Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שתי קופסאות ובייס, שתי שקיות מטפחות, שלושה משחקי שש-בש עם פרמטר, ומבחן עם שלושה תרגילים בלתי תלויים. כל סעיף הוא תרגיל, והסעיפים של אותה שאלה באים ברצף.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: סמנו את המאורעות, ציירו את העץ או הטבלה, ובכל «ידוע ש...» כתבו את ההסתברות המותנית לפני שאתם מחשבים.

Exercices

Exercice 1

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. א. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.178

Corrigé :

P(A)=26=13\begin{aligned}P(A) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

נסמן AA — נבחרה קופסה א׳, RR — שני הכדורים אדומים

P(R∣A)=46⋅35=25P(R∣Aˉ)=26⋅15=115\begin{aligned}P(R \mid A) &= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{2}{5} \\ \quad P(R \mid \bar{A}) &= \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{15}\end{aligned}

בלי החזרה, בכל קופסה

P(R)=13⋅25+23⋅115=645+245=845≈0.178\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{15} \\ &= \frac{6}{45}+\frac{2}{45} \\ &= \frac{8}{45} \approx 0.178\end{aligned}

הסתברות שלמה

הקופסאות אינן שוות סיכוי: 13\frac{1}{3} מול 23\frac{2}{3}. מי שכפל כל קופסה ב-12\frac{1}{2} קיבל 730\frac{7}{30}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ב. ידוע ששני הכדורים אדומים. מה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

P(A∩R)=13⋅25=645\begin{aligned}P(A \cap R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{6}{45}\end{aligned}

המסלול דרך קופסה א׳

P(A∣R)=645845=34=0.75\begin{aligned}P(A \mid R) &= \frac{\frac{6}{45}}{\frac{8}{45}} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

בייס

קופסה א׳ נבחרת רק בשליש מהמקרים, אבל שני אדומים יוצאים ממנה הרבה יותר בקלות. לכן אחרי הידיעה ההסתברות עולה מ-13\frac{1}{3} ל-34\frac{3}{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ג. מה ההסתברות שהכדורים בצבעים שונים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.533

Corrigé :

P(שונים∣A)=2⋅46⋅25=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid A) &= 2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה א׳

P(שונים∣Aˉ)=2⋅26⋅45=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid \bar{A}) &= 2 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה ב׳

13⋅815+23⋅815=815≈0.533\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{15}+\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{15} \approx 0.533

הסתברות שלמה

בשתי הקופסאות ההסתברות זהה, ולכן הממוצע המשוקלל שווה לה. «צבעים שונים» הם שני מסלולים בכל קופסה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. א. מצאו את nn.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

46⋅3n=15\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{n}=\frac{1}{5}

שתי שקיות בלתי תלויות: כופלים

2n=15 ⇒ n=10\begin{aligned}\frac{2}{n} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

On résout

בשקית ב׳ 10 מטפחות: 3 לבנות ו-7 שאינן לבנות. nn הוא כל המטפחות, לא מספר הלבנות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. ב. ידוע שבדיוק אחת משתי המטפחות לבנה. מה ההסתברות שהלבנה היא מהשקית הראשונה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.824

Corrigé :

46⋅710=2860\frac{4}{6} \cdot \frac{7}{10}=\frac{28}{60}

לבנה מא׳, לא לבנה מב׳

26⋅310=660\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{60}

לא לבנה מא׳, לבנה מב׳

2828+6=1417≈0.824\frac{28}{28+6}=\frac{14}{17} \approx 0.824

המסלול, חלקי שני המסלולים

המכנה הוא «בדיוק אחת לבנה» — שני מסלולים — ולא 1. מי שענה 46\frac{4}{6} התעלם מהתנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. א. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. מצאו את pp.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

0.6⋅p=0.420.6 \cdot p=0.42

ניצחון, ואחריו ניצחון אחרי ניצחון

p=0.7p=0.7

On résout

הענף השני הוא הסתברות מותנית: ניצחון בהינתן ניצחון. לכן כופלים ב-pp ולא ב-0.60.6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ב. מה ההסתברות שנועה תנצח במשחק השלישי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.516

Corrigé :

P(W2)=0.6⋅0.7+0.4⋅0.3=0.54\begin{aligned}P(W_2) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.54\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק הראשון

P(W3)=0.54⋅0.7+0.46⋅0.3=0.378+0.138=0.516\begin{aligned}P(W_3) &= 0.54 \cdot 0.7+0.46 \cdot 0.3 \\ &= 0.378+0.138 \\ &= 0.516\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק השני

אפשר גם לחבר את ארבעת המסלולים שמסתיימים בניצחון. בכל מקרה, המשחק השלישי תלוי רק במשחק השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ג. ידוע שנועה ניצחה במשחק השלישי. מה ההסתברות שניצחה גם במשחק הראשון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.674

Corrigé :

P(W1∩W3)=0.6⋅(0.7⋅0.7+0.3⋅0.3)=0.6⋅0.58=0.348\begin{aligned}P(W_1 \cap W_3) &= 0.6 \cdot (0.7 \cdot 0.7+0.3 \cdot 0.3) \\ &= 0.6 \cdot 0.58 \\ &= 0.348\end{aligned}

שני מסלולים: WWW ו-WLW

P(W1∣W3)=0.3480.516=2943≈0.674\begin{aligned}P(W_1 \mid W_3) &= \frac{0.348}{0.516} \\ &= \frac{29}{43} \approx 0.674\end{aligned}

בייס, עם התוצאה של סעיף ב

במסלול WLW ההפסד אחרי ניצחון הוא 1−p=0.31-p=0.3, והניצחון אחרי הפסד הוא 0.30.3. מי שהשמיט את המסלול הזה קיבל 0.2940.516\frac{0.294}{0.516}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. א. מה ההסתברות שגיל יעבור את המבחן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

0.8⋅0.6⋅0.5=0.240.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5=0.24

שלושה נכונים

0.8⋅0.6⋅0.5+0.8⋅0.4⋅0.5+0.2⋅0.6⋅0.5=0.24+0.16+0.06=0.46\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5+0.8 \cdot 0.4 \cdot 0.5+0.2 \cdot 0.6 \cdot 0.5 &= 0.24+0.16+0.06 \\ &= 0.46\end{aligned}

בדיוק שניים: שלושה מסלולים

0.24+0.46=0.70.24+0.46=0.7

«לפחות שניים»

בכל מסלול של «בדיוק שניים» כופלים גם בהסתברות להיכשל בתרגיל השלישי. מי ששכח אותה קיבל מספר גדול מ-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. ב. ידוע שגיל עבר את המבחן. מה ההסתברות שפתר נכון את שלושת התרגילים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.343

Corrigé :

P(שלושה∩עבר)=0.24P(\text{שלושה} \cap \text{עבר})=0.24

מי שפתר שלושה, עבר

0.240.7=1235≈0.343\frac{0.24}{0.7}=\frac{12}{35} \approx 0.343

חלקי ההסתברות לעבור

«שלושה נכונים» מוכל ב«עבר», ולכן החיתוך הוא 0.240.24 עצמו. 0.240.24 לבדו שוכח את התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe