Étude de la parabole — ouverture, axes et sommet

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

את הפרבולה פגשתם בכיתה ט. בכיתה י חוזרים עליה, כי חקירה מלאה של פרבולה היא שאלה שלמה בבגרות של 4 יחידות, ויש לה סדר קבוע. לפני הכללים, שחקו עם הפרבולה עצמה.

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

סדר החקירה

11

כיוון הפתיחה — a>0a > 0 כלפי מעלה, a<0a < 0 כלפי מטה.

22

חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x = 0, ומקבלים בדיוק cc.

33

חיתוך עם ציר xx — פותרים ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

44

קדקוד — x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואז מציבים כדי למצוא את ה-yy.

55

עלייה וירידה — משני צדי הקדקוד.

66

חיוביות ושליליות — לפי השורשים וכיוון הפתיחה.

ביחידה הזאת עושים את ארבעת השלבים הראשונים. השלבים 5 ו-6 מחכים ביחידה הבאה.

כיוון הפתיחה והחיתוך עם ציר yy

שני השלבים הראשונים לא דורשים שום חישוב. הסימן של aa אומר לאן הפרבולה פתוחה, והמספר cc אומר איפה היא חוצה את ציר ה-yy: כשמציבים x=0x = 0, שני האיברים הראשונים מתאפסים ונשאר cc.

שני שלבים בלי חישוב

נתונה הפרבולה y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6. מהו כיוון הפתיחה, ואיפה היא חותכת את ציר ה-yy?

a=−2<0a = -2 < 0

פתוחה כלפי מטה

x=0 ⇒ y=−6\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -6\end{aligned}

חותכת את ציר ה-yy בנקודה (0, −6)(0,\,-6)

באיזו נקודה חותכת הפרבולה y=3x2−x+7y = 3x^2 - x + 7 את ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

(0, 7)(0,\,7). מציבים x=0x = 0 ומקבלים y=c=7y = c = 7. הסימן של a=3a = 3 אומר גם שהיא פתוחה כלפי מעלה.

חיתוך עם ציר xx והדיסקרימיננטה

על ציר ה-xx הגובה הוא אפס, ולכן מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ריבועית. לפעמים בפירוק לגורמים, ולפעמים בנוסחה:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה ומסמנים אותו Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. הוא קובע כמה שורשים יש, עוד לפני שפותרים:

Δ>0\Delta > 0

שני שורשים: הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות

Δ=0\Delta = 0

שורש אחד: הפרבולה משיקה לציר ה-xx, והקדקוד יושב על הציר

Δ<0\Delta < 0

אף שורש: הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

חיתוך עם ציר xx

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 עם ציר ה-xx.

x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0

מציבים y=0y = 0

Δ=36−20=16>0\begin{aligned}\Delta &= 36 - 20 \\ &= 16 > 0\end{aligned}

שני שורשים

(x−1)(x−5)=0 ⇒ x=1 x=5\begin{aligned}(x - 1)(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מכפלה 55, סכום 66

(1, 0),(5, 0)(1,\,0) ,\quad (5,\,0)

שתי נקודות החיתוך

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפרבולה y=2x2+3x−2y = 2x^2 + 3x - 2?

Voir la réponse et le corrigé

שתיים. Δ=9+16=25>0\Delta = 9 + 16 = 25 > 0. ואם רוצים אותן: x=−3±54x = \frac{-3 \pm 5}{4}, כלומר x=12x = \frac{1}{2} ו-x=−2x = -2.

הקדקוד וציר הסימטריה

הקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, או הגבוהה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מטה. את ה-xx שלו נותנת נוסחה, ואת ה-yy מקבלים בהצבה:

xV=−b2ayV=f(xV)\begin{aligned}x_V &= \frac{-b}{2a} \\ \qquad y_V &= f(x_V)\end{aligned}

הישר האנכי x=xVx = x_V הוא ציר הסימטריה: שני צדי הפרבולה הם תמונת ראי זה של זה. לכן כל שתי נקודות באותו גובה נמצאות במרחק שווה מציר הסימטריה, ובפרט שני השורשים.

y = x² − 2x − 3: השורשים, הקדקוד וציר הסימטריה
השורשים A(−1, 0)A(-1,\,0) ו-B(3, 0)B(3,\,0) נמצאים במרחק 22 מכל צד של הישר המקווקו x=1x = 1. הקדקוד V(1, −4)V(1,\,-4) יושב עליו.

הקדקוד יושב בדיוק באמצע בין שני השורשים — כי הפרבולה סימטרית. אם כבר מצאתם את השורשים, הממוצע שלהם נותן את xx של הקדקוד בלי הנוסחה: −1+32=1\frac{-1 + 3}{2} = 1.

קדקוד בנוסחה ובהצבה

מצאו את קדקוד הפרבולה y=2x2−8x+3y = 2x^2 - 8x + 3 ואת ציר הסימטריה שלה.

xV=−(−8)2⋅2=84=2\begin{aligned}x_V &= \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

נוסחת הקדקוד, עם המינוס

yV=2⋅4−16+3=−5\begin{aligned}y_V &= 2 \cdot 4 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בפונקציה

V(2, −5)x=2\begin{aligned}V(2,\,-5) \\ \qquad x &= 2\end{aligned}

הקדקוד וציר הסימטריה

שתי הטעויות של הקדקוד.

xV=b2ax_V = \frac{b}{2a}
xV=−b2ax_V = \frac{-b}{2a}

המינוס הוא חלק מהנוסחה. ב-b=−8b = -8 מקבלים xV=+2x_V = +2, לא −2-2.

yV=cy_V = c
yV=f(xV)y_V = f(x_V)

cc הוא הגובה של הפרבולה ב-x=0x = 0, כלומר החיתוך עם ציר ה-yy. גובה הקדקוד מתקבל רק בהצבה של xVx_V.

מה אומרת הדיסקרימיננטה Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac?

Voir la réponse et le corrigé

Δ>0\Delta > 0 — שני פתרונות; Δ=0\Delta = 0 — פתרון אחד (הפרבולה משיקה לציר); Δ<0\Delta < 0 — אין פתרונות ממשיים.

איך מוצאים את קדקוד הפרבולה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c?

Voir la réponse et le corrigé

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואת ה-yy מקבלים בהצבה. זהו גם ציר הסימטריה.

Exercices

Exercice 1

מהו ה-xx של קדקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x=−b2a=62\begin{aligned}x &= \frac{-b}{2a} \\ &= \frac{6}{2}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

=3= 3

התוצאה

המינוס בנוסחה הופך את −6-6 ל-+6+6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באותה פרבולה — מהו ה-yy של הקדקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f(3)=9−18+5f(3) = 9 - 18 + 5

מציבים בפונקציה

=−4= -4

התוצאה

הקדקוד הוא (3, −4)(3,\,-4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפרבולה y=−2x2+8xy = -2x^2 + 8x — לאן היא פתוחה?

  1. ימינה
  2. כלפי מעלה
  3. כלפי מטה
  4. תלוי ב-bb
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כלפי מטה

Corrigé :

a=−2<0a = -2 < 0

מקדם שלילי

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את השורש הקטן של x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0:

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0

פירוק לגורמים — 2 ו-3

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 עם ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

b2−4ac=4−20=−16\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

שלילי

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים: הפרבולה כולה מעל הציר

אין צורך לפתור — הביטוי מתחת לשורש מספיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכמה נקודות חותכת הפרבולה y=x2+1y = x^2 + 1 את ציר ה-x?

  1. אחת
  2. אף אחת
  3. שתיים
  4. תלוי ב-x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אף אחת

Corrigé :

x2+1≥1>0x^2 + 1 \ge 1 > 0

תמיד מעל הציר

הערך הקטן ביותר הוא 1 (בקודקוד) — הפרבולה כולה מרחפת מעל ציר ה-x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

למשוואה x2−4=0x^2 - 4 = 0:

שני פתרונות: ____ ומינוס ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שני פתרונות: 2 ומינוס 2.

Corrigé :

x2=4  ⇒  x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=7x = 7. מהו ציר הסימטריה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(1+7):2=4(1 + 7) : 2 = 4

ממוצע השורשים

הקדקוד תמיד באמצע בין השורשים — בלי צורך בנוסחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כאשר המקדם של x2x^2 חיובי, לפרבולה יש נקודת מינימום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a>0  ⇒  ∪a > 0 \;\Rightarrow\; \cup

הסימן של a קובע את הכיוון

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשרטוט הפרבולה y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3. השורשים שלה הם x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. מצאו את הקדקוד בלי הנוסחה, מתוך הסימטריה.

קדקוד: x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : קדקוד: x=x = 1 , y=y = 4

Corrigé :

xV=−1+32=1\begin{aligned}x_V &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע בין השורשים

yV=−1+2+3=4\begin{aligned}y_V &= -1 + 2 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

xV=−22⋅(−1)=1 ✓\begin{aligned}x_V &= \frac{-2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בנוסחה

הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא מקסימום, כי a=−1<0a = -1 < 0. מי שכתב yV=3y_V = 3 לקח את cc: זו הנקודה CC על ציר ה-yy, לא הקדקוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe