1

Corrigé :

P(A∩B)=0.3+0.8−P(A∪B)P(A \cap B)=0.3+0.8-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד

P(A∪B)≤1 ⇒ P(A∩B)≥0.1P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.1

החיתוך קטן ככל שהאיחוד גדול

הנכונה: 0.10.1. 00 אפשרי רק אם P(A)+P(B)≤1P(A)+P(B) \leq 1. 0.240.24 הוא המכפלה — הערך כשהמאורעות בלתי תלויים, ולא הקטן ביותר. 0.30.3 הוא הערך הגדול ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. מה ההסתברות שנבחן אקראי עבר את הטסט?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.71

Corrigé :

0.7⋅0.8+0.3⋅0.5=0.56+0.15=0.71\begin{aligned}0.7 \cdot 0.8+0.3 \cdot 0.5 &= 0.56+0.15 \\ &= 0.71\end{aligned}

הסתברות שלמה

0.710.71 נמצא בין 0.50.5 ל-0.80.8 וקרוב ל-0.80.8, כי רוב הנבחנים עשו יותר מ-20 שיעורים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. נבחן נכשל בטסט. מה ההסתברות שעשה יותר מ-20 שיעורים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.483

Corrigé :

P(Sˉ)=1−0.71=0.29\begin{aligned}P(\bar{S}) &= 1-0.71 \\ &= 0.29\end{aligned}

נסמן SS — עבר, MM — יותר מ-20 שיעורים

P(M∩Sˉ)=0.7⋅0.2=0.14\begin{aligned}P(M \cap \bar{S}) &= 0.7 \cdot 0.2 \\ &= 0.14\end{aligned}

המסלול

P(M∣Sˉ)=0.140.29≈0.483P(M \mid \bar{S})=\frac{0.14}{0.29} \approx 0.483

בייס

אחרי «נכשל» הענף הוא 0.20.2 ולא 0.80.8. מי שחישב 0.560.71\frac{0.56}{0.71} ענה על «עבר».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בעץ של שני שלבים: P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B∣A)=0.5P(B \mid A)=0.5 ו-P(B)=0.38P(B)=0.38. השלימו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה השנייה.

P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= ____ ; P(A∣B)=P(A \mid B)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= 0.3 ; P(A∣B)=P(A \mid B)= 0.526

Corrigé :

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

המסלול דרך AA

P(Aˉ∩B)=0.38−0.2=0.18\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.38-0.2 \\ &= 0.18\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.180.6=0.3\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.18}{0.6} \\ &= 0.3\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)P(\bar{A})

P(A∣B)=0.20.38=1019≈0.526\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.38} \\ &= \frac{10}{19} \approx 0.526\end{aligned}

בייס

P(B)=0.38P(B)=0.38 נמצא בין 0.30.3 ל-0.50.5, כמו שממוצע משוקלל חייב. זו בדיקה טובה לתשובה הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳. מה ההסתברות שהכדור שיצא לבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.55

Corrigé :

34⋅35\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}

הועבר לבן: בקופסה ב׳ עכשיו 3 לבנים מתוך 5

14⋅25\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}

הועבר שחור: 2 לבנים מתוך 5

920+220=1120=0.55\begin{aligned}\frac{9}{20}+\frac{2}{20} &= \frac{11}{20} \\ &= 0.55\end{aligned}

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה ב׳ 5 כדורים. מי שהשאיר את המכנה 4 שכח את הכדור שהועבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳, והוא לבן. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה שחור? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.182

Corrigé :

14⋅25=220\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{20}

המסלול: הועבר שחור, יצא לבן

2201120=211≈0.182\frac{\frac{2}{20}}{\frac{11}{20}}=\frac{2}{11} \approx 0.182

בייס

14\frac{1}{4} היא ההסתברות להעביר שחור לפני שיודעים משהו. הלבן שיצא מוריד אותה ל-211\frac{2}{11}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

אם AA ו-BB בלתי תלויים, אז גם Aˉ\bar{A} ו-BB בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(Aˉ∩B)=P(B)−P(A∩B)P(\bar{A} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)

שאר BB

P(B)−P(A)P(B)=(1−P(A))P(B)=P(Aˉ)P(B)\begin{aligned}P(B)-P(A)P(B) &= (1-P(A))P(B) \\ &= P(\bar{A})P(B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

נכון. אם הידיעה BB לא משנה את AA, היא גם לא משנה את המשלים שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מטילים קובייה הוגנת שלוש פעמים. מה ההסתברות ששלוש התוצאות שונות זו מזו? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.556

Corrigé :

1⋅56⋅461 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6}

הראשונה חופשית, השנייה שונה ממנה, השלישית שונה משתיהן

=2036=59≈0.556=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} \approx 0.556

כופלים

בכל הטלה יש 6 תוצאות: המכנה נשאר 6, כי הקובייה לא «מאבדת» מספרים. רק המונה קטן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe